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《高二数学下学期阶段性检测》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D D A D D C BD AB
题号 11
答案 ABD
1．C
【详解】由题设.
故选：C
2．A
【详解】①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序，①属于排列问题；
②选出的2人劳动内容相同，无顺序，②不属于排列问题，
③选出5人组成一个篮球队，无顺序，③不属于排列问题，
④选出的两个数作为底数或指数，其结果不同，有顺序，④属于排列问题，
所以属于排列问题的为①④.
故选：A
3．D
【详解】由图及题设，当时，；
当；
当时，；
当时，；
即函数在和上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极小值，在时取得极大值；
故A，B，C错，D正确.
故选：D.
4．D
【详解】先涂中间，有5种选色，再逐个涂旁边部分，都有4种选色.由分步乘法计数原理得不同的涂色方案种数为.
故选：D.
5．A
【详解】把3个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放2个小球，
可分成两类情况：
①在4个不同的盒子中任取3个盒子，每个盒子中放一个，有种放法，
②把3个球分为两组，一组1个，一组2个，分别放到两个不同的盒子中，有种放法.
由分类加法计数原理：不同方法有：4+12=16种．
故选：A．
6．D
【详解】令，则，
由题意知当时，，故在上单调递增，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
所以，
所以是定义域为的偶函数，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
所以，
所以当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
则不等式的解集为.
故选：D.
7．D
【详解】对于任意的，都有，
即对于任意的，都有，
令，则在上单调递增，
又，令，解得，
则时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，即实数的取值范围是.
故选：D
8．C
【详解】因为函数仅有一个零点，
所以函数的图象与函数的图象只有一个交点.
函数恒过定点，，
同一坐标系内作出两函数图象，如图所示，
两个函数图象已经有一个交点.
时，，其导函数，
当直线与函数在处相切时，只有一个交点，
此时，解得，则当时，有两个交点.
时，，其导函数，
当直线与函数在处相切时，只有一个交点，
此时，解得，则当时，有两个交点.
综上，要使函数仅有一个零点，则实数的取值范围是.
故选：C.
9．BD
【详解】利用复合函数的求导法则，由，所以A错误；
因为，当时，，
且时，，时，，故为极大值点，所以B正确；
由在上的平均变化率为，所以C错误；
因为，当时，，所以D正确.
故选：BD.
10．AB
【详解】对于选项A：由杨辉三角可得：第n行的第个位置的数是，故A正确；
对于选项B：因为
，
所以，故B正确；
对于选项C：因为第2024行的第个位置的数是，
由组合数性质可知：为的最大值，
所以第2024行的第1013个数最大，故C错误；
对于选项D：第28行中第5个数与第6个数的比值为，故D错误；
故选：AB.
11．ABD
【详解】对于A，设切线方程为：.当时，，
则，，即切线方程为，故A正确；
对于B，当时，，；或.
则在上递增，在上递减，得，
，又注意到当趋近于负无穷大时，趋近于正无穷大，
趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，则分别在上有一个零点，故B正确；
对于C，，，令，
因有两个极值点，则有两个不等正根，，故 C错误；
对于D，，即，可化为，
令，因，则在上单调递增，
即，令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则，则，即，故D正确．
故选：ABD．
12．
【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序，
茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，
所以，不同的下锅顺序种数为种.
故答案为：.
13．15
【详解】函数定义域为R，.
因为函数在处有极值10，
所以，解得：或.
当时，.
令，得或；令，得.
所以在单增，在单减，在单增，
所以函数在处有极值，符合题意.
当时，恒成立.
所以在R上单增，所以函数在处无极值，不符合题意.
综上所述：.
所以15.
故答案为：15
14．
【详解】设，
因为，在R上单调递增，所以在R上单调递增，
又，则是奇函数，
由，可得，
即，
，即在上有解，
令，则，，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，
，即实数的取值范围为.
故答案为：.
15．(1)120
(2)72
(3)48
(4)243
(5)150
【详解】（1）甲乙丙丁戊五个同学排成一排，共有种不同的排列方法；
（2）甲乙丙丁戊排成一排，甲乙不相邻，先将丙丁戊排成一列有种方法，
再将甲乙插空隙中，有种方法，
所以共有不同排法数为（种）
（3）甲乙丙丁戊排成一排，甲乙相邻，先将甲乙排在一起，有种排法，
再与其他同学全排列有种排法，共有种排法；
（4）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，
因此每个人都有3种选择，所以不同游览方法有（种）.
（5）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，
则先把5人按分组，有种分组方法，
按分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为，
再把每一种分组安排到三个城市，有种方法，
所以不同分配方法种数是.
16．(1)
(2)最小值为，最大值
【详解】（1）设切点为，由得，
所以所求切线的斜率为，即，
所以，即，故切点为，
所以所求切线的斜率为，切线方程为，即，
故所求切线的方程为．
（2）由条件知，．
所以，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在单调性为：单调递减，单调递增，
所以．
又
，所以最大值为：
所以在的最小值为，最大值为：
17．(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）因为，且定义域为，
所以，令，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，得到，令，得到，
故函数在上单调递减，在上单调递增；
综上：当时，在上单调递增；
当时在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）得，
因为对于任意，恒成立，
所以恒成立，
化简得恒成立，故恒成立，
令，则恒成立，，
令，则，
得到在单调递增，即
故，在单调递增，而，
即，故.
18
【详解】（1）时，，，
因为，均在上单调递增，
则在上单调递增，又，
所以，，，，
所以在单调递减，在单调递增．
（2）①依题意的两根为，
即的两根为．
令，
得，且，，
则在单调递减，在单调递增，则．
令，
则，所以在单调递增，所以，
所以，又，在单调递增．
所以，即．
②由，要证明，只需证，
即证明，
即证明
即证明
即证明，设，，
则，则当时，，则在单调递减，
则，则在上恒成立，从而左边得证．
因为，，且，，
则在和处的切线分别为和，
令，得，
再证明恒成立，
设，则，令，解得，
且时，，此时函数单调递减；
时，，此时函数单调递增；
则，则恒成立，
再证明恒成立，
设，，则在上单调递增，
又因为且大于0时，，则恒成立，
所以，从而右边得证．
19．
【详解】（1）当时，则，
因为为函数在上的“拉格朗日中值点，
则，
即，解得
（2）当时，
不妨设，，，则，
又，令，
则，
又，所以恒成立，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，
所以，所以，
由拉格朗日中值定理可知必存在使得，
即，又，所以，
即函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于；
（3）当时，
由拉格朗日中值定理知，存在和，
使得，，
所以只需证明，即证明在上单调递减，
又，
令，
则，
令，
则，
当时，
令，，则，则在上单调递增，
又，，
所以存在使得，
所以当时，则，即单调递增，
当时，则，即单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，
所以
，
所以，所以在上单调递减，
即在上单调递减，命题得证.
答案第1页，共2页城阳一中高二数学2024-2025学年度下学期3月月考阶段性检测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________3.19
第Ⅰ卷（选择题 58 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项4中，只有一项是符合题目要求的.
1．若函数满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．下列问题属于排列问题的是（ ）
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算．
A．①④ B．①② C．③④ D．①③④
3．已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间是
B．函数的减区间是
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
4．勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．120 B．240 C．300 D．320
5．把3个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放2个小球，则不同方法有（　　）
A．16 B．24 C．64 D．81
6．已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．若对于任意的，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，则（ ）
A． B．是的一个极值点
C．在上的平均变化率为1 D．在处的瞬时变化率为2
10．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是（ ）
A．第n行的第个位置的数是
B．
C．第2024行的第1012个数最大
D．第28行中第5个数与第6个数的比值为
11．设函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，在点处的切线方程为
B．当时，有三个零点
C．若有两个极值点，则
D．若，则正实数的取值范围为
第Ⅱ卷（非选择题 92 分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种.
13．已知函数在处有极值10，则 ．
14．已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13）
甲乙丙丁戊五个同学
(1)排成一排，共有多少种不同的排列方法？
(2)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？
(3)排成一排，甲乙相邻，共有多少种不同排列方法？
(4)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？
(5)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？
16．（15）
已知函数．
(1)过原点作曲线的切线，求该切线的方程；
(2)设，求在的最值．
17．（15）
已知函数，，为函数的导函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若任意，恒成立，求a的取值范围．
18．（17）
已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)设是的两个极值点，
①求证：；
②求证：.
19．（17）
微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.
(1)若，求函数在上的“拉格朗日中值点”；
(2)若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于；
(3)若，且，求证:.
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