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北京市八一学校2025届高三高考模拟测试（三模）数学试题
1．（2025·北京市模拟）设，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由，
得，
解得，
所以，
又因为，
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】先解一元二次不等式得出集合，再根据补集、交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025·北京市模拟）若复数满足，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，
得，
∴的虚部为.
故答案为：D.
【分析】先利用复数的模长公式和除法运算法则，从而化简得到复数z，再根据复数的虚部的定义，从而得出复数z的虚部.
3．（2025·北京市模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由已知条件可知，，，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而分别求出a，b，c三个数的取值范围，进而比较出a，b，c的大小.
4．（2025·北京市模拟）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意，，
所以该函数为偶函数，
又因为，
所以，当时，取最大值.
故答案为：D.
【分析】由函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性，再利用二倍角公式结合二次函数图象求最值的方法，从而得出函数的最大值，进而找出正确的选项.
5．（2025·北京市模拟）已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为，
所以，
当时，，
所以数列是公差为2的等差数列，
当数列是公差为2的等差数列时，
因为不知首项，
所以数列的前n项和不确定，
所以“”是“数列是公差为2的等差数列”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用与的关系式，从而得到，再利用等差数列的定义和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
6．（2025·北京市模拟）设抛物线的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的定义
【解析】【解答】解：因为抛物线的准线方程为：，焦点坐标为：，
对于A：因为在抛物线内部，
又因为到准线的距离为：，
所以的最小值为，不符合题意，故选项A错误；
对于B：因为在抛物线上，
所以的最小值就是，不符合题意，
故选项B错误；
对于C：因为在抛物线内部，
又因为到准线的距离为：，
所以的最小值为，符合题意，故选项C正确；
对于D：因为在抛物线外部，
所以的最小值就是，不符合题意，
故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的性质和点到直线的距离公式、抛物线的定义、两点距离公式、几何法求最值的方法，从而逐项判断找出符合题意的点A的坐标.
7．（2025·北京市模拟）把函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数的图象，则（　　）
A． B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：将函数图象向左平移个单位长度得到
的图象，
再向上平移1个单位长度可得到的图象，故A错误；
因为，故B错误；
令，
得，
当时，；
当时，，故C错误；
令，
则，
所以在上单调递减，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据三角型函数的平移变换可得，则判断出选项A；由三角型函数的最小正周期公式判断出选项B；利用换元法和正弦函数的图象的对称性，则得出正弦型函数的对称轴，则判断出选项C；利用换元法和正弦函数的图象的单调性，则判断出正弦型函数的单调性，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
8．（2025·北京市模拟）在生活中，人们常用声强级y（单位：dB）来表示声强度I（单位：）的相对大小，具体关系式为，其中基准值.若声强度为时的声强级为60dB，那么当声强度变为时的声强级约为（　　）（参考数据：）
A．63dB B．66dB C．72dB D．76dB
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为若声强度为时的声强级为60dB，
所以，
则，
解得，
所以，当声强度变为时，
声强级约为，
.
故答案为：B.
【分析】根据声强度为时的声强级为60dB，再利用指数与对数的互化公式，从而求出的值，再将声强度为代入求解得出当声强度变为时的声强级.
9．（2025·北京市模拟）故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：取中点，连接，过作的垂线交的延长线于点，
取中点，连接，
由题意，、分别为、中点，
因为是直三棱柱，
所以，且，
所以其，
所以四边形为平行四边形，
又因为，
所以为矩形，
所以，
又因为，平面，平面，，
所以平面，平面，
所以，
又因为，平面，平面，，
所以平面，
所以点到平面的距离等于线段的长度，设为，
因为，在中，，
所以，
设角，则，
因为四边形为平行四边形，
所以，
又因为因为是直三棱柱，
所以，且，
所以，，
又因为平面，平面，
所以，
所以，
则，
解得，
所以点到平面的距离是.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件结合空间中直线与平面的位置关系，先确定点到平面的垂线段，则点到平面的距离等于线段的长度，再设的长度为，再根据已知条件得出，从而解方程求出的值，进而得出点到平面的距离.
10．（2025·北京市模拟）在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（　　）
A．24 B． C．14 D．
【答案】B
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：∵点到直线的距离，
∴直线始终与圆相切，
∴集合A表示除圆以外所有的点组成的集合，
∴集合表示圆，其对称中心，
如图所示：设是点关于直线线段（）的对称点，则设，
由，
得，
可得，
设关于x轴的对称点为，易得，
则直线，和线段的交点为P，
此时的周长为：为最小值.
故答案为：B.
【分析】根据集合可判断出集合表示圆，从而画出图形，再根据作图形对称点的方法转换为的周长，再利用几何法求最值的方法，从而得出的周长的最小值.
11．（2025·北京市模拟）函数的定义域为　 　．
【答案】；
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意可知函数有意义，
则满足，
解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据偶次根式函数求定义域的方法和对数型函数求定义域的方法、分式函数求定义域的方法，再结合交集的运算法则，从而得出函数的定义域.
12．（2025·北京市模拟）设，则　 　；当时，　 　．
【答案】；
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：令，可得：，
则的通项为：，
令可得；
令可得，
由，
可得，
所以.
故答案为：；.
【分析】令求出的值；先利用二项式定理求出的通项，再令和，从而求出的值，再由求出的值.
13．（2025·北京市模拟）若双曲线经过点，其渐近线方程为，则双曲线的方程是　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知，
①若双曲线的焦点在x轴上，
则可设，
则且，
联立解得：，
则双曲线的标准方程为；
②若双曲线的焦点在y轴上，
则可设，
则，且，
此时无解，
综上所述，双曲线的方程为.
故答案为：.
【分析】分双曲线焦点在轴上或轴上，分别设出双曲线方程，再联立方程组求解得出双曲线的标准方程.
14．（2025·北京市模拟）在等腰梯形中，设，，，为的中点，则=　 　（用和表示），当　 　时，最小.
【答案】；
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：∵为的中点，
∴
，
如图，设，
则，
∴当时，最小，此时由几何知识易得.
故答案为：，．
【分析】第一空，根据向量加法的三角形法则，则用和表示.
第二空，设，则，当时，最小，再由几何知识得出此时x的值．
15．（2025·北京市模拟）已知直线和曲线，给出下列四个结论：
①存在实数和，使直线和曲线没有交点；
②存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点；
③存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点；
④对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点．
其中所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①②③
【知识点】奇偶性与单调性的综合；导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于①，因为曲线为偶函数，
所以图象关于轴对称，且，
当或时，此时直线和曲线没有交点，（如下图），故①正确；
对于②，因为，
所以，
当时，，
所以，当，
故当时， 单调递减，当时， 单调递增，
故当时，此时 取极大值，也是最大值为，
故曲线某一点处的切线的斜率最大值为，
当时，此时直线和曲线恰有个交点，故②正确；
对于③，当时，对任意的 直线过原点，
此时直线与只有一个零点，故③正确；
对于④，当直线与曲线上某一点处的切线平行时
（斜率小于），且在切点之上的位置时，此时直线与曲线有3个交点，故④错误.
故答案为：①②③.
【分析】根据曲线图象的对称性，从而求导得出切线斜率的最大值，再由数形结合和函数的零点与直线与曲线的交点的横坐标的等价关系，从而逐项判断找出正确结论的序号.
16．（2025·北京市模拟）在中，，，分别为内角，，的对边，且满.
（1）求的大小；
（2）再在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求的面积.
【答案】解：（1）因为
由正弦定理，
得，
则，
所以，
因为，
所以.
（2）方案一：选条件①和条件②，
由正弦定理，
得，
由余弦定理，
得，
解得，
所以的面积为：.
方案二：选条件①和条件③，
由余弦定理，
得，
则，
所以，
所以，
所以的面积.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理、余弦定理，从而得出角A的余弦值，再结合三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）方案一：选条件①和条件②，利用正弦定理和余弦定理，从而得出b，c的值，再利用三角形的面积公式得出的面积.
方案二：选条件①和条件③，利用余弦定理得出b，c的值，再结合三角形的面积公式得出的面积.
17．（2025·北京市模拟）如图，在长方体中，，点F是的中点，点P在上，若过FP的平面交于E，交于Q．
（1）求证：平面PBQ；
（2）若点Q是的中点，且，求异面直线EP与BQ所成角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，若平面ABCD上有一点H满足平面，求点H的坐标．
【答案】（1）证明：因为平面平面，
且平面，平面，
∴，
又∵平面PBQ，平面PBQ，
∴平面PBQ.
（2）解：如图，以D为原点，DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，
由（1）知四边形EFPQ为平行四边形，
∴，
则，
解得，，，
∴，，，
∴
设异面直线与所成角为，
则，
所以，异面直线与所成角的余弦值为.
（3）解：设平面ABCD上一点，
因为，
所以，，，
由平面，可取平面的法向量为，
则，
解得，，
∴.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）根据面面平行的性质定理得到，再利用线线平行证出线面平行，即证出平面PBQ.
（2）利用已知条件，建立空间直角坐标系，设，由（1）知四边形EFPQ为平行四边形，则可得，再利用向量的坐标表示和向量相等的判断方法，从而求出点的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出异面直线与所成角的余弦值.
（3）设平面ABCD上一点，根据平面，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，从而得到，再利用数量积的坐标表示得出a，b的值，从而得出点H的坐标.
（1）证明：因为平面平面，
且平面，平面，∴，
又∵平面PBQ，平面PBQ，∴平面PBQ
（2）解：如图，以D为原点，DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，设，
由（1）知四边形EFPQ为平行四边形，∴，
则有，解得，，，
∴，，，
∴
设异面直线与所成角为，
异面直线与所成角的余弦值为
（3）解：设平面ABCD上一点，
因为，则，，，
由平面，可取平面的法向量为，
则有，
解得，，∴
18．（2025·北京市模拟）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.
为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.
（1）当时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为，乙型号电视机的“星级卖场”数量为，比较的大小关系；
（2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求的分布列和数学期望；
（3）若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断为何值时，达到最小值．（只需写出结论）
【答案】解：（1）根据茎叶图，得甲组数据的平均数为：，
乙组数据的平均数为：.
由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数，
乙型号电视剧的“星级卖场”的个数，
所以.
（2）由题意，知的所有可能取值为0，1，2，
则，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以.
（3）当时，达到最小值.
【知识点】函数的最大（小）值；茎叶图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据平均数的公式分别求出甲、乙两组数据的平均数，从而得到“星级卖场”的个数进行比较，进而比较出的大小关系.
（2）利用已知条件写出的所有可能取值，从而求出相应的概率，即得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（3）根据方差的公式和函数求最值的方法，从而得出达到最小值的b的值.
19．（2025·北京市模拟）已知函数，.
（1）当时，
①求曲线在处的切线方程；
②求证：在上有唯一极大值点；
（2）若没有零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：若，则，.
①在处，，.
所以曲线在处的切线方程为.
②令，，
在区间上，，则在区间上是减函数.
又，
所以在上有唯一零点.
列表得：
+ 0 -
极大值
所以在上有唯一极大值点.
（2）解：，
令，则.
①若，则，在上是增函数.
因为，，
所以恰有一个零点.
令，得.
代入，得，
解得.
所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意.
②若，此时的定义域为.
当时，，在区间上是减函数；
当时，，在区间上是增函数.
所以.
又，
由题意，当，即时，无零点，符合题意.
综上，的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1) ① 将a=1代入，求出函数f(x)的导数，求出 的值，即可求出曲线在处的切线方程； 通过解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
②令求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出 在上有唯一极大值点；
(2)通过讨论a的范围结合零点的判定定理，从而求出a的范围.
20．（2025·北京市模拟）椭圆C：的右顶点为，离心率为
（1）求椭圆C的方程及短轴长；
（2）已知：过定点作直线l交椭圆C于D，E两点，过E作AB的平行线交直线DB于点F，设EF中点为G，直线BG与椭圆的另一点交点为M，若四边形BEMF为平行四边形，求G点坐标．
【答案】（1）解：由题意可得，，
所以，
因为，短轴长，
所以，椭圆C的方程：.
（2）解：设直线AD的方程：，
即，
再设，，
由，
消去y，整理得，
则，
所以，，
则直线BD的方程：，
令，则，
所以，
所以
，
则直线BG的斜率为：
，
所以直线BG的斜率为，
所以直线BG的方程：，
因此，
则，
解得或，
所以，
当BEMF为平行四边形时，G为BM的中点，
则，
所以
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意得，，再由求出的值，从而得出b的值，再利用椭圆短轴长的定义得出椭圆的短轴长；再利用a，b的值得出椭圆C的方程.
（2）设直线AD的方程为：，，，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，从而求出直线BD的方程，则可表示出点，的坐标，再利用两点求斜率公式，从而求出直线BG的斜率，进而求出直线BG的方程，再代入椭圆方程求出点的坐标，当BEMF为平行四边形时，G为BM的中点，再利用中点坐标公式得出点G的坐标.
（1）由题意可得，，所以，
，短轴长
所以椭圆C的方程：；
（2）设直线AD的方程：，即，，，
由，消去y，整理得，
则，
所以，，
则直线BD的方程：，令，则，所以，所以，
，
则直线BG的斜率
，
所以直线BG的斜率为，所以直线BG的方程：，
因此，则，解得或，
所以，
当BEMF为平行四边形时，G为BM的中点，则，所以
21．（2025·北京市模拟）已知 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使 ；
②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ．使得 ．
(Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列.
【答案】解：(Ⅰ) 不具有性质①；
(Ⅱ) 具有性质①；
具有性质②；
(Ⅲ)【解法一】
首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：
显然 ，假设数列中存在负项，设 ，
第一种情况：若 ，即 ，
由①可知：存在 ，满足 ，存在 ，满足 ，
由 可知 ，从而 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立.
第二种情况：若 ，由①知存在实数 ，满足 ，由 的定义可知： ，
另一方面， ，由数列的单调性可知： ，
这与 的定义矛盾，假设不成立.
同理可证得数列中的项数恒为负数.
综上可得，数列中的项数同号.
其次，证明 ：
利用性质②：取 ，此时 ，
由数列的单调性可知 ，
而 ，故 ，
此时必有 ，即 ，
最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：
假设数列 的前 项成等比数列，不妨设 ，
其中 ，（ 的情况类似）
由①可得：存在整数 ，满足 ，且 （*）
由②得：存在 ，满足： ，由数列的单调性可知： ，
由 可得： （**）
由（**）和（*）式可得： ，
结合数列的单调性有： ，
注意到 均为整数，故 ，
代入（**）式，从而 .
总上可得，数列 的通项公式为： .
即数列 为等比数列.
【解法二】
假设数列中的项数均为正数：
首先利用性质②：取 ，此时 ，
由数列的单调性可知 ，
而 ，故 ，
此时必有 ，即 ，
即 成等比数列，不妨设 ，
然后利用性质①：取 ，则 ，
即数列中必然存在一项的值为 ，下面我们来证明 ，
否则，由数列的单调性可知 ，
在性质②中，取 ，则 ，从而 ，
与前面类似的可知则存在 ，满足 ，
若 ，则： ，与假设矛盾；
若 ，则： ，与假设矛盾；
若 ，则： ，与数列的单调性矛盾；
即不存在满足题意的正整数 ，可见 不成立，从而 ，
同理可得： ，从而数列 为等比数列，
同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.
由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.
从而题中的结论得证，数列 为等比数列.
【知识点】数列的递推公式；分析法的思考过程、特点及应用；反证法
【解析】【分析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断；(Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明 ，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得 成等比数列，之后证得 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.
1 / 1北京市八一学校2025届高三高考模拟测试（三模）数学试题
1．（2025·北京市模拟）设，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·北京市模拟）若复数满足，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·北京市模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·北京市模拟）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
5．（2025·北京市模拟）已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2025·北京市模拟）设抛物线的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·北京市模拟）把函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数的图象，则（　　）
A． B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减
8．（2025·北京市模拟）在生活中，人们常用声强级y（单位：dB）来表示声强度I（单位：）的相对大小，具体关系式为，其中基准值.若声强度为时的声强级为60dB，那么当声强度变为时的声强级约为（　　）（参考数据：）
A．63dB B．66dB C．72dB D．76dB
9．（2025·北京市模拟）故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·北京市模拟）在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（　　）
A．24 B． C．14 D．
11．（2025·北京市模拟）函数的定义域为　 　．
12．（2025·北京市模拟）设，则　 　；当时，　 　．
13．（2025·北京市模拟）若双曲线经过点，其渐近线方程为，则双曲线的方程是　 　.
14．（2025·北京市模拟）在等腰梯形中，设，，，为的中点，则=　 　（用和表示），当　 　时，最小.
15．（2025·北京市模拟）已知直线和曲线，给出下列四个结论：
①存在实数和，使直线和曲线没有交点；
②存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点；
③存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点；
④对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点．
其中所有正确结论的序号是　 　．
16．（2025·北京市模拟）在中，，，分别为内角，，的对边，且满.
（1）求的大小；
（2）再在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求的面积.
17．（2025·北京市模拟）如图，在长方体中，，点F是的中点，点P在上，若过FP的平面交于E，交于Q．
（1）求证：平面PBQ；
（2）若点Q是的中点，且，求异面直线EP与BQ所成角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，若平面ABCD上有一点H满足平面，求点H的坐标．
18．（2025·北京市模拟）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.
为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.
（1）当时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为，乙型号电视机的“星级卖场”数量为，比较的大小关系；
（2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求的分布列和数学期望；
（3）若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断为何值时，达到最小值．（只需写出结论）
19．（2025·北京市模拟）已知函数，.
（1）当时，
①求曲线在处的切线方程；
②求证：在上有唯一极大值点；
（2）若没有零点，求的取值范围.
20．（2025·北京市模拟）椭圆C：的右顶点为，离心率为
（1）求椭圆C的方程及短轴长；
（2）已知：过定点作直线l交椭圆C于D，E两点，过E作AB的平行线交直线DB于点F，设EF中点为G，直线BG与椭圆的另一点交点为M，若四边形BEMF为平行四边形，求G点坐标．
21．（2025·北京市模拟）已知 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使 ；
②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ．使得 ．
(Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由，
得，
解得，
所以，
又因为，
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】先解一元二次不等式得出集合，再根据补集、交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，
得，
∴的虚部为.
故答案为：D.
【分析】先利用复数的模长公式和除法运算法则，从而化简得到复数z，再根据复数的虚部的定义，从而得出复数z的虚部.
3．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由已知条件可知，，，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而分别求出a，b，c三个数的取值范围，进而比较出a，b，c的大小.
4．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意，，
所以该函数为偶函数，
又因为，
所以，当时，取最大值.
故答案为：D.
【分析】由函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性，再利用二倍角公式结合二次函数图象求最值的方法，从而得出函数的最大值，进而找出正确的选项.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为，
所以，
当时，，
所以数列是公差为2的等差数列，
当数列是公差为2的等差数列时，
因为不知首项，
所以数列的前n项和不确定，
所以“”是“数列是公差为2的等差数列”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用与的关系式，从而得到，再利用等差数列的定义和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
6．【答案】C
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的定义
【解析】【解答】解：因为抛物线的准线方程为：，焦点坐标为：，
对于A：因为在抛物线内部，
又因为到准线的距离为：，
所以的最小值为，不符合题意，故选项A错误；
对于B：因为在抛物线上，
所以的最小值就是，不符合题意，
故选项B错误；
对于C：因为在抛物线内部，
又因为到准线的距离为：，
所以的最小值为，符合题意，故选项C正确；
对于D：因为在抛物线外部，
所以的最小值就是，不符合题意，
故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的性质和点到直线的距离公式、抛物线的定义、两点距离公式、几何法求最值的方法，从而逐项判断找出符合题意的点A的坐标.
7．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：将函数图象向左平移个单位长度得到
的图象，
再向上平移1个单位长度可得到的图象，故A错误；
因为，故B错误；
令，
得，
当时，；
当时，，故C错误；
令，
则，
所以在上单调递减，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据三角型函数的平移变换可得，则判断出选项A；由三角型函数的最小正周期公式判断出选项B；利用换元法和正弦函数的图象的对称性，则得出正弦型函数的对称轴，则判断出选项C；利用换元法和正弦函数的图象的单调性，则判断出正弦型函数的单调性，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
8．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为若声强度为时的声强级为60dB，
所以，
则，
解得，
所以，当声强度变为时，
声强级约为，
.
故答案为：B.
【分析】根据声强度为时的声强级为60dB，再利用指数与对数的互化公式，从而求出的值，再将声强度为代入求解得出当声强度变为时的声强级.
9．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：取中点，连接，过作的垂线交的延长线于点，
取中点，连接，
由题意，、分别为、中点，
因为是直三棱柱，
所以，且，
所以其，
所以四边形为平行四边形，
又因为，
所以为矩形，
所以，
又因为，平面，平面，，
所以平面，平面，
所以，
又因为，平面，平面，，
所以平面，
所以点到平面的距离等于线段的长度，设为，
因为，在中，，
所以，
设角，则，
因为四边形为平行四边形，
所以，
又因为因为是直三棱柱，
所以，且，
所以，，
又因为平面，平面，
所以，
所以，
则，
解得，
所以点到平面的距离是.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件结合空间中直线与平面的位置关系，先确定点到平面的垂线段，则点到平面的距离等于线段的长度，再设的长度为，再根据已知条件得出，从而解方程求出的值，进而得出点到平面的距离.
10．【答案】B
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：∵点到直线的距离，
∴直线始终与圆相切，
∴集合A表示除圆以外所有的点组成的集合，
∴集合表示圆，其对称中心，
如图所示：设是点关于直线线段（）的对称点，则设，
由，
得，
可得，
设关于x轴的对称点为，易得，
则直线，和线段的交点为P，
此时的周长为：为最小值.
故答案为：B.
【分析】根据集合可判断出集合表示圆，从而画出图形，再根据作图形对称点的方法转换为的周长，再利用几何法求最值的方法，从而得出的周长的最小值.
11．【答案】；
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意可知函数有意义，
则满足，
解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据偶次根式函数求定义域的方法和对数型函数求定义域的方法、分式函数求定义域的方法，再结合交集的运算法则，从而得出函数的定义域.
12．【答案】；
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：令，可得：，
则的通项为：，
令可得；
令可得，
由，
可得，
所以.
故答案为：；.
【分析】令求出的值；先利用二项式定理求出的通项，再令和，从而求出的值，再由求出的值.
13．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知，
①若双曲线的焦点在x轴上，
则可设，
则且，
联立解得：，
则双曲线的标准方程为；
②若双曲线的焦点在y轴上，
则可设，
则，且，
此时无解，
综上所述，双曲线的方程为.
故答案为：.
【分析】分双曲线焦点在轴上或轴上，分别设出双曲线方程，再联立方程组求解得出双曲线的标准方程.
14．【答案】；
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：∵为的中点，
∴
，
如图，设，
则，
∴当时，最小，此时由几何知识易得.
故答案为：，．
【分析】第一空，根据向量加法的三角形法则，则用和表示.
第二空，设，则，当时，最小，再由几何知识得出此时x的值．
15．【答案】①②③
【知识点】奇偶性与单调性的综合；导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于①，因为曲线为偶函数，
所以图象关于轴对称，且，
当或时，此时直线和曲线没有交点，（如下图），故①正确；
对于②，因为，
所以，
当时，，
所以，当，
故当时， 单调递减，当时， 单调递增，
故当时，此时 取极大值，也是最大值为，
故曲线某一点处的切线的斜率最大值为，
当时，此时直线和曲线恰有个交点，故②正确；
对于③，当时，对任意的 直线过原点，
此时直线与只有一个零点，故③正确；
对于④，当直线与曲线上某一点处的切线平行时
（斜率小于），且在切点之上的位置时，此时直线与曲线有3个交点，故④错误.
故答案为：①②③.
【分析】根据曲线图象的对称性，从而求导得出切线斜率的最大值，再由数形结合和函数的零点与直线与曲线的交点的横坐标的等价关系，从而逐项判断找出正确结论的序号.
16．【答案】解：（1）因为
由正弦定理，
得，
则，
所以，
因为，
所以.
（2）方案一：选条件①和条件②，
由正弦定理，
得，
由余弦定理，
得，
解得，
所以的面积为：.
方案二：选条件①和条件③，
由余弦定理，
得，
则，
所以，
所以，
所以的面积.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理、余弦定理，从而得出角A的余弦值，再结合三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）方案一：选条件①和条件②，利用正弦定理和余弦定理，从而得出b，c的值，再利用三角形的面积公式得出的面积.
方案二：选条件①和条件③，利用余弦定理得出b，c的值，再结合三角形的面积公式得出的面积.
17．【答案】（1）证明：因为平面平面，
且平面，平面，
∴，
又∵平面PBQ，平面PBQ，
∴平面PBQ.
（2）解：如图，以D为原点，DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，
由（1）知四边形EFPQ为平行四边形，
∴，
则，
解得，，，
∴，，，
∴
设异面直线与所成角为，
则，
所以，异面直线与所成角的余弦值为.
（3）解：设平面ABCD上一点，
因为，
所以，，，
由平面，可取平面的法向量为，
则，
解得，，
∴.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）根据面面平行的性质定理得到，再利用线线平行证出线面平行，即证出平面PBQ.
（2）利用已知条件，建立空间直角坐标系，设，由（1）知四边形EFPQ为平行四边形，则可得，再利用向量的坐标表示和向量相等的判断方法，从而求出点的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出异面直线与所成角的余弦值.
（3）设平面ABCD上一点，根据平面，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，从而得到，再利用数量积的坐标表示得出a，b的值，从而得出点H的坐标.
（1）证明：因为平面平面，
且平面，平面，∴，
又∵平面PBQ，平面PBQ，∴平面PBQ
（2）解：如图，以D为原点，DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，设，
由（1）知四边形EFPQ为平行四边形，∴，
则有，解得，，，
∴，，，
∴
设异面直线与所成角为，
异面直线与所成角的余弦值为
（3）解：设平面ABCD上一点，
因为，则，，，
由平面，可取平面的法向量为，
则有，
解得，，∴
18．【答案】解：（1）根据茎叶图，得甲组数据的平均数为：，
乙组数据的平均数为：.
由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数，
乙型号电视剧的“星级卖场”的个数，
所以.
（2）由题意，知的所有可能取值为0，1，2，
则，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以.
（3）当时，达到最小值.
【知识点】函数的最大（小）值；茎叶图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据平均数的公式分别求出甲、乙两组数据的平均数，从而得到“星级卖场”的个数进行比较，进而比较出的大小关系.
（2）利用已知条件写出的所有可能取值，从而求出相应的概率，即得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（3）根据方差的公式和函数求最值的方法，从而得出达到最小值的b的值.
19．【答案】（1）解：若，则，.
①在处，，.
所以曲线在处的切线方程为.
②令，，
在区间上，，则在区间上是减函数.
又，
所以在上有唯一零点.
列表得：
+ 0 -
极大值
所以在上有唯一极大值点.
（2）解：，
令，则.
①若，则，在上是增函数.
因为，，
所以恰有一个零点.
令，得.
代入，得，
解得.
所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意.
②若，此时的定义域为.
当时，，在区间上是减函数；
当时，，在区间上是增函数.
所以.
又，
由题意，当，即时，无零点，符合题意.
综上，的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1) ① 将a=1代入，求出函数f(x)的导数，求出 的值，即可求出曲线在处的切线方程； 通过解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
②令求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出 在上有唯一极大值点；
(2)通过讨论a的范围结合零点的判定定理，从而求出a的范围.
20．【答案】（1）解：由题意可得，，
所以，
因为，短轴长，
所以，椭圆C的方程：.
（2）解：设直线AD的方程：，
即，
再设，，
由，
消去y，整理得，
则，
所以，，
则直线BD的方程：，
令，则，
所以，
所以
，
则直线BG的斜率为：
，
所以直线BG的斜率为，
所以直线BG的方程：，
因此，
则，
解得或，
所以，
当BEMF为平行四边形时，G为BM的中点，
则，
所以
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意得，，再由求出的值，从而得出b的值，再利用椭圆短轴长的定义得出椭圆的短轴长；再利用a，b的值得出椭圆C的方程.
（2）设直线AD的方程为：，，，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，从而求出直线BD的方程，则可表示出点，的坐标，再利用两点求斜率公式，从而求出直线BG的斜率，进而求出直线BG的方程，再代入椭圆方程求出点的坐标，当BEMF为平行四边形时，G为BM的中点，再利用中点坐标公式得出点G的坐标.
（1）由题意可得，，所以，
，短轴长
所以椭圆C的方程：；
（2）设直线AD的方程：，即，，，
由，消去y，整理得，
则，
所以，，
则直线BD的方程：，令，则，所以，所以，
，
则直线BG的斜率
，
所以直线BG的斜率为，所以直线BG的方程：，
因此，则，解得或，
所以，
当BEMF为平行四边形时，G为BM的中点，则，所以
21．【答案】解：(Ⅰ) 不具有性质①；
(Ⅱ) 具有性质①；
具有性质②；
(Ⅲ)【解法一】
首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：
显然 ，假设数列中存在负项，设 ，
第一种情况：若 ，即 ，
由①可知：存在 ，满足 ，存在 ，满足 ，
由 可知 ，从而 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立.
第二种情况：若 ，由①知存在实数 ，满足 ，由 的定义可知： ，
另一方面， ，由数列的单调性可知： ，
这与 的定义矛盾，假设不成立.
同理可证得数列中的项数恒为负数.
综上可得，数列中的项数同号.
其次，证明 ：
利用性质②：取 ，此时 ，
由数列的单调性可知 ，
而 ，故 ，
此时必有 ，即 ，
最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：
假设数列 的前 项成等比数列，不妨设 ，
其中 ，（ 的情况类似）
由①可得：存在整数 ，满足 ，且 （*）
由②得：存在 ，满足： ，由数列的单调性可知： ，
由 可得： （**）
由（**）和（*）式可得： ，
结合数列的单调性有： ，
注意到 均为整数，故 ，
代入（**）式，从而 .
总上可得，数列 的通项公式为： .
即数列 为等比数列.
【解法二】
假设数列中的项数均为正数：
首先利用性质②：取 ，此时 ，
由数列的单调性可知 ，
而 ，故 ，
此时必有 ，即 ，
即 成等比数列，不妨设 ，
然后利用性质①：取 ，则 ，
即数列中必然存在一项的值为 ，下面我们来证明 ，
否则，由数列的单调性可知 ，
在性质②中，取 ，则 ，从而 ，
与前面类似的可知则存在 ，满足 ，
若 ，则： ，与假设矛盾；
若 ，则： ，与假设矛盾；
若 ，则： ，与数列的单调性矛盾；
即不存在满足题意的正整数 ，可见 不成立，从而 ，
同理可得： ，从而数列 为等比数列，
同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.
由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.
从而题中的结论得证，数列 为等比数列.
【知识点】数列的递推公式；分析法的思考过程、特点及应用；反证法
【解析】【分析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断；(Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明 ，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得 成等比数列，之后证得 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.
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