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湖南省汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题
1．（2024高一下·汨罗期末）复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故答案为：D.
【分析】利用复数乘除运算法则化简，再结合复数的几何意义得出复数在复平面内对应的点的坐标，从而确定点所在的象限．
2．（2024高一下·汨罗期末）在复平面内，非零复数满足（i为虚数单位），则复数对应的点在(　　)
A．一、三象限 B．二、四象限
C．实轴上（除原点外） D．坐标轴上（除原点外）
【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：设复数，因为，所以，
所以，故复数对应的点在一 三象限角平分线（除原点）上.
故答案为：A.
【分析】设复数，根据得到，结合复数的几何意义判断即可.
3．（2024高一下·汨罗期末）已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：若 ， ，不能构成 一组空间基底 ，则， ，共面，
所以存在唯一实数，使得，
对A：因为，则，
整理得，所以，无解.
即， ，不共面，所以与构成一个基底，故A正确；
对B：因为，所以，故B错误；
对C：因为，所以，故C错误；
对D：因为 ，所以，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据题意结合空间向量基底的概念和共面向量的性质逐项分析判断.
4．（2024高一下·汨罗期末）已知的顶点坐标分别是，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内两点间的距离公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：根据两点间距离公式可得：，，，
由余弦定理得，因为，所以.
故答案为：A.
【分析】根据两点间距离公式可求三角形三边的长，再利用余弦定理结合同角三角函数关系求解即可.
5．（2024高一下·汨罗期末）12名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75（单位：m），则比赛成绩的75%分位数是（　　）
A．1.72 B．1.73 C．1.74 D．1.75
【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将12名学生的成绩从小到大排序为：1.55， 1.59，1.60，1.65，1.67，1.68，1.69，1.70， 1.72， 1.74，1.758，1.78，
，则这组数据的第75%分位数是.
故答案为：B.
【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的计算方法求解即可.
6．（2024高一下·汨罗期末）在中，，，平面内一点O满足，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量在几何中的应用；解三角形；余弦定理；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：在中，，，
由余弦定理得：，
满足，则，即是直角三角形，
因为，所以点是的外心，且点是斜边的中点，
的等边三角形，且，
则向量在向量上的投影向量为
.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用余弦定理、勾股定理可得是直角三角形，点是的外心，，再利用投影向量定义求解即可.
7．（2024高一下·汨罗期末）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设半球的半径为，
连接交于点，连接，如图所示：
则，易得，
正四棱锥的体积为：，
解得，则半球的体积为：.
故答案为：C.
【分析】设半球的半径为，连接交于点，连接，利用四棱锥的体积公式求出半径，再代入球的体积公式求解即可.
8．（2024高一下·汨罗期末）甲乙两人各有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷次，乙抛掷次，事件“甲抛掷的两次中第一次正面朝上”，事件“甲抛掷的两次硬币朝上的面相同”，事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，则下列说法正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；样本点与有限样本空间；事件的包含与相等；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：用表示甲第次抛掷的结果，那么甲抛掷两次的结果可以用表示，用1表示正面向上，0表示反面向上，
则样本空间，
所以不是的子集，，故AB错误；
设事件“甲得到的反面数比乙得到的反面数少”，则，下证事件与事件对立.
若事件与事件同时发生，那么甲的正面数和反面数都比乙的少，那么甲抛的次数至少比乙少两次，与题目矛盾；若事件与事件都不发生，那么甲的正面数和反面数都不比乙的少，那么甲抛的次数不比乙少，与题目矛盾；故事件与事件对立，所以，
因为，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】利用列举法分析即可判断AB；利用反证法分析即可判断CD.
9．（2024高一下·汨罗期末）（多选）下列命题中，正确的是（　　）
A．在中，，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若acosA＝bcosB，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
【答案】A,B,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A、 在中，，由正弦定理可得，，故A正确；
B、为锐角三角形：则，即，
则，故B正确；
C、由正弦定理可得，则，因为，
所以或，则为等腰或直角三角形，故C错误；
D、 在中，若，， 由，可得，
即，因为，所以，则必是等边三角形，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用正弦定理即可判断A；由锐角三角形易得，根据锐角正弦函数的大小关系及诱导公式即可判断B；由正弦定理边角关系，结合三角形内角的性质判断内角A、B的数量关系即可判断C；利用余弦定理，结合已知得，判断的形状即可判断D.
10．（2024高一下·汨罗期末）已知复数均不为，则下列式子正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、当复数时，，故A错误；
B、由复数的模的性质可得：，故B正确；
C、设，则，而，故C错误；
D、，因为，所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】取特殊复数即可判断判断AC；根据复数的模长性质即可判断BD.
11．（2024高一下·汨罗期末）已知平面向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．向量与的夹角为60°
D．向量在上的投影向量为2
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；空间向量的投影向量
【解析】【解答】，所以，A不符合题意；
，B符合题意；
，因为，故，所以向量与的夹角为60°，C符合题意；
向量在上的投影向量为，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】 根据向量坐标得线性运算和模的坐标表示即可判断A；根据向量数量积的坐标表示即可判断B；根据即可判断C；根据投影向量的定义即可判断D.
12．（2024高一下·汨罗期末）在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是（　　）
A．为钝角三角形
B．的最大内角是最小内角的2倍
C．若为中点，则
D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：，由正弦定理可得，
不妨设，，
A、由余弦定理知，即为锐角，
则为锐角三角形，故错误；
B、，
因为，所以，即，
又因为均为锐角，所以，故B正确；
C、因为为中点，所以，
则，
即，又，则，故C正确；
D、由，得，因为，
所以，由，
可得，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，由正弦定理得，不妨设则，求出最大边所对的角即最大角即可判断A；由余弦定理以及二倍角公式即可判断B；求出中线即可判断C；借助求出角平分线即可判断D.
13．（2024高一下·汨罗期末）某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为　 　.
【答案】
【知识点】分层抽样方法；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意，总体的均值为，
则总体的方差为：.
故答案为：0.76.
【分析】先求出总体的均值，再根据分层抽样的性质求总体的方差即可.
14．（2024高一下·汨罗期末）在如图所示的圆锥中，AB为底面圆O的直径，C为的中点，，则异面直线AP与BC所成角的余弦值为　 　．
【答案】
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：取的中点分别为， 连接，连接，如图所示：
因为为中点，为的中点，所以，，
则异面直线AP与BC所成角即直线与所成角，
AB为底面圆O的直径，C为的中点，，
则，，
因为为等边三角形，所以直线与所成角为，
则异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】取分别为的中点，可得异面直线AP与BC所成角即直线与所成角，求中各边长，求直线与所成角的余弦值即可.
15．（2024高一下·汨罗期末）如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为　 　.
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：沿着正三棱柱的侧棱剪开，把正三棱柱的侧面展成一个平面图形，如图所示：
易知侧面展开图为：长，宽一个矩形，
易知矩形的对角线长为，则最短路线的长为.
故答案为：.
【分析】沿着正三棱柱的侧棱剪开，把侧面展成一个平面图形，得到一个矩形，结合矩形的对角线长求解即可.
16．（2024高一下·汨罗期末）已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则　 　；　 　．
【答案】；2．
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：，
设，
因为共面，所以，解得，则，
又因为，所以，
则.
故答案为：；2．
【分析】设，以为基底表示，由共面，求出，可得的值和，再求即可.
17．（2024高一下·汨罗期末）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线．
（1）求实数的值；
（2）已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【答案】（1）解：由题意，，
由三点共线，存在实数k，使得，
即，得，
是平面内两个不共线的非零向量，
，解得．
（2）解：因为，
由四点按逆时针顺序构成平行四边形，则，
设，则，，
所以，解得，
即点A的坐标为．
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件，则，再结合三点共线得出，从而得出，再根据已知条件列方程求出实数的值.
（2）根据已知条件得出向量的坐标，再结合的坐标表示，从而求出点A的坐标.
（1）由题意，，
由三点共线，存在实数k，使得，
即，得，
是平面内两个不共线的非零向量，
，解得．
（2），
由四点按逆时针顺序构成平行四边形，则，
设，则，，
所以，解得，即点A的坐标为．
18．（2024高一下·汨罗期末）如图，在直三棱柱中，，D为BC的中点．
（1）证明：平面；
（2）若三棱柱的体积为，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接交于点O，连接OD，如图所示：
因为四边形为矩形，所以O为的中点，
因为D为BC的中点，所以，
因为平面平面，平面，
所以平面；
（2）解：根因为，所以，
则，解得，
因为D为BC的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
则为直线与平面所成角，
在中，，，则．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交于点O，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据线面垂直的判定定理可得平面，为直线与平面所成角，在中求正弦值即可．
（1）如下图，连接交于点O，连接OD，
因为四边形为矩形，所以O为的中点，
因为D为BC的中点，所以，
因为平面平面，平面，
所以平面；
（2）根据题意，因为，所以，
所以，得，
因为D为BC的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成角，
因为在中，，，
所以．
19．（2024高一下·汨罗期末）某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在.
（1）求居民月收入在的频率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？
【答案】（1）解：月收入在的频率为：，
则居民月收入在的频率为0.15；
（2）解：，，
，
，
则样本数据的中位数为，
即样本数据的中位数为2400元；
（3）解：居民月收入在的频率为：，
则10000人中月收入在的人数为：，
再从10000人中分层抽样方法抽出100人，
则月收入在的这段应抽取：，
故月收入在的这段应抽25人.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求月收入在的频率即可；
（2）比较几个区间的频率之和与0.5的关系，判断出中位数所在区间，求样本数据的中位数即可；
（3）根据表格先居民月收入在的频率，接着计算10000人中月收入在的人数，再根据分层抽样抽出100人，计算得出月收入在的这段应抽取的人数.
（1）月收入在的频率为：
∴居民月收入在的频率为0.15.
（2），
，
，
，
∴样本数据的中位数为
∴样本数据的中位数为2400元.
（3）居民月收入在的频率为：
，
∴10000人中月收入在的人数为：
，
再从10000人中分层抽样方法抽出100人，
则月收入在的这段应抽取：
，
∴月收入在的这段应抽25人.
20．（2024高一下·汨罗期末）龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出和共张牌(每个数字四个花色：红桃、红色、方块、红色、黑桃、黑色、梅花、黑色）现从张牌中依次取出张，抽到一张红和一张红即为成功现有三种抽取方式，如下表：
方式① 方式② 方式③
抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取
成功概率
（1）分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率；
（2）若三种抽取方式小明各进行一次，
求这三次抽取中至少有一次成功的概率；
设在三种方式中仅连续两次成功的概率为，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率最大？如果无关，请给出简要说明．
【答案】（1）解：设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为，
则，
设事件“抽到一张红和一张红”，红桃，红桃，红桃，方块，方块，红桃，方块，方块，红桃，红桃，方块，红桃，红桃，方块，方块，方块，
故．
（2）解：记三次抽取至少有一次成功为事件，
则．
有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大．
设三次抽取成功的概率分别为即为不同顺序的一个排列，
则，
又，
故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大．
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）先根据题意计算出三种抽取方式下所有情况数，再列举出抽到一张红10和一张红的情况，再根据古典概型的概率公式求解即可；
（2）（i）根据对立事件的概率公式求解即可；
（ii）设三次抽取成功的概率分别为，则，化简根据的大小可得结论.
21．（2024高一下·汨罗期末）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且．若是的“费马点”，．
（1）求角；
（2）若，求的周长；
（3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：，由正弦定理得，
整理可得，即，
所以，所以，所以；
（2）解：设，
则，
所以，由
可得：，即，
由余弦定理，可得，即，
，联立，解得，
则的周长为；
（3）解：设，
由（2）在中，分别由余弦定理得，
联立，可得，
则，
即，，
即，令，
由对勾函数性质知：在上单调递减，
则，即的取值范围为．
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理，结合两角和正弦公式化简求角即可；
（2）设，由数量积定义可得，利用三角形面积公式，由可得，再结合余弦定理求得可得周长；
（3）在中，根据余弦定理列方程组求解可得，然后参变分离，利用对勾函数性质求解即可.
（1）由已知，得，
由正弦定理，得，
即，
即，
由于，所以，所以.
（2）设，
则．
所以，由得：
，即，
由余弦定理得，，
即，即，
又，联立解得．
所以的周长为.
（3）设，
由（2）在中，由余弦定理得，
联立求解可得，
所以，
所以，，
即，令，
由对勾函数性质知在上单调递减，
所以．即的取值范围为．
1 / 1湖南省汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题
1．（2024高一下·汨罗期末）复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高一下·汨罗期末）在复平面内，非零复数满足（i为虚数单位），则复数对应的点在(　　)
A．一、三象限 B．二、四象限
C．实轴上（除原点外） D．坐标轴上（除原点外）
3．（2024高一下·汨罗期末）已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024高一下·汨罗期末）已知的顶点坐标分别是，，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·汨罗期末）12名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75（单位：m），则比赛成绩的75%分位数是（　　）
A．1.72 B．1.73 C．1.74 D．1.75
6．（2024高一下·汨罗期末）在中，，，平面内一点O满足，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·汨罗期末）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·汨罗期末）甲乙两人各有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷次，乙抛掷次，事件“甲抛掷的两次中第一次正面朝上”，事件“甲抛掷的两次硬币朝上的面相同”，事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，则下列说法正确的是(　　)
A． B． C． D．
9．（2024高一下·汨罗期末）（多选）下列命题中，正确的是（　　）
A．在中，，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若acosA＝bcosB，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
10．（2024高一下·汨罗期末）已知复数均不为，则下列式子正确的是(　　)
A． B． C． D．
11．（2024高一下·汨罗期末）已知平面向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．向量与的夹角为60°
D．向量在上的投影向量为2
12．（2024高一下·汨罗期末）在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是（　　）
A．为钝角三角形
B．的最大内角是最小内角的2倍
C．若为中点，则
D．若，则
13．（2024高一下·汨罗期末）某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为　 　.
14．（2024高一下·汨罗期末）在如图所示的圆锥中，AB为底面圆O的直径，C为的中点，，则异面直线AP与BC所成角的余弦值为　 　．
15．（2024高一下·汨罗期末）如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为　 　.
16．（2024高一下·汨罗期末）已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则　 　；　 　．
17．（2024高一下·汨罗期末）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线．
（1）求实数的值；
（2）已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
18．（2024高一下·汨罗期末）如图，在直三棱柱中，，D为BC的中点．
（1）证明：平面；
（2）若三棱柱的体积为，且，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（2024高一下·汨罗期末）某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在.
（1）求居民月收入在的频率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？
20．（2024高一下·汨罗期末）龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出和共张牌(每个数字四个花色：红桃、红色、方块、红色、黑桃、黑色、梅花、黑色）现从张牌中依次取出张，抽到一张红和一张红即为成功现有三种抽取方式，如下表：
方式① 方式② 方式③
抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取
成功概率
（1）分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率；
（2）若三种抽取方式小明各进行一次，
求这三次抽取中至少有一次成功的概率；
设在三种方式中仅连续两次成功的概率为，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率最大？如果无关，请给出简要说明．
21．（2024高一下·汨罗期末）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且．若是的“费马点”，．
（1）求角；
（2）若，求的周长；
（3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故答案为：D.
【分析】利用复数乘除运算法则化简，再结合复数的几何意义得出复数在复平面内对应的点的坐标，从而确定点所在的象限．
2．【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：设复数，因为，所以，
所以，故复数对应的点在一 三象限角平分线（除原点）上.
故答案为：A.
【分析】设复数，根据得到，结合复数的几何意义判断即可.
3．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：若 ， ，不能构成 一组空间基底 ，则， ，共面，
所以存在唯一实数，使得，
对A：因为，则，
整理得，所以，无解.
即， ，不共面，所以与构成一个基底，故A正确；
对B：因为，所以，故B错误；
对C：因为，所以，故C错误；
对D：因为 ，所以，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据题意结合空间向量基底的概念和共面向量的性质逐项分析判断.
4．【答案】A
【知识点】平面内两点间的距离公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：根据两点间距离公式可得：，，，
由余弦定理得，因为，所以.
故答案为：A.
【分析】根据两点间距离公式可求三角形三边的长，再利用余弦定理结合同角三角函数关系求解即可.
5．【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将12名学生的成绩从小到大排序为：1.55， 1.59，1.60，1.65，1.67，1.68，1.69，1.70， 1.72， 1.74，1.758，1.78，
，则这组数据的第75%分位数是.
故答案为：B.
【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的计算方法求解即可.
6．【答案】C
【知识点】向量在几何中的应用；解三角形；余弦定理；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：在中，，，
由余弦定理得：，
满足，则，即是直角三角形，
因为，所以点是的外心，且点是斜边的中点，
的等边三角形，且，
则向量在向量上的投影向量为
.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用余弦定理、勾股定理可得是直角三角形，点是的外心，，再利用投影向量定义求解即可.
7．【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设半球的半径为，
连接交于点，连接，如图所示：
则，易得，
正四棱锥的体积为：，
解得，则半球的体积为：.
故答案为：C.
【分析】设半球的半径为，连接交于点，连接，利用四棱锥的体积公式求出半径，再代入球的体积公式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；样本点与有限样本空间；事件的包含与相等；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：用表示甲第次抛掷的结果，那么甲抛掷两次的结果可以用表示，用1表示正面向上，0表示反面向上，
则样本空间，
所以不是的子集，，故AB错误；
设事件“甲得到的反面数比乙得到的反面数少”，则，下证事件与事件对立.
若事件与事件同时发生，那么甲的正面数和反面数都比乙的少，那么甲抛的次数至少比乙少两次，与题目矛盾；若事件与事件都不发生，那么甲的正面数和反面数都不比乙的少，那么甲抛的次数不比乙少，与题目矛盾；故事件与事件对立，所以，
因为，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】利用列举法分析即可判断AB；利用反证法分析即可判断CD.
9．【答案】A,B,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A、 在中，，由正弦定理可得，，故A正确；
B、为锐角三角形：则，即，
则，故B正确；
C、由正弦定理可得，则，因为，
所以或，则为等腰或直角三角形，故C错误；
D、 在中，若，， 由，可得，
即，因为，所以，则必是等边三角形，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用正弦定理即可判断A；由锐角三角形易得，根据锐角正弦函数的大小关系及诱导公式即可判断B；由正弦定理边角关系，结合三角形内角的性质判断内角A、B的数量关系即可判断C；利用余弦定理，结合已知得，判断的形状即可判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、当复数时，，故A错误；
B、由复数的模的性质可得：，故B正确；
C、设，则，而，故C错误；
D、，因为，所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】取特殊复数即可判断判断AC；根据复数的模长性质即可判断BD.
11．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；空间向量的投影向量
【解析】【解答】，所以，A不符合题意；
，B符合题意；
，因为，故，所以向量与的夹角为60°，C符合题意；
向量在上的投影向量为，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】 根据向量坐标得线性运算和模的坐标表示即可判断A；根据向量数量积的坐标表示即可判断B；根据即可判断C；根据投影向量的定义即可判断D.
12．【答案】B,C,D
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：，由正弦定理可得，
不妨设，，
A、由余弦定理知，即为锐角，
则为锐角三角形，故错误；
B、，
因为，所以，即，
又因为均为锐角，所以，故B正确；
C、因为为中点，所以，
则，
即，又，则，故C正确；
D、由，得，因为，
所以，由，
可得，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，由正弦定理得，不妨设则，求出最大边所对的角即最大角即可判断A；由余弦定理以及二倍角公式即可判断B；求出中线即可判断C；借助求出角平分线即可判断D.
13．【答案】
【知识点】分层抽样方法；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意，总体的均值为，
则总体的方差为：.
故答案为：0.76.
【分析】先求出总体的均值，再根据分层抽样的性质求总体的方差即可.
14．【答案】
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：取的中点分别为， 连接，连接，如图所示：
因为为中点，为的中点，所以，，
则异面直线AP与BC所成角即直线与所成角，
AB为底面圆O的直径，C为的中点，，
则，，
因为为等边三角形，所以直线与所成角为，
则异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】取分别为的中点，可得异面直线AP与BC所成角即直线与所成角，求中各边长，求直线与所成角的余弦值即可.
15．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：沿着正三棱柱的侧棱剪开，把正三棱柱的侧面展成一个平面图形，如图所示：
易知侧面展开图为：长，宽一个矩形，
易知矩形的对角线长为，则最短路线的长为.
故答案为：.
【分析】沿着正三棱柱的侧棱剪开，把侧面展成一个平面图形，得到一个矩形，结合矩形的对角线长求解即可.
16．【答案】；2．
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：，
设，
因为共面，所以，解得，则，
又因为，所以，
则.
故答案为：；2．
【分析】设，以为基底表示，由共面，求出，可得的值和，再求即可.
17．【答案】（1）解：由题意，，
由三点共线，存在实数k，使得，
即，得，
是平面内两个不共线的非零向量，
，解得．
（2）解：因为，
由四点按逆时针顺序构成平行四边形，则，
设，则，，
所以，解得，
即点A的坐标为．
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件，则，再结合三点共线得出，从而得出，再根据已知条件列方程求出实数的值.
（2）根据已知条件得出向量的坐标，再结合的坐标表示，从而求出点A的坐标.
（1）由题意，，
由三点共线，存在实数k，使得，
即，得，
是平面内两个不共线的非零向量，
，解得．
（2），
由四点按逆时针顺序构成平行四边形，则，
设，则，，
所以，解得，即点A的坐标为．
18．【答案】（1）证明：连接交于点O，连接OD，如图所示：
因为四边形为矩形，所以O为的中点，
因为D为BC的中点，所以，
因为平面平面，平面，
所以平面；
（2）解：根因为，所以，
则，解得，
因为D为BC的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
则为直线与平面所成角，
在中，，，则．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交于点O，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据线面垂直的判定定理可得平面，为直线与平面所成角，在中求正弦值即可．
（1）如下图，连接交于点O，连接OD，
因为四边形为矩形，所以O为的中点，
因为D为BC的中点，所以，
因为平面平面，平面，
所以平面；
（2）根据题意，因为，所以，
所以，得，
因为D为BC的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成角，
因为在中，，，
所以．
19．【答案】（1）解：月收入在的频率为：，
则居民月收入在的频率为0.15；
（2）解：，，
，
，
则样本数据的中位数为，
即样本数据的中位数为2400元；
（3）解：居民月收入在的频率为：，
则10000人中月收入在的人数为：，
再从10000人中分层抽样方法抽出100人，
则月收入在的这段应抽取：，
故月收入在的这段应抽25人.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求月收入在的频率即可；
（2）比较几个区间的频率之和与0.5的关系，判断出中位数所在区间，求样本数据的中位数即可；
（3）根据表格先居民月收入在的频率，接着计算10000人中月收入在的人数，再根据分层抽样抽出100人，计算得出月收入在的这段应抽取的人数.
（1）月收入在的频率为：
∴居民月收入在的频率为0.15.
（2），
，
，
，
∴样本数据的中位数为
∴样本数据的中位数为2400元.
（3）居民月收入在的频率为：
，
∴10000人中月收入在的人数为：
，
再从10000人中分层抽样方法抽出100人，
则月收入在的这段应抽取：
，
∴月收入在的这段应抽25人.
20．【答案】（1）解：设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为，
则，
设事件“抽到一张红和一张红”，红桃，红桃，红桃，方块，方块，红桃，方块，方块，红桃，红桃，方块，红桃，红桃，方块，方块，方块，
故．
（2）解：记三次抽取至少有一次成功为事件，
则．
有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大．
设三次抽取成功的概率分别为即为不同顺序的一个排列，
则，
又，
故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大．
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）先根据题意计算出三种抽取方式下所有情况数，再列举出抽到一张红10和一张红的情况，再根据古典概型的概率公式求解即可；
（2）（i）根据对立事件的概率公式求解即可；
（ii）设三次抽取成功的概率分别为，则，化简根据的大小可得结论.
21．【答案】（1）解：，由正弦定理得，
整理可得，即，
所以，所以，所以；
（2）解：设，
则，
所以，由
可得：，即，
由余弦定理，可得，即，
，联立，解得，
则的周长为；
（3）解：设，
由（2）在中，分别由余弦定理得，
联立，可得，
则，
即，，
即，令，
由对勾函数性质知：在上单调递减，
则，即的取值范围为．
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理，结合两角和正弦公式化简求角即可；
（2）设，由数量积定义可得，利用三角形面积公式，由可得，再结合余弦定理求得可得周长；
（3）在中，根据余弦定理列方程组求解可得，然后参变分离，利用对勾函数性质求解即可.
（1）由已知，得，
由正弦定理，得，
即，
即，
由于，所以，所以.
（2）设，
则．
所以，由得：
，即，
由余弦定理得，，
即，即，
又，联立解得．
所以的周长为.
（3）设，
由（2）在中，由余弦定理得，
联立求解可得，
所以，
所以，，
即，令，
由对勾函数性质知在上单调递减，
所以．即的取值范围为．
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