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彭山一中强基班期末数学试题
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知全集，，，则集合的真子集个数为（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象大致是（ ）
A． B． C．D．
5．已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．，用表示，中的较小者，记为，若，，则函数的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．3
7．已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．函数.若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题6分，共18分）
9．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．的最小值为0
B．为偶函数
C．若，则
D．是在上的减函数
10．下列说法中正确的为（ ）
A．已知，则“”是“”的必要不充分条件
B．若，则的最小值为2
C．若正实数满足，则的最小值为
D．若，且，则的最大值为7
11．设函数的定义域为R，且满足为奇函数，当时，. 则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．为偶函数
D．若方程在恰有3个不同的根，则
三、填空题（每题5分，共15分）
12．已知集合各元素之和等于3，则实数 ．
13．设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是 ．
14．已知二次函数满足：且，则 .
四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）
15．为了方便同学们课余阅读，彭山一中在教学楼每层中央新增两处藏书角，为了了解学生课外阅读的丰富程度，现采用问卷的形式随机对100名学生进行了调查.将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本数据的第62百分位数；
(3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；
落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差.
16．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
17．设函数.
(1)若关于的不等式的解集为，求实数的值；
(2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；
(3)解关于的不等式：.
18．已知定义在上函数，其中．
(1)判断函数在上的单调性，并用定义法进行证明；
(2)解不等式；
(3)设，若的定义域为时，值域为，求正实数的取值范围．
19．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
(1)求函数图象的对称中心；
(2)若（1）中的函数与的图象有4个公共点，求的值；
(3)类比题目中的结论，写出：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件（写出结论即可，不需要证明）.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B D A B D B A ACD ACD AD
12．或 13． 14．25
15．【详解】（1）由，解得；
（2）因为，，
所以样本数据的第62百分位数在内，可得，
所以样本数据的第62百分位数为分；
（3）样本数据落在的个数为，落在的个数为，
，总方差.
16．【详解】（1）当时，；
当时，，
．
（2）若，当时，万元；
若，
，
当且仅当时，即时，万元，
由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，
最大利润是1680万元．
17．【详解】（1）由题意知，是方程的两个根，
则，则.
（2），则对于实数时恒成立，
则，即，解得，∴
则的取值范围为.
（3）依题意，等价丁，
当时，不等式可化为，解集为.
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或；
综上，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为.
18．【详解】（1）在上单调递增；
证明：，且，，
∵，，∴，，
∴，即，
∴在上单调递增；
（2）∵在上单调递增，，
∴，则解得，
∴不等式的解集为.
（3）由（1）可知，在上单调递增，
又∵在上的值域为，∴，
∴方程有两个实根，，即方程有两个不相等的正实根，
∴，又，∴．
19．【详解】（1）设对称中心坐标为，由题意可知，为奇函数，
对任意恒成立，
即，
所以恒成立，
则，解得.
函数图象的对称中心为.
（2）对于函数，有为奇函数.
所以函数图象关于点对称，
则函数与图象4个公共点也关于对称，所以.
（3）函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.

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