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贵州省六盘水市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试题
1．（2024高一下·六盘水期末）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：因为，
所以，，.
故答案为：A.
【分析】解一元二次方程得出集合，再根据集合与集合的关系、元素与集合的关系，从而逐项判断找出正确的选项.
2．（2024高一下·六盘水期末）下列图形中，可以表示函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的表示方法
【解析】【解答】解：根据函数的概念可知：B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义判断即可.
3．（2024高一下·六盘水期末）已知，则（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
则.
故答案为：B.
【分析】利用复数乘法运算法则得出复数z，再结合复数求模公式得出复数z的模.
4．（2024高一下·六盘水期末）已知函数且，则下列选项正确的是（　　）
A．函数的值域为 B．若，则
C．函数的图象恒过定点 D．若，则
【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为函数且为指数函数，
所以，指数函数的定义域为，值域为，故A错误；
若，则在上单调递增，
所以，
则，故B错误；
因为指数函数的图象恒过定点，故C正确；
若，则在上单调递减，
由，得，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据指数函数的单调性、值域求解方法、图象恒过定点的性质，从而逐项判断找出正确的选项.
5．（2024高一下·六盘水期末）已知长方体的长 宽 高分别为，则这个长方体外接球的表面积与体积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为长方体的外接球直径为体对角线，且，
则，
所以，.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和长方体的外接球直径为体对角线，从而求出球的半径，再结合球的表面积公式和体积公式，从而得出这个长方体外接球的表面积与体积之比.
6．（2024高一下·六盘水期末）在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（　　）
A．0 B． C． D．1
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为D是BC边上靠近点的三等分点，E是的中点，
所以
所以，
因为不共线，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用 D是BC边上靠近点的三等分点，E是的中点， 再根据平面向量基本定理结合已知条件，则将用表示，再利用不共线，从而求出的值，进而得出的值.
7．（2024高一下·六盘水期末）已知函数是定义域为的奇函数，.当时，，则（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由题意，得，
所以的周期是4，
所以.
故答案为：A.
【分析】由已知条件和函数的周期性、奇偶性，从而得出函数的值.
8．（2024高一下·六盘水期末）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由已知得：，
，
两式相加得：，
，
，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和两角和与差的余弦公式、正弦公式以及同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
9．（2024高一下·六盘水期末）如图在正方体中，分别是的中点，则下列选项正确的是（　　）
A．平面 B．平面
C．四点共面 D．与所成的角为
【答案】A,B,C
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；共面向量定理
【解析】【解答】解：对于A，在正方体中，连接，
因为分别是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以，直线平面，故A正确；
对于B，在正方体中，平面，面，
所以，
因为，是平面内的两条相交直线，
所以平面，
由面，
则，分别是的中点，
则，
所以，
在正方体中，平面，面，
所以，
因为，是平面内的两条相交直线，
所以平面，
由面，
则，
又因为，
所以，
又因为是平面内两条相交直线，
则平面，故B正确；
对于C，由以上可知，两条平行线可以确定一个平面，
所以四点共面，故C正确；
对于D，连接相交于点，连接，
在正方形中，点为的中点，
可得，
所以为与所成的角，
设正方体的边长为2，，，，
因为，，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据线面平行的判定定理、线面垂直判定定理、两直线平行确定共面、两直线夹角定义法，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2024高一下·六盘水期末）下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，若，则，故A错误；
对于B，由基本不等式，可得，故B正确；
对于C，因为，
故C正确；
对于D，因为，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】举反例可判断选项A；结合基本不等式求最值的方法，从而判断出选项B、选项C和选项D，进而找出正确的选项.
11．（2024高一下·六盘水期末）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（　　）
A．的面积为
B．若为非零向量，且，则
C．若，则的最小值为
D．已知点为坐标原点，则
【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：对于A：因为，
故选项A错误；
对于B：若为非零向量，
则，
则，故选项B正确；
对于C：因为，
则，
当且仅当时取到“”，故选项C正确；
对于D：因为点为坐标原点，
则故选项D错误.
故答案为：BC.
【分析】由新定义结合三角形面积公式，则判断出选项A；利用新定义建立关于的方程，从而得出的值，则判断出选项B；由已知得出，再结合向量的模的公式以及基本不等式求最值的方法，则判断出选项C；由新定义结合向量积、模的坐标公式，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2024高一下·六盘水期末）已知，则　 　.
【答案】
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，
所以，，
所以.
故答案为：.
【分析】先表示出，的坐标，再根据线性运算的坐标表示，从而得出的坐标.
13．（2024高一下·六盘水期末）已知函数，则　 　.
【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：.
【分析】根据分段函数的解析式和代入法，从而得出的值.
14．（2024高一下·六盘水期末）已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值是　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【解答】解：由题意得：
，
由余弦定理得：
则，当且仅当时取等号.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和辅助角公式以及三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值，再利用余弦定理和均值不等式求最值的方法，从而得出bc的最大值，再结合三角形的面积公式得出面积的最大值.
15．（2024高一下·六盘水期末）已知二次函数的图象经过点且对称轴为.
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）解：二次函数图象经过点和对称轴为，
，
，
.
（2）解：，
，
，
，
不等式的解集.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件和点代入法和二次函数的对称性，从而建立关于b，c的方程组，解方程组得出b，c的值，进而得出二次函数的解析式.
（2）利用（1）中二次函数的解析式结合一元二次不等式求解方法，从而得出不等式的解集.
（1）二次函数图象经过点和对称轴为，
，，
.
（2），，
，，
不等式的解集.
16．（2024高一下·六盘水期末）已知函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；再向左平移个单位长度，得到函数的图象.当时，求函数的最值.
【答案】（1）解：，
，
，
函数的最小正周期.
（2）解：由（1）知，，
把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到，
再向左平移个单位长度得：，
当时，单调递减；当时，单调递增，
当时，，
当时，，
当时，，
，
当时，，且无最大值.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式，则化简原函数为余弦型函数，再利用余弦型函数的最小正周期公式，从而得出函数的最小正周期.
（2）由（1）知，，再利用余弦型函数的图象变换得出函数h(x)的解析式，再结合x的取值范围和余弦型函数的单调性，从而得出当时的函数的最值.
（1），
，
函数的最小正周期；
（2）由（1）知，
把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到，再向左平移个单位长度得，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，且无最大值.
17．（2024高一下·六盘水期末）如图，直三棱柱中，分别是的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：连接，连结交于点，
则为中点，
因为是中点，连结，
则是的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：方法一：由题意，设，记点到平面距离为，
在中，是的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
平面，
，
，
，
，
所以，，
则，
记直线与平面所成角为
则.
方法二：过作的垂线，垂足为，连接，
在中，是的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
平面，
，
又因为，，平面，
所以平面，
则直线与面所成角为，
在中由，
由题意，设，
则，
则，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和中位线定理得出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即证出平面.
（2）利用两种方法求解.
方法一：由中点的性质和线线垂直与线面垂直的推导关系，再结合等体积法和三棱锥的体积公式，从而得出点到平面距离，再利用正弦函数的定义得出直线与平面所成角的正弦值.
思路二：用线面角的定义得出直线与面所成角为，再结合解三角形知识得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）连接，连结交于点，则为中点，
又是中点，连结，则是的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）方法一：由题意设，记点到平面距离为，
在中，是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面；
平面，，
，
，
，
，
，
记直线与平面所成角为，
方法二：过作的垂线，垂足为，连接.
在中，是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面；
平面，
，
又因为，，平面，
所以平面，
则直线与面所成角为，
在中由，由题意设，
知，求得.
则.
18．（2024高一下·六盘水期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号.作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，又是文明城市的主要创造者.六盘水市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛（满分100分），从所有答卷的成绩中抽取了容量为100的样本，将样本（成绩均为不低于50分的整数）分成五段：得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值和估计样本的下四分位数；
（2）按照分层抽样的方法，从样本中抽取20份成绩，应从中抽取多少份；
（3）已知落在的平均成绩是53，方差是4；落在的平均成绩为65，方差是7，求成绩落在的平均数和方差.
（注：若将总体划分为若干层，随机抽取两层，通过分层随机抽样，每层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记这两层总的样本平均数为，样本方差为，则）
【答案】（1）解：由已知可得，
，
则样本成绩在分以下的答卷所占的比例为，
所以，样本成绩在分以下的答卷所占的比例为：，
因此，样本成绩的下四分位数一定位于内，设为，
则，
解得，
所以因此样本成绩的下四分位数为.
（2）解：按照分层抽样的方法，
从样本中抽取份成绩，抽样的比例为，
则样本成绩在有人，
则从样本成绩中抽取人.
（3）解：落在的人数为人，
落在的人数为人，
两组成绩的总平均数，
两组成绩的总方差为：.
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解方程求出的值，再根据百分位数计算规则，从而估计出样本的下四分位数.
（2）根据已知条件和分层抽样方法，从而得出应从中抽取的份数.
（3）先求出各组的人数，再根据平均数公式、方差公式，从而计算可得成绩落在的平均数和方差.
（1）由已知可得由已知可得
，
样本成绩在分以下的答卷所占的比例为，
样本成绩在分以下的答卷所占的比例为，
因此样本成绩的下四分位数一定位于内，设为，则，解得，
所以因此样本成绩的下四分位数为；
（2）按照分层抽样的方法，从样本中抽取份成绩，抽样的比例为，
样本成绩在有人，
则从样本成绩中抽取人；
（3）落在的人数为人，
落在的人数为人，
两组成绩的总平均数，
两组成绩的总方差.
19．（2024高一下·六盘水期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”.
（1）求证：是函数的一个“优美区间”；
（2）求证：函数不存在“优美区间”；
（3）已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值.
【答案】（1）证明：在区间上单调递增，又因为，
当时，，
根据“优美区间”的定义，
是的一个“优美区间”.
（2）证明：因为，设，
可设或，
则函数在上单调递增，
若是的“优美区间”，
则
m，n是方程的两个同号且不等的实数根，
方程无解，
函数不存在“优美区间”.
（3）解：因为，
设，
有“优美区间”，
或，
在上单调递增，
若是函数的“优美区间”，
则，
是方程，
则（*）的两个同号且不等的实数根，
，
或，
由（*）式，得，
或，
当时，取得最大值，
.
【知识点】集合间关系的判断；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据优美区间的定义证出是函数的一个“优美区间”.
（2）假设函数存在“优美区间”，再结合已知条件推出矛盾，从而证出函数不存在“优美区间”.
（3）利用已知条件，将原题条件等价于是方程（*）的两个同号且不等的实数根，再结合判别式法可得的取值范围，再利用韦达定理，从而用表示，再利用二次函数求最值的方法，从而得出的最大值以及此时的a的值.
（1）在区间上单调递增，又，
当时，，
根据“优美区间”的定义，是的一个“优美区间”；
（2），设，可设或，
则函数在上单调递增.
若是的“优美区间”，则是方程的两个同号且不等的实数根.
方程无解.
函数不存在“优美区间”.
（3），设.
有“优美区间”，
或，
在上单调递增.
若是函数的“优美区间”，则，
是方程，即（*）的两个同号且不等的实数根.
，
或，
由（*）式得.
，
或，
当时，取得最大值.
.
1 / 1贵州省六盘水市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试题
1．（2024高一下·六盘水期末）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·六盘水期末）下列图形中，可以表示函数的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024高一下·六盘水期末）已知，则（　　）
A．1 B． C． D．2
4．（2024高一下·六盘水期末）已知函数且，则下列选项正确的是（　　）
A．函数的值域为 B．若，则
C．函数的图象恒过定点 D．若，则
5．（2024高一下·六盘水期末）已知长方体的长 宽 高分别为，则这个长方体外接球的表面积与体积之比为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·六盘水期末）在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（　　）
A．0 B． C． D．1
7．（2024高一下·六盘水期末）已知函数是定义域为的奇函数，.当时，，则（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
8．（2024高一下·六盘水期末）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·六盘水期末）如图在正方体中，分别是的中点，则下列选项正确的是（　　）
A．平面 B．平面
C．四点共面 D．与所成的角为
10．（2024高一下·六盘水期末）下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024高一下·六盘水期末）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（　　）
A．的面积为
B．若为非零向量，且，则
C．若，则的最小值为
D．已知点为坐标原点，则
12．（2024高一下·六盘水期末）已知，则　 　.
13．（2024高一下·六盘水期末）已知函数，则　 　.
14．（2024高一下·六盘水期末）已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值是　 　.
15．（2024高一下·六盘水期末）已知二次函数的图象经过点且对称轴为.
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集.
16．（2024高一下·六盘水期末）已知函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；再向左平移个单位长度，得到函数的图象.当时，求函数的最值.
17．（2024高一下·六盘水期末）如图，直三棱柱中，分别是的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18．（2024高一下·六盘水期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号.作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，又是文明城市的主要创造者.六盘水市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛（满分100分），从所有答卷的成绩中抽取了容量为100的样本，将样本（成绩均为不低于50分的整数）分成五段：得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值和估计样本的下四分位数；
（2）按照分层抽样的方法，从样本中抽取20份成绩，应从中抽取多少份；
（3）已知落在的平均成绩是53，方差是4；落在的平均成绩为65，方差是7，求成绩落在的平均数和方差.
（注：若将总体划分为若干层，随机抽取两层，通过分层随机抽样，每层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记这两层总的样本平均数为，样本方差为，则）
19．（2024高一下·六盘水期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”.
（1）求证：是函数的一个“优美区间”；
（2）求证：函数不存在“优美区间”；
（3）已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：因为，
所以，，.
故答案为：A.
【分析】解一元二次方程得出集合，再根据集合与集合的关系、元素与集合的关系，从而逐项判断找出正确的选项.
2．【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的表示方法
【解析】【解答】解：根据函数的概念可知：B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义判断即可.
3．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
则.
故答案为：B.
【分析】利用复数乘法运算法则得出复数z，再结合复数求模公式得出复数z的模.
4．【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为函数且为指数函数，
所以，指数函数的定义域为，值域为，故A错误；
若，则在上单调递增，
所以，
则，故B错误；
因为指数函数的图象恒过定点，故C正确；
若，则在上单调递减，
由，得，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据指数函数的单调性、值域求解方法、图象恒过定点的性质，从而逐项判断找出正确的选项.
5．【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为长方体的外接球直径为体对角线，且，
则，
所以，.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和长方体的外接球直径为体对角线，从而求出球的半径，再结合球的表面积公式和体积公式，从而得出这个长方体外接球的表面积与体积之比.
6．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为D是BC边上靠近点的三等分点，E是的中点，
所以
所以，
因为不共线，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用 D是BC边上靠近点的三等分点，E是的中点， 再根据平面向量基本定理结合已知条件，则将用表示，再利用不共线，从而求出的值，进而得出的值.
7．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由题意，得，
所以的周期是4，
所以.
故答案为：A.
【分析】由已知条件和函数的周期性、奇偶性，从而得出函数的值.
8．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由已知得：，
，
两式相加得：，
，
，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和两角和与差的余弦公式、正弦公式以及同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
9．【答案】A,B,C
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；共面向量定理
【解析】【解答】解：对于A，在正方体中，连接，
因为分别是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以，直线平面，故A正确；
对于B，在正方体中，平面，面，
所以，
因为，是平面内的两条相交直线，
所以平面，
由面，
则，分别是的中点，
则，
所以，
在正方体中，平面，面，
所以，
因为，是平面内的两条相交直线，
所以平面，
由面，
则，
又因为，
所以，
又因为是平面内两条相交直线，
则平面，故B正确；
对于C，由以上可知，两条平行线可以确定一个平面，
所以四点共面，故C正确；
对于D，连接相交于点，连接，
在正方形中，点为的中点，
可得，
所以为与所成的角，
设正方体的边长为2，，，，
因为，，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据线面平行的判定定理、线面垂直判定定理、两直线平行确定共面、两直线夹角定义法，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，若，则，故A错误；
对于B，由基本不等式，可得，故B正确；
对于C，因为，
故C正确；
对于D，因为，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】举反例可判断选项A；结合基本不等式求最值的方法，从而判断出选项B、选项C和选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：对于A：因为，
故选项A错误；
对于B：若为非零向量，
则，
则，故选项B正确；
对于C：因为，
则，
当且仅当时取到“”，故选项C正确；
对于D：因为点为坐标原点，
则故选项D错误.
故答案为：BC.
【分析】由新定义结合三角形面积公式，则判断出选项A；利用新定义建立关于的方程，从而得出的值，则判断出选项B；由已知得出，再结合向量的模的公式以及基本不等式求最值的方法，则判断出选项C；由新定义结合向量积、模的坐标公式，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，
所以，，
所以.
故答案为：.
【分析】先表示出，的坐标，再根据线性运算的坐标表示，从而得出的坐标.
13．【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：.
【分析】根据分段函数的解析式和代入法，从而得出的值.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【解答】解：由题意得：
，
由余弦定理得：
则，当且仅当时取等号.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和辅助角公式以及三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值，再利用余弦定理和均值不等式求最值的方法，从而得出bc的最大值，再结合三角形的面积公式得出面积的最大值.
15．【答案】（1）解：二次函数图象经过点和对称轴为，
，
，
.
（2）解：，
，
，
，
不等式的解集.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件和点代入法和二次函数的对称性，从而建立关于b，c的方程组，解方程组得出b，c的值，进而得出二次函数的解析式.
（2）利用（1）中二次函数的解析式结合一元二次不等式求解方法，从而得出不等式的解集.
（1）二次函数图象经过点和对称轴为，
，，
.
（2），，
，，
不等式的解集.
16．【答案】（1）解：，
，
，
函数的最小正周期.
（2）解：由（1）知，，
把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到，
再向左平移个单位长度得：，
当时，单调递减；当时，单调递增，
当时，，
当时，，
当时，，
，
当时，，且无最大值.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式，则化简原函数为余弦型函数，再利用余弦型函数的最小正周期公式，从而得出函数的最小正周期.
（2）由（1）知，，再利用余弦型函数的图象变换得出函数h(x)的解析式，再结合x的取值范围和余弦型函数的单调性，从而得出当时的函数的最值.
（1），
，
函数的最小正周期；
（2）由（1）知，
把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到，再向左平移个单位长度得，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，且无最大值.
17．【答案】（1）证明：连接，连结交于点，
则为中点，
因为是中点，连结，
则是的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：方法一：由题意，设，记点到平面距离为，
在中，是的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
平面，
，
，
，
，
所以，，
则，
记直线与平面所成角为
则.
方法二：过作的垂线，垂足为，连接，
在中，是的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
平面，
，
又因为，，平面，
所以平面，
则直线与面所成角为，
在中由，
由题意，设，
则，
则，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和中位线定理得出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即证出平面.
（2）利用两种方法求解.
方法一：由中点的性质和线线垂直与线面垂直的推导关系，再结合等体积法和三棱锥的体积公式，从而得出点到平面距离，再利用正弦函数的定义得出直线与平面所成角的正弦值.
思路二：用线面角的定义得出直线与面所成角为，再结合解三角形知识得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）连接，连结交于点，则为中点，
又是中点，连结，则是的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）方法一：由题意设，记点到平面距离为，
在中，是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面；
平面，，
，
，
，
，
，
记直线与平面所成角为，
方法二：过作的垂线，垂足为，连接.
在中，是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面；
平面，
，
又因为，，平面，
所以平面，
则直线与面所成角为，
在中由，由题意设，
知，求得.
则.
18．【答案】（1）解：由已知可得，
，
则样本成绩在分以下的答卷所占的比例为，
所以，样本成绩在分以下的答卷所占的比例为：，
因此，样本成绩的下四分位数一定位于内，设为，
则，
解得，
所以因此样本成绩的下四分位数为.
（2）解：按照分层抽样的方法，
从样本中抽取份成绩，抽样的比例为，
则样本成绩在有人，
则从样本成绩中抽取人.
（3）解：落在的人数为人，
落在的人数为人，
两组成绩的总平均数，
两组成绩的总方差为：.
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解方程求出的值，再根据百分位数计算规则，从而估计出样本的下四分位数.
（2）根据已知条件和分层抽样方法，从而得出应从中抽取的份数.
（3）先求出各组的人数，再根据平均数公式、方差公式，从而计算可得成绩落在的平均数和方差.
（1）由已知可得由已知可得
，
样本成绩在分以下的答卷所占的比例为，
样本成绩在分以下的答卷所占的比例为，
因此样本成绩的下四分位数一定位于内，设为，则，解得，
所以因此样本成绩的下四分位数为；
（2）按照分层抽样的方法，从样本中抽取份成绩，抽样的比例为，
样本成绩在有人，
则从样本成绩中抽取人；
（3）落在的人数为人，
落在的人数为人，
两组成绩的总平均数，
两组成绩的总方差.
19．【答案】（1）证明：在区间上单调递增，又因为，
当时，，
根据“优美区间”的定义，
是的一个“优美区间”.
（2）证明：因为，设，
可设或，
则函数在上单调递增，
若是的“优美区间”，
则
m，n是方程的两个同号且不等的实数根，
方程无解，
函数不存在“优美区间”.
（3）解：因为，
设，
有“优美区间”，
或，
在上单调递增，
若是函数的“优美区间”，
则，
是方程，
则（*）的两个同号且不等的实数根，
，
或，
由（*）式，得，
或，
当时，取得最大值，
.
【知识点】集合间关系的判断；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据优美区间的定义证出是函数的一个“优美区间”.
（2）假设函数存在“优美区间”，再结合已知条件推出矛盾，从而证出函数不存在“优美区间”.
（3）利用已知条件，将原题条件等价于是方程（*）的两个同号且不等的实数根，再结合判别式法可得的取值范围，再利用韦达定理，从而用表示，再利用二次函数求最值的方法，从而得出的最大值以及此时的a的值.
（1）在区间上单调递增，又，
当时，，
根据“优美区间”的定义，是的一个“优美区间”；
（2），设，可设或，
则函数在上单调递增.
若是的“优美区间”，则是方程的两个同号且不等的实数根.
方程无解.
函数不存在“优美区间”.
（3），设.
有“优美区间”，
或，
在上单调递增.
若是函数的“优美区间”，则，
是方程，即（*）的两个同号且不等的实数根.
，
或，
由（*）式得.
，
或，
当时，取得最大值.
.
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