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平罗中学2024-2025学年第二学期第一次月考试卷
高二数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数在区间上的平均变化率是( )
A. B. C.4 D.2
2．双曲线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3．已知函数,则( )
A. B. C. D.
4．在等差数列中，，，则( )
A.4 B.5 C.6 D.7
5．“”是“方程表示椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知函数在处取得极小值，则的极大值为( )
A.4 B.2 C.-2 D.-4
7．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线距离的最小值为( )
A. B. C.2 D.
8．函数,若存在,使有解,则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、不定项选择题：本大题共3小题，共18分。
9．已知函数的导函数的图象大致如图所示,下列结论正确的是( )
A.在上单调递增
B.在上单调递增
C.曲线在处的切线的斜率为0
D.曲线在处的切线的斜率为4
10．函数满足,则正确的是( )
A. B.
C. D.
11．已知函数，，则下列选项中正确的是( )
A.函数在区间上单调递增
B.函数在的值域为
C.函数在点处的切线方程为
D.关于x的方程有2个不同的根当且仅当
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数满足,则___________.
13．某学校开设4门球类运动课程，5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有_________种.
14．曲线过点的切线方程为________________.
四、解答题：本题共5小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．本小题分已知函数且在及处取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)求函数在的最大值与最小值.
16．本小题分已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上.
（1）求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两个不同点，若AB的中点为，求的面积.
17．本小题分已知等比数列的公比，，
(1)求的通项公式；
(2)令，求的前n项和.
18．本小题分某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）近似满足关系式，其中，，a，b为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为5元/千克时，每日可售出11千克.
（1）求的解析式；
（2）若该商品的成本为3元/千克，请你确定销售价格x的值，使得商家每日获利最大.
19．本小题分已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，恒成立，求实数b的最小值.平罗中学2024-2025学年第二学期第一次月考试卷
高二数学（答案）
一、选择题
1．函数在区间上的平均变化率是( )
A. B. C.4 D.2
1．答案：A
解析：由题意平均变化率为
.故选：A.
2．双曲线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2．答案：B
解析：的焦点在y轴上，
且，则，
故焦点为，
故选：B.
3．已知函数,则( )
A. B. C. D.
3．答案：C
解析：因为,
所以.
故选:C.
4．在等差数列中，，，则( )
A.4 B.5 C.6 D.7
4．答案：D
解析：因为是等差数列，
所以,所以.
故选：D.
5．“”是“方程表示椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．答案：B
解析：若方程表示椭圆,则,解得且,
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B.
6．已知函数在处取得极小值，则的极大值为( )
A.4 B.2 C.-2 D.-4
6．答案：A
解析：由题得，
因为函数在处取得极小值，
所以或，
当时，，
，
所以当时，
，当时，，
所以函数在处取得极小值，符合题意，
所以函数在处取得极大值为；
当时，，
，
所以当时，，
当时，，
所以函数在处取得极大值，不符合题意；
综上，的极大值为4.
故选：A
7．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线距离的最小值为( )
A. B. C.2 D.
7．答案：D
解析：过点P作曲线的切线，
当切线与直线平行时，
点P到直线距离最小.
设切点为，
所以切线斜率为，
由题知，
解得或（舍），
，此时点P到直线距离.
故选：D
8．函数,若存在,使有解,则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．答案：A
解析：若存在,使得有解,即.
设,,则.
令,解得,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,所以.
故m的取值范围为.
故选:A
二、多项选择题
9．已知函数的导函数的图象大致如图所示,下列结论正确的是( )
A.在上单调递增
B.在上单调递增
C.曲线在处的切线的斜率为0
D.曲线在处的切线的斜率为4
9．答案：BD
解析：由导函数的图象可知当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,A错误;
由图象可知当时,,在上单调递增,B正确;
由于,根据导数的几何意义可知在处的切线的斜率为4,C错误,D正确,
故选：BD.
10．函数满足,则正确的是( )
A. B.
C. D.
10．答案：AC
解析：依题意,令函数,求导得,函数在R上递减,
对于A,,,则,A正确;
对于B,,,则,B错误;
对于C,,,则,C正确;
对于D,,,则,D错误.
故选：AC.
11．已知函数，，则下列选项中正确的是( )
A.函数在区间上单调递增
B.函数在的值域为
C.函数在点处的切线方程为
D.关于x的方程有2个不同的根当且仅当
11．答案：BC
解析：对于A，，，
则在上单调递减，故A错误；
对于B，由A分析，，
则在上单调递增，
则，
故函数在上的值域为；
对于C，由题，，
则点处的切线方程为，故C正确；
对于D，即图像与直线有两个交点，
由上述分析可得大致图像如下，
则要使图像与直线有两个交点，，故D错误.
故选：BC
三、填空题
12．已知函数满足,则___________.
12．答案：
解析：由,有,
所以,
所以,
所以,
故答案为：.
13．某学校开设4门球类运动课程，5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有_________种.
13．答案：11
解析：根据分类加法计数原理，得不同的选法共有（种）.
14．曲线过点的切线方程为__________.
14．答案：
解析：设切点为,则,
故切线方程为,
将代入可得,解得,
故切线方程为,即,
故答案为:
四、解答题
15．已知函数且在及处取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)求函数在的最大值与最小值.
15．答案：(1)，；
(2)，
解析：（1），
依题意，解得，.
，
所以在区间，上，递增；
在区间上，递减.
所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意.
（2），
，，，，
由（1）知，在区间上的最大值为10，最小值为1.
16．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上.
（1）求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两个不同点，若AB的中点为，求的面积.
（1）答案：
解析：在抛物线C上，，
点F的坐标为，抛物线C的准线方程为；
（2）答案：
解析：设A，B的坐标分别为，则，
，直线AB的方程为，
点O到直线AB的距离，
.
16．已知等比数列的公比，，
(1)求的通项公式；
(2)令，求的前n项和.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)设的公比为q，
因为，
所以，
所以，
所以数列的通项公式为.
(2)因为，
所以
故
17．某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）近似满足关系式，其中，，a，b为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为5元/千克时，每日可售出11千克.
（1）求的解析式；
（2）若该商品的成本为3元/千克，请你确定销售价格x的值，使得商家每日获利最大.
17．答案：（1），
（2）4元/千克
解析：（1）由题意可知，当时，，
当时，，
即，解得，
所以，，
（2）设每日销售该商品获利元，则
，
则，
令，得或舍去，
所以时，，为增函数，
时，，为减函数，
所以时，取得最大值，
，
所以销售价格定为4元/千克，商家每日获利最大.
18．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，恒成立，求实数b的最小值.
18．答案：(1)；
(2)答案见解析；
(3).
解析：（1）当时，函数，
求导得，则，而，
所以所求切线方程为.
（2）函数的定义域为，
求导得，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或；由，得，
函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递增区间为，上单调递增，递减区间为；
当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，，递减区间为.
（3）由（2）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则，
依题意，，即恒成立，
令函数，求导得，
当时，，当时，，
函数在上递增，在上递减，
即，因此，
所以b最小值为.

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