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广东省佛山市禅城区2025届高三统一调研测试（二）数学试题
1．（2025·禅城模拟）复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（2025·禅城模拟）图中阴影部分用集合符号可以表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·禅城模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·禅城模拟）已知平面，和直线，，，则“”是“”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025·禅城模拟）已知的内角的对边分别为，在方向上的投影向量为，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·禅城模拟）设函数，，曲线和恰有一个交点，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·禅城模拟）如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·禅城模拟）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·禅城模拟）某次跳水比赛的计分规则如下：共有7个裁判打分，去掉一个最高分与一个最低分后，取剩余5个分数的平均值，比较前、后两组数据的数字特征，则（　　）
A．中位数不变 B．极差不变
C．平均数大小关系不确定 D．方差变小
10．（2025·禅城模拟）已知函数，则（　　）
A．的图象关于点对称
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减
D．直线是曲线的一条切线
11．（2025·禅城模拟）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，如图所示．已知点是上一点，则（　　）
A．
B．
C．当时，的最大值为
D．曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2
12．（2025·禅城模拟）准线方程为的抛物线的标准方程为　 　.
13．（2025·禅城模拟）已知的内角的对边分别为，面积为，若，则　 　．
14．（2025·禅城模拟）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为　 　，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为　 　．
15．（2025·禅城模拟）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为圆锥底面圆周上异于的一点，为上一点，且平面．
（1）求的值；
（2）设，二面角的正切值为，求直线与平面所成角的大小．
16．（2025·禅城模拟）已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知，若对任意的恒成立，求的最小值．
17．（2025·禅城模拟）对于数列，若，使得，都有成立，则称为“三和定值数列”．已知为“三和定值数列”，且，，．
（1）求，，；
（2）已知为数列的前项和，求．
18．（2025·禅城模拟）已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值．
（3）在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值．
19．（2025·禅城模拟）某药厂为获得新研发药品的治愈率，委托某公司进行调查，首轮抽取个患者进行试验，每个患者是否治愈相互独立．
（1）假设，回答以下问题：
（ⅰ）若，求患者痊愈比例为到的概率．
（ⅱ）该公司第二轮再抽取个患者进行试验．为简化运算过程，拟用计算两轮试验治愈总人数为的概率，是否合理？若合理，请证明；若不合理，请说明理由．
（2）在重伯努利试验中，随机变量，随着试验次数增加，其概率计算较为复杂，此时，根据中心极限定理，近似服从正态分布，故常用以下公式简化概率计算：，其中，随机变量．若用该公司首轮试验的治愈频率来估计治愈率，为保证有把握，使得与之间误差不超过0.01，则至少应抽取多少个患者？
参考数据：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：∵，∴复数所对应的点为.故答案为：B.
【分析】先利用复数的四则运算化简可得，再利用复数的几何意义即可求解.
2．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：在阴影部分区域内任取一个元素，则或，
故阴影部分所表示的集合为或者.
故答案为：A.
【分析】利用集合的运算结合文氏图即可求解.
3．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：A.
【分析】利用余弦的二倍角公式结合同角的三角函数关系计算即可.
4．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
分别记平面、平面为平面，，
则直线为直线，直线为，
因，但不垂直于平面，则“”得不到“”；
若，，则由线面垂直的定义可得，
故“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：C
【分析】参考正方体利用线面垂直的判定定理及定义和充分，必要条件的定义即可求解.
5．【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：过作，交直线于点，则在方向上的投影向量如图所示：
A、已知得，所以方向相反，所以，故A错误；
B、在方向上的投影向量为，
由，所以，无法确定角的大小，故B错误；
C、因为，角为钝角，所以，故C错误；
D、在中，，
在中，，
所以，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用投影向量的定义可得，即可得角为钝角即可判断A，C；作出图象，无法确定角的大小即可判断B；在和中，利用勾股定理表示，即可判断D.
6．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得到，
当时，得到，不满足题意，
则，由，得到，
令，则，易知时，，时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，
又的定义域为，且，即的偶函数，其图象如图所示：
又易知为偶函数，若，则，
此时，与的交点个数为个或交点成对出现，不合题意，
所以，且，解得，
故答案为：B.
【分析】由得到，构造函数，利用导数可得在 区间上单调递减，在区间上单调递增 ，可得，再利用函数奇偶性及的性质即可求解.
7．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：已知如图所示：
因为的周期为，所以，
，
所以折成直二面角时，，
解得，所以，
所以，，
因为，所以或，
又因为函数在轴右侧附近单调递减，所以．
故答案为：D.
【分析】利用三角函数图象的性质结合空间几何中距离公式即可求解.
8．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：连接，延长交双曲线于点，连接，如图所示：
因为，且以为直径的圆恰好过点，
所以由对称性可知点也在圆上，且四边形为矩形.
设，则，，，
因为点都在双曲线右支上，所以由双曲线的定义可知，
，，
所以，，
所以在直角，中，
由勾股定理可得，，解得，
所以双曲线的离心率.
故答案为：C
【分析】先延长交双曲线于点，连接，利用对称性可得四边形为矩形，再利用双曲线的定义和勾股定理可得即可求解.
9．【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、去掉一个最高分与一个最低分后，中间的一个数不变，所以中位数不变，故A正确；
B、去掉一个最高分与一个最低分后，极差可能变小，也可能不变，故B错误；
C、去掉一个最高分与一个最低分后，平均数可能变大，也可能变小，也可能不变，比如数据1、9、9、9、9、9、10，前后前、后两组数据平均数变大；比如数据1、2、2、2、2、2、10，前后前、后两组数据平均数变小；故C正确；
D、如果数据都相同，去掉一个最高分与一个最低分后，方差不变.
故答案为：AC.
【分析】利用中位数、极差、平均数、方差的定义逐项判断即可求解.
10．【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：已知，则，
A、，所以的图象关于点对称，故A正确；
B、由，可得：，
显然不恒成立，故B错误；
C、，
，
因为，则，
此时，所以，
所以在上单调递减，故C正确；
D、令，解得其中一个解为，
，此时切线方程为：，
即，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】利用对称中心，对称轴的概念即可判断AB，求导可得，利用导数的正负和函数单调性的关系即可判断C；利用导数的几何意义结合点斜式方程即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式
【解析】【解答】解：将方程，整理为，从而可解得.
A、讨论自变量 的取值要使 为实数且，需.
结合 并对分母、分子作符号分析，可得可行解域为，故 A 正确；
B、由可见，当给定 时，实数满足.
为判断成立，只需验证足成立，
当时两边都是0，显然成立；
当时平方并利用化简得，这显然成立，故 B正确；
C、当 时求的最大值，必然在区间之间存在最大值.
设，
，
令，得，
时，单调递增；时，单调递减.
，
因此，函数 的最大值为，
这实际上是 y2 的最大值，故最大 y 应为，
而选项 C 把最大 y 直接写成 （未开平方）显然有误，故C错误；
D、曲线方程为：，
注意到方程中 的幂次均为偶数，因此曲线关于 轴对称.
接下来，我们找到曲线与 轴的交点。
令 ，代入方程解得，因此曲线与 轴的交点为 如图所示：
在 轴左侧，我们取以下几个关键点：
，代入方程解得，得.
取，代入方程求得，得 和
取，代入方程求得，得 和 .
如图连接各线段，由题图可知多边形在曲线内部，面积小于曲线左侧部分的面积.
计算这个四边形的面积：
所以曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2，故D 正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用方程解得， 由，解不等式即可判定A；利用不等式的基本性质分析即可判定B正确；设，利用导数研究单调性求得最大值，进而得到当时，的最大值，比较可以判定C；利用多边形面积比较得到曲线在 y 轴左侧围成的“闭合瓣”面积大于2即可判定D.
12．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：已知抛物线的准线方程为，
得该抛物线开口向右，且，得，
故抛物线的方程为：.
故答案为：
【分析】利用准线方程可得抛物线开口向右，再利用抛物线的定义即可求解.
13．【答案】
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由，
得，
又因为，所以，
由正弦定理得，
因为，则，
解得或，
因为，
所以.
故答案为：.
【分析】根据三角形的面积公式和正弦定理化边为角，再结合和，从而解方程得出的值.
14．【答案】；
【知识点】全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，
由题知，，，
又，
所以，
又，
故答案为：.
【分析】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，利用条件可得，，，，再利用全概率公式，即可求解；再利用贝叶斯公式，即可求解.
15．【答案】（1）解：因为平面，平面平面，
所以由线面平行的性质定理可得，
又是圆锥底面的圆心，为底面直径，所以为的中点，
所以.
（2）解：取的中点，连接，
因为，所以，
又均为圆半径，的中点，所以，
所以为二面角的平面角，
又面，所以，
所以即是等腰直角三角形，即，
所以两两垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系如图所示：
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设直线与平面所成的角为，
则，即直线与平面所成的角为.
【知识点】直线与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质定理可得即可求解；
（2）取的中点，连接，先找到二面角的平面角，再利用正切值证明是等腰直角三角形，然后建立如图所示空间直角坐系，可得平面的法向量，再利用空间线面角公式即可求解.
（1）因为平面，平面平面，
所以由线面平行的性质定理可得，
又是圆锥底面的圆心，为底面直径，所以为的中点，
所以.
（2）取的中点，连接，
因为，所以，
又均为圆半径，的中点，所以，
所以为二面角的平面角，
又面，所以，
所以即是等腰直角三角形，即，
所以两两垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设直线与平面所成的角为，
则，即直线与平面所成的角为.
16．【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：由（1）可得时，当时，函数取得极小值，
又，若对任意的恒成立，不符合题意，
则当，，即，
即，即，
代入，
设，则，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
且，则的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分和讨论函数的单调性即可；
（2）由条件得到时函数极小值，令极小值大于零，得到关于的不等式，再构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.
（1），
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可得时，当时，函数取得极小值，又，若对任意的恒成立，不符合题意，
所以当，，即，
即，即，
代入，
设，则，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以的最小值为.
17．【答案】（1）解：因为，，，
所以，
所以，解得；
又，解得；
又，解得；
所以，，；
（2）解：因为，
设，则有，
所以，则，
又因为，
所以，
即，
又，
，
，
，
，
所以，
所以，
所以
.
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）由题意可得，依次代入，即可求解；
（2）设，由题意可得，从而得，再利用数列的通项公式求出，即可求解.
（1）解：因为，，，
所以，
所以，解得；
又，解得；
又，解得；
所以，，；
（2）解：因为，
设，则有，
所以，则，
又因为，
所以，
即，
又，
，
，
，
，
所以，
所以，
所以
.
18．【答案】（1）解：由题意可得，解得，则椭圆的方程为；
（2）解：设直线l的方程为，，，
联立，消去y整理得，
则，
由韦达定理可得：，，
因为点在椭圆上，所以，，
则
，
则，即时，此时为定值；
（3）解：由（2）知，，，直线l的方程为，
且，，，，
则，，
则直线的方程为，
令，得
，
即，则，，，
则周长为，
当且仅当，即时等号成立，
则周长的最小值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列关于的方程，求得即可得椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，求解即可；
（3）结合（2）求得，，，表示出的周长，结合基本不等式求解即可.
（1）由题意，得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线l的方程为，，，
联立，消去y整理得，
则，
且，，
又，，
则
，
则，即时，此时为定值.
（3）由（2）知，，，直线l的方程为，
且，，，，
则，，
则直线的方程为，
令，得
，
即，则，，，
则周长为，
当且仅当，即时等号成立，
则周长的最小值为.
19．【答案】（1）解：（ⅰ）治愈人数服从二项分布，
需要计算，即：，
因为，
所以；
（ⅱ）首轮抽取个患者，每个患者治愈概率为，且相互独立，
设首轮治愈人数为，则服从二项分布，
即，
第二轮再抽取个患者，治愈概率仍为，且独立于首轮试验，
设次轮治愈人数为，则服从二项分布，
即，
总治愈人数，其中和独立，
由于两轮试验的均为且独立，
总治愈人数服从，
因此：；
（2）解：根据中心极限定理，当较大时，
近似服从正态分布，
，，
，
因为，所以临界值，
所以，因为在时取得最大值0.25，
所以代入此最坏情况以保证结果保守，
所以，所以至少需要抽取6400名患者以满足要求.
【知识点】二项分布
【解析】【分析】（1）（ⅰ）判断治愈人数服从二项分布计算即可求解；
（ⅱ）设首轮治愈人数为，判断服从的分布，求出，设第二轮治愈人数为，同理求出即可求解；
（2）证明近似服从正态分布，求出，，求出临界值即可求解.
（1）（ⅰ）治愈人数服从二项分布，
需要计算，即：，
因为，
所以；
（ⅱ）首轮抽取个患者，每个患者治愈概率为，且相互独立，
设首轮治愈人数为，则服从二项分布，
即，
第二轮再抽取个患者，治愈概率仍为，且独立于首轮试验，
设次轮治愈人数为，则服从二项分布，
即，
总治愈人数，其中和独立，
由于两轮试验的均为且独立，
总治愈人数服从，
因此：；
（2）根据中心极限定理，当较大时，
近似服从正态分布，
，，
，
因为，所以临界值，
所以，因为在时取得最大值0.25，
所以代入此最坏情况以保证结果保守，
所以，所以至少需要抽取6400名患者以满足要求.
1 / 1广东省佛山市禅城区2025届高三统一调研测试（二）数学试题
1．（2025·禅城模拟）复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：∵，∴复数所对应的点为.故答案为：B.
【分析】先利用复数的四则运算化简可得，再利用复数的几何意义即可求解.
2．（2025·禅城模拟）图中阴影部分用集合符号可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：在阴影部分区域内任取一个元素，则或，
故阴影部分所表示的集合为或者.
故答案为：A.
【分析】利用集合的运算结合文氏图即可求解.
3．（2025·禅城模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：A.
【分析】利用余弦的二倍角公式结合同角的三角函数关系计算即可.
4．（2025·禅城模拟）已知平面，和直线，，，则“”是“”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
分别记平面、平面为平面，，
则直线为直线，直线为，
因，但不垂直于平面，则“”得不到“”；
若，，则由线面垂直的定义可得，
故“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：C
【分析】参考正方体利用线面垂直的判定定理及定义和充分，必要条件的定义即可求解.
5．（2025·禅城模拟）已知的内角的对边分别为，在方向上的投影向量为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：过作，交直线于点，则在方向上的投影向量如图所示：
A、已知得，所以方向相反，所以，故A错误；
B、在方向上的投影向量为，
由，所以，无法确定角的大小，故B错误；
C、因为，角为钝角，所以，故C错误；
D、在中，，
在中，，
所以，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用投影向量的定义可得，即可得角为钝角即可判断A，C；作出图象，无法确定角的大小即可判断B；在和中，利用勾股定理表示，即可判断D.
6．（2025·禅城模拟）设函数，，曲线和恰有一个交点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得到，
当时，得到，不满足题意，
则，由，得到，
令，则，易知时，，时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，
又的定义域为，且，即的偶函数，其图象如图所示：
又易知为偶函数，若，则，
此时，与的交点个数为个或交点成对出现，不合题意，
所以，且，解得，
故答案为：B.
【分析】由得到，构造函数，利用导数可得在 区间上单调递减，在区间上单调递增 ，可得，再利用函数奇偶性及的性质即可求解.
7．（2025·禅城模拟）如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：已知如图所示：
因为的周期为，所以，
，
所以折成直二面角时，，
解得，所以，
所以，，
因为，所以或，
又因为函数在轴右侧附近单调递减，所以．
故答案为：D.
【分析】利用三角函数图象的性质结合空间几何中距离公式即可求解.
8．（2025·禅城模拟）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：连接，延长交双曲线于点，连接，如图所示：
因为，且以为直径的圆恰好过点，
所以由对称性可知点也在圆上，且四边形为矩形.
设，则，，，
因为点都在双曲线右支上，所以由双曲线的定义可知，
，，
所以，，
所以在直角，中，
由勾股定理可得，，解得，
所以双曲线的离心率.
故答案为：C
【分析】先延长交双曲线于点，连接，利用对称性可得四边形为矩形，再利用双曲线的定义和勾股定理可得即可求解.
9．（2025·禅城模拟）某次跳水比赛的计分规则如下：共有7个裁判打分，去掉一个最高分与一个最低分后，取剩余5个分数的平均值，比较前、后两组数据的数字特征，则（　　）
A．中位数不变 B．极差不变
C．平均数大小关系不确定 D．方差变小
【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、去掉一个最高分与一个最低分后，中间的一个数不变，所以中位数不变，故A正确；
B、去掉一个最高分与一个最低分后，极差可能变小，也可能不变，故B错误；
C、去掉一个最高分与一个最低分后，平均数可能变大，也可能变小，也可能不变，比如数据1、9、9、9、9、9、10，前后前、后两组数据平均数变大；比如数据1、2、2、2、2、2、10，前后前、后两组数据平均数变小；故C正确；
D、如果数据都相同，去掉一个最高分与一个最低分后，方差不变.
故答案为：AC.
【分析】利用中位数、极差、平均数、方差的定义逐项判断即可求解.
10．（2025·禅城模拟）已知函数，则（　　）
A．的图象关于点对称
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减
D．直线是曲线的一条切线
【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：已知，则，
A、，所以的图象关于点对称，故A正确；
B、由，可得：，
显然不恒成立，故B错误；
C、，
，
因为，则，
此时，所以，
所以在上单调递减，故C正确；
D、令，解得其中一个解为，
，此时切线方程为：，
即，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】利用对称中心，对称轴的概念即可判断AB，求导可得，利用导数的正负和函数单调性的关系即可判断C；利用导数的几何意义结合点斜式方程即可判断D.
11．（2025·禅城模拟）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，如图所示．已知点是上一点，则（　　）
A．
B．
C．当时，的最大值为
D．曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2
【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式
【解析】【解答】解：将方程，整理为，从而可解得.
A、讨论自变量 的取值要使 为实数且，需.
结合 并对分母、分子作符号分析，可得可行解域为，故 A 正确；
B、由可见，当给定 时，实数满足.
为判断成立，只需验证足成立，
当时两边都是0，显然成立；
当时平方并利用化简得，这显然成立，故 B正确；
C、当 时求的最大值，必然在区间之间存在最大值.
设，
，
令，得，
时，单调递增；时，单调递减.
，
因此，函数 的最大值为，
这实际上是 y2 的最大值，故最大 y 应为，
而选项 C 把最大 y 直接写成 （未开平方）显然有误，故C错误；
D、曲线方程为：，
注意到方程中 的幂次均为偶数，因此曲线关于 轴对称.
接下来，我们找到曲线与 轴的交点。
令 ，代入方程解得，因此曲线与 轴的交点为 如图所示：
在 轴左侧，我们取以下几个关键点：
，代入方程解得，得.
取，代入方程求得，得 和
取，代入方程求得，得 和 .
如图连接各线段，由题图可知多边形在曲线内部，面积小于曲线左侧部分的面积.
计算这个四边形的面积：
所以曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2，故D 正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用方程解得， 由，解不等式即可判定A；利用不等式的基本性质分析即可判定B正确；设，利用导数研究单调性求得最大值，进而得到当时，的最大值，比较可以判定C；利用多边形面积比较得到曲线在 y 轴左侧围成的“闭合瓣”面积大于2即可判定D.
12．（2025·禅城模拟）准线方程为的抛物线的标准方程为　 　.
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：已知抛物线的准线方程为，
得该抛物线开口向右，且，得，
故抛物线的方程为：.
故答案为：
【分析】利用准线方程可得抛物线开口向右，再利用抛物线的定义即可求解.
13．（2025·禅城模拟）已知的内角的对边分别为，面积为，若，则　 　．
【答案】
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由，
得，
又因为，所以，
由正弦定理得，
因为，则，
解得或，
因为，
所以.
故答案为：.
【分析】根据三角形的面积公式和正弦定理化边为角，再结合和，从而解方程得出的值.
14．（2025·禅城模拟）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为　 　，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为　 　．
【答案】；
【知识点】全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，
由题知，，，
又，
所以，
又，
故答案为：.
【分析】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，利用条件可得，，，，再利用全概率公式，即可求解；再利用贝叶斯公式，即可求解.
15．（2025·禅城模拟）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为圆锥底面圆周上异于的一点，为上一点，且平面．
（1）求的值；
（2）设，二面角的正切值为，求直线与平面所成角的大小．
【答案】（1）解：因为平面，平面平面，
所以由线面平行的性质定理可得，
又是圆锥底面的圆心，为底面直径，所以为的中点，
所以.
（2）解：取的中点，连接，
因为，所以，
又均为圆半径，的中点，所以，
所以为二面角的平面角，
又面，所以，
所以即是等腰直角三角形，即，
所以两两垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系如图所示：
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设直线与平面所成的角为，
则，即直线与平面所成的角为.
【知识点】直线与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质定理可得即可求解；
（2）取的中点，连接，先找到二面角的平面角，再利用正切值证明是等腰直角三角形，然后建立如图所示空间直角坐系，可得平面的法向量，再利用空间线面角公式即可求解.
（1）因为平面，平面平面，
所以由线面平行的性质定理可得，
又是圆锥底面的圆心，为底面直径，所以为的中点，
所以.
（2）取的中点，连接，
因为，所以，
又均为圆半径，的中点，所以，
所以为二面角的平面角，
又面，所以，
所以即是等腰直角三角形，即，
所以两两垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设直线与平面所成的角为，
则，即直线与平面所成的角为.
16．（2025·禅城模拟）已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知，若对任意的恒成立，求的最小值．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：由（1）可得时，当时，函数取得极小值，
又，若对任意的恒成立，不符合题意，
则当，，即，
即，即，
代入，
设，则，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
且，则的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分和讨论函数的单调性即可；
（2）由条件得到时函数极小值，令极小值大于零，得到关于的不等式，再构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.
（1），
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可得时，当时，函数取得极小值，又，若对任意的恒成立，不符合题意，
所以当，，即，
即，即，
代入，
设，则，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以的最小值为.
17．（2025·禅城模拟）对于数列，若，使得，都有成立，则称为“三和定值数列”．已知为“三和定值数列”，且，，．
（1）求，，；
（2）已知为数列的前项和，求．
【答案】（1）解：因为，，，
所以，
所以，解得；
又，解得；
又，解得；
所以，，；
（2）解：因为，
设，则有，
所以，则，
又因为，
所以，
即，
又，
，
，
，
，
所以，
所以，
所以
.
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）由题意可得，依次代入，即可求解；
（2）设，由题意可得，从而得，再利用数列的通项公式求出，即可求解.
（1）解：因为，，，
所以，
所以，解得；
又，解得；
又，解得；
所以，，；
（2）解：因为，
设，则有，
所以，则，
又因为，
所以，
即，
又，
，
，
，
，
所以，
所以，
所以
.
18．（2025·禅城模拟）已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值．
（3）在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值．
【答案】（1）解：由题意可得，解得，则椭圆的方程为；
（2）解：设直线l的方程为，，，
联立，消去y整理得，
则，
由韦达定理可得：，，
因为点在椭圆上，所以，，
则
，
则，即时，此时为定值；
（3）解：由（2）知，，，直线l的方程为，
且，，，，
则，，
则直线的方程为，
令，得
，
即，则，，，
则周长为，
当且仅当，即时等号成立，
则周长的最小值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列关于的方程，求得即可得椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，求解即可；
（3）结合（2）求得，，，表示出的周长，结合基本不等式求解即可.
（1）由题意，得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线l的方程为，，，
联立，消去y整理得，
则，
且，，
又，，
则
，
则，即时，此时为定值.
（3）由（2）知，，，直线l的方程为，
且，，，，
则，，
则直线的方程为，
令，得
，
即，则，，，
则周长为，
当且仅当，即时等号成立，
则周长的最小值为.
19．（2025·禅城模拟）某药厂为获得新研发药品的治愈率，委托某公司进行调查，首轮抽取个患者进行试验，每个患者是否治愈相互独立．
（1）假设，回答以下问题：
（ⅰ）若，求患者痊愈比例为到的概率．
（ⅱ）该公司第二轮再抽取个患者进行试验．为简化运算过程，拟用计算两轮试验治愈总人数为的概率，是否合理？若合理，请证明；若不合理，请说明理由．
（2）在重伯努利试验中，随机变量，随着试验次数增加，其概率计算较为复杂，此时，根据中心极限定理，近似服从正态分布，故常用以下公式简化概率计算：，其中，随机变量．若用该公司首轮试验的治愈频率来估计治愈率，为保证有把握，使得与之间误差不超过0.01，则至少应抽取多少个患者？
参考数据：．
【答案】（1）解：（ⅰ）治愈人数服从二项分布，
需要计算，即：，
因为，
所以；
（ⅱ）首轮抽取个患者，每个患者治愈概率为，且相互独立，
设首轮治愈人数为，则服从二项分布，
即，
第二轮再抽取个患者，治愈概率仍为，且独立于首轮试验，
设次轮治愈人数为，则服从二项分布，
即，
总治愈人数，其中和独立，
由于两轮试验的均为且独立，
总治愈人数服从，
因此：；
（2）解：根据中心极限定理，当较大时，
近似服从正态分布，
，，
，
因为，所以临界值，
所以，因为在时取得最大值0.25，
所以代入此最坏情况以保证结果保守，
所以，所以至少需要抽取6400名患者以满足要求.
【知识点】二项分布
【解析】【分析】（1）（ⅰ）判断治愈人数服从二项分布计算即可求解；
（ⅱ）设首轮治愈人数为，判断服从的分布，求出，设第二轮治愈人数为，同理求出即可求解；
（2）证明近似服从正态分布，求出，，求出临界值即可求解.
（1）（ⅰ）治愈人数服从二项分布，
需要计算，即：，
因为，
所以；
（ⅱ）首轮抽取个患者，每个患者治愈概率为，且相互独立，
设首轮治愈人数为，则服从二项分布，
即，
第二轮再抽取个患者，治愈概率仍为，且独立于首轮试验，
设次轮治愈人数为，则服从二项分布，
即，
总治愈人数，其中和独立，
由于两轮试验的均为且独立，
总治愈人数服从，
因此：；
（2）根据中心极限定理，当较大时，
近似服从正态分布，
，，
，
因为，所以临界值，
所以，因为在时取得最大值0.25，
所以代入此最坏情况以保证结果保守，
所以，所以至少需要抽取6400名患者以满足要求.
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