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22.1二次函数图象和性质 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册
一、单选题
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝x﹣1 B．y＝
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y＝﹣2x2＋1
2．已知二次函数的解析式为，则该二次函数图象的顶点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
3．将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数图象的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表,则这个二次函数图象的对称轴是直线（ ）
x …… 0 3 5 ……
y …… 0 ……
A． B． C． D．
5．已知抛物线过，，三点．若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数 为常数 的图象与 轴有交点，当 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数和（为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
二、填空题
9．抛物线的顶点坐标是
10．已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
11．已知是关于x的二次函数，且当时，y随x的增大而增大，则k的值为 ．
12．已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为 ．
13．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小： （填“”、“”或“”）．
14．已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可）
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点，，则的长为 ．
三、解答题
16．已知函数是关于的二次函数．
（1） 求的值．
（2） 求当时的值.
17．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点．
（1）求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标；
（2）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，图象恰好经过点，求的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，过点作直线轴，交抛物线于两点，且抛物线的对称轴是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．在平面直角坐标系中，已知二次函数是常数，．
（1）若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标．
（2）若函数图象经过点，当时，；当时，，求的值．
参考答案
1．【答案】D
【分析】整理成一般形式，根据二次函数定义即可解答．
【详解】解：A、该函数中自变量x的次数是1，属于一次函数，故本选项错误；
B、该函数是反比例函数，故本选项错误；
C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x＋1，属于一次函数，故本选项错误；
D、该函数符合二次函数定义，故本选项正确．
故选D．
2．【答案】C
【分析】根据二次函数的顶点式形式，求出结果即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ．
二次函数的顶点式一般形式为 ，其中顶点坐标为 ．
∴顶点坐标为 ．
故选C．
3．【答案】C
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，即可求解．
【详解】解：将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数图象的表达式是
故选C．
4．【答案】D
【分析】通过观察表格中时，确定，函数式为，利用其他点的坐标建立方程组，解得，，从而对称轴为．
【详解】解：1. 确定的值：当时，，代入函数式得，故函数式为，
2、 建立方程组：
当时，①；
当时，②；
当时，③；
当时，④；
3、 解方程组：
得，，
得，，则，
得，，则，
∴，
整理得，，
解得，，
∴，，
4、 求对称轴：对称轴公式为，代入，，得，
∴二次函数图象的对称轴是直线，
故选D．
5．【答案】C
【分析】求出，则，再逐项进行判断即可．
【详解】解：把点代入得，
，
解得，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，即，
∴，
∵，
∴，，故选项A、B错误，选项C正确，
把代入得到，，
∵，
∴，
∴，故选项D错误，
故选C
6．【答案】
【详解】解： 二次函数 为常数 的图象与 轴有交点，
，
即 ，解得 ．
对称轴为直线 ，在 的部分 随 的增大而增大，
且当 时， 随 的增大而增大，
，解得 ，
综上， 的取值范围为 ．
故选 A ．
7．【答案】D
【分析】由二次函数的解析式可得二次函数的图象的顶点为即可排除A、B，由一次函数的解析式可得一次函数的图象经过点即可排除C，从而得到答案．
【详解】解：，
二次函数的图象的顶点为，故A、B不符合题意；
在中，当时，，解得，
一次函数的图象经过点，故C不符合题意；
故选D．
8．【答案】D
【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数的对称轴为：直线，
（1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，
当时，取得最小值，
，
；
（2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
当时，取得最小值，
，
．
故选D．
9．【答案】（1，2）
【分析】把二次函数的解析式改成顶点式，即可求得顶点坐标.
【详解】∵，
∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．
10．【答案】增大．
【分析】根据二次函数的增减性可求得答案
【详解】∵二次函数y=x2的对称轴是y轴，开口方向向上，
∴当y随x的增大而增大，
11．【答案】2
【分析】根据题意可得，解出的值，再利用二次函数图象性质即可得到本题答案．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，解得：或，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴开口向上，
∴
12．【答案】
【分析】根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想
【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，，
∴当时，二次函数有最小值，
由，根据距离对称轴越远，函数值越大，
∴当时，，
∴当时，函数的取值范围为.
13．【答案】
【分析】可知当时，随的增大而减小．
【详解】抛物线的对称轴为直线，开口向上，可知当时，随的增大而减小，
所以．
14．【答案】（答案不唯一）
【详解】解：二次函数的图象经过点，，
二次函数的图象不经过原点，
，则，
若取，则，则该二次函数的表达式可以是（答案不唯一）.
15．【答案】
【分析】求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解．
【详解】∵抛物线与y轴交于点，
当时，，
∴点坐标为，
当时，，解得，
∴，
∴．
16．【答案】（1） 【解】由题意，得，且，解得.
（2） 把代入,得，
当时，．
【易错警示】
如果题目中明确指出函数是二次函数，那么就隐含了二次项系数不为0这一条件，切勿将其忽略而导致错误.
17．【答案】（1）对称轴为直线，顶点的坐标为；
（2）．
【分析】（1）将点代入函数解析式求出，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解；
（2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将代入求解即可．
【详解】（1）解：∵经过点，
∴．
解得，．
∴二次函数的解析式为，
∴对称轴为直线，顶点的坐标为；
（2）解：二次函数的解析式化为，
∵把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，
∴平移后新二次函数的解析式为，
∵平移后图图象经过点，
∴．
解得，．
【关键点拨】坐标平移的规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
18．【答案】（1）
（2）存在，点的坐标为或．
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）根据直线轴，交抛物线于两点，且抛物线的对称轴是，可求出点的坐标为，进而可知的长，再根据，可求出点到的距离为2，进而求出点的纵坐标为，代入解析式可得一元二次方程，解方程即可得点的坐标．
【详解】（1）解：∵点在抛物线上，
∴，
∵抛物线的对称轴是，
∴，即，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图，
∵直线轴，交抛物线于两点，且抛物线的对称轴是，
∴两点关于对称，
又∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴点到的距离为，
∴点的纵坐标为，
把点的纵坐标代入抛物线可得：，即，
解得：，
∴直线上方的抛物线上存在点点，使得，P的坐标为或．
19．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据，函数图象经过点和，利用待定系数法求解，即可解题；
（2）根据题意得到，函数图象在时取得最小值，即，以及，联立这三个式子求解，即可解题．
【详解】（1）解：，函数图象经过点和，
，
解得，
二次函数解析式为，
函数图象的顶点坐标为．
（2）解：函数图象经过点，
①，
当时，；当时，，
函数在时取得最小值，即②，
，
，在的左侧，
当时，，即③，
由①②③解得．
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