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山东省淄博市淄博实验中学2024-2025学年高三模拟练习数学试题
1．（2025·淄博模拟）设命题：，，则是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题：，，
则是：.
故答案为：D.
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，从而写出命题p的否定.
2．（2025·淄博模拟）复数（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算计算即可.
3．（2025·淄博模拟）若向量满足与的夹角为，则（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和向量求模公式，从而求出的值，再根据数量积定义得出的值.
4．（2025·淄博模拟）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：设抛物线的焦点为，则，
由抛物线的定义知，，
解得.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和抛物线的定义，从而得出p的值.
5．（2025·淄博模拟）已知，且，其中是虚数单位，则等于（　　）
A．5 B． C． D．1
【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，
得：，
则，
解得，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用复数乘法运算法则和复数相等的判断方法，从而得到的值，再利用复数求模公式得出的值.
6．（2025·淄博模拟）设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点，
由题意可知，，
则抛物线方程为，
令，代入抛物线方程，可得，
代入双曲线方程，可得，
设，，，
由，
得
两边平方相减可得， ，
由，得，
又因为
所以，
由，得，
由，解得.
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的焦点坐标和双曲线的焦点坐标结合已知条件得出， 再联立直线的方程与抛物线方程得出交点A，B的坐标，再根据平面向量基本定理和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出a，c的关系式，再利用双曲线的离心率公式和双曲线的离心率的取值范围，从而得出双曲线的离心率.
7．（2025·淄博模拟）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中正确的个数是（　　）
①当时，
②函数有3个零点
③的解集为
④，都有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：①、因为函数是定义在上的奇函数，所以当时，，则，即，即，故①错误；
②、因为是定义在上的奇函数，所以，
当时，由，得，
当时，由，得，所以函数有3个零点，故②正确；
③、当时，由，得，得，
当时，由，得，得，所以，
综上，或，所以的解集为，故③正确；
④、当时，由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
且当时，，当时，，所以
当时，由，得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最大值，
当时，，当时，，所以，
所以的值域为，
所以，都有，故④正确.
故答案为：C.
【分析】设，则，代入已知函数中结合奇函数化简即可判断 ① ；分情况解方程求解即可判断②；直接解不等式即可判断③；分和分别对函数求导，根据导数的正负可求出函数的单调性，再求出函数的值域即可判断④.
8．（2025·淄博模拟）某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，七个公司分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（　　）
A．路口 B．路口 C．路口 D．路口
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：观察图形知，七个公司要到中转站，
先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点，
令到、到、到、到、到、到、到的小公路距离总和为，
，
路口为中转站时，距离总和为：
路口为中转站时，距离总和为：，
路口为中转站时，距离总和为：，
路口为中转站时，距离总和为：
显然，
所以，这个中转站最好设在路口.
故答案为：B.
【分析】根据给定图形，用表示7个公司到大公路最近的小公路距离和，，再求出到路口C，D，E，F的距离总和，则比较大小得出这个中转站最好设在路口.
9．（2025·淄博模拟）（多选）已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：由，
令，可得，
可得，
则，故B正确、C不正确；
可得，故A正确；
则1，故D不正确.
故答案为：AB.
【分析】令，从而求得，进而得到的解析式，则可判断选项B和选项C；从而可得的值，则可判断选项A和选项D，从而找出结论正确的选项.
10．（2025·淄博模拟）若，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：令，则，故A正确；
令，可得，
则，故B错误；
令，可得，
则，故C正确；
令，可得，
则，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件和赋值，从而逐项判断找出结论正确的选项.
11．（2025·淄博模拟）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于、两点，为线段中点，、、分别为、、在上的射影，且，则下列结论中正确的是（　　）
A．的坐标为 B．
C．、、、四点共圆 D．直线的方程为
【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，因为抛物线的焦点为，所以A错；
对于D，当点在第一象限，过点作垂直于，为垂足，如图所示，
设，则，
因为，，，
所以，四边形为矩形，
所以，，
则，
设直线的倾斜角为，
则为锐角，且，则，
此时，直线的方程为，
当点在第二象限时，同理可知，直线的方程为，
综上所述，直线的方程为，所以D对；
对于B，不妨设点在第一象限，则直线的方程为，
设点、，
联立，可得，
因为，
由韦达定理可得，，
设点，则，故点，
所以，直线的斜率为，
又因为直线的斜率为，
所以，，
故，
又因为，
所以、、、四点共圆，
同理可知，当点在第二象限时，、、、四点共圆，
综上所述，故、、、四点共圆，所以C对；
对于B，因为，
所以，
所以B对.
故答案为：BCD.
【分析】根据抛物线的方程求出焦点的坐标，则可判断选项A；根据线线垂直证出 四边形为矩形，再利用抛物线的定义和正弦函数的定义以及数形结合，从而求出直线的方程，则可判断选项D；对点A所在的象限分类讨论，联立直线方程和抛物线方程结合判别式法和韦达定理，从而得出点，再利用两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-1，从而证出，再利用得出、、、四点共圆，则可判断出选项C；先利用两点距离公式和弦长公式以及韦达定理式，则求出、的值，从而得出，则可判断选项B，进而找出结论正确的选项.
12．（2025·淄博模拟）已知O为坐标原点，在抛物线上存在两点E，F，使得是边长为4的正三角形，则　 　．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：根据抛物线的对称性可知，
因为为等边三角形，
所以关于坐标轴对称，
又因为，，
所以，
将代入可得.
故答案为：.
【分析】根据抛物线图形的对称性和正三角形的边长，从而可得，再代入抛物线方程得出p的值.
13．（2025·淄博模拟）已知，则　 　．（用数字作答）
【答案】34
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为，
令，得；
令，得；
又因为，
则二项式的通项公式为，
则，
，
所以．
故答案为：.
【分析】利用赋值法，令，可得的值，再令，可得的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，再根据展开式的通项求出，的值，最后作差得出的值.
14．（2025·淄博模拟）如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直，点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，，若，当四面体体积最大时，则该四面体的内切球半径为　 　．
【答案】或
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图：
因为平面平面，平面平面，平面，
且，
所以平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，平面，
所以，
又因为在正方形及其内部，
所以点轨迹是如图所示的以为直径的半圆，作于，
则是三棱锥的高.
所以当的面积和都取得最大值时，四面体的体积最大，
此时点应该与或重合，为正方形的中心，如图：
当点与重合，为正方形的中心时，
，，，，
在中，因为，，，
所以.
设内切球半径为，由，
得，如图：
当点与重合，为正方形的中心时，
，
，，，，
设内切球半径为，
由，
得，
综上可知，当四面体的体积最大时，
其内切球半径为：或.
故答案为：或.
【分析】先确定点的轨迹，从而确定当四面体体积最大时的点，的位置，再利用三棱锥体积公式和几何法求最值的方法，从而得出当四面体体积最大时的该四面体的内切球半径.
15．（2025·淄博模拟）已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心．
（1）求；
（2）记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值．
【答案】（1）解：因为在上单调递增，
在上单调递减，
所以且，
所以，
可知，
由，可知，
所以，
则，
由，
可得，
则．
（2）解：因为
化简得，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，
所以，
则长的最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；含三角函数的复合函数的单调性；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的单调性和正弦型函数的最小正周期公式以及的取值范围，从而求出的值，进而得出函数解析式，再利用正弦型函数的对称性得出的值.
（2）利用余弦定理得到，再结合三角形面积公式和基本不等式求最值的方法以及已知条件，从而得出边上的高长的最大值．
（1）因为在上单调递增，在上单调递减，
所以且，所以，可知，
又由，可知，所以，故，
由，可得，即．
（2），
化简得，
因为，所以，
所以，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，故长的最大值为．
16．（2025·淄博模拟）某工厂生产一种产品测得数据如下：
尺寸 38 48 58 68 78 88
质量 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290
（1）若按照检测标准，合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（c d为大于0的常数），求y关于x的回归方程；
（2）已知产品的收益z（单位：千元）与产品尺寸和质量的关系为，根据（1）中回归方程分析，当产品的尺寸x约为何值时（结果用整数表示），收益z的预报值最大？
附：（1）参考数据：，，，.
（2）参考公式：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.
【答案】（1）解：对两边取自然对数，得，
令，，
则，其中，
根据所给统计量及最小二乘估计公式，得：
，
又因为，
所以，
所以y关于x的回归方程为.
（2）解：由（1）得，
所以，
令，
则当时，z取得最大值，此时，
所以，当产品的尺寸约为72mm时，收益z的预报值最大.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合非线性回归方程的求法，从而得出关于的回归方程.
（2）由（1）得，从而得出的表达式，再结合二次函数求最值的方法，从而得出当约为时，收益的预报值最大.
（1）对两边取自然对数得.
令，，则，其中.
根据所给统计量及最小二乘估计公式有：
，
，
又，所以，所以y关于x的回归方程为.
（2）由（1）得，所以.
令，则当时，z取得最大值，
此时，
所以当产品的尺寸约为72mm时，收益z的预报值最大.
17．（2025·淄博模拟）已知抛物线：与双曲线：相交于点．
（1）若，求抛物线的准线方程；
（2）记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值．
【答案】（1）解：由，得，
将其代入，得，
所以抛物线的方程为，
其准线方程为.
（2）证明：由，
得，
由直线与相切，
得，
解得，
则切点，
由，
得，
由直线与相切，
得，解得，
则切点，
所以，
令，则直线的方程为，
因为，
由，得，
所以
则点到直线的距离为，
所以，
所以的面积为定值，该定值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和代入法得出的值，再利用代入法求出的值，从而得出抛物线的标准方程，进而得出抛物线的准线方程.
（2）把直线的方程分别与抛物线的方程和双曲线的方程联立，则用表示出，从而求出切点的坐标，再利用两点距离公式、点到直线的距离公式和三角形的面积公式，从而证出的面积为定值，该定值为.
（1）由，得，将其代入，得，
所以抛物线的方程为，其准线方程为.
（2）由，得，
由直线与相切，得，解得，切点，
由，得，
由直线与相切，得，解得，切点，
于是，令，则直线的方程为，
点，由，得，
所以，
点到直线的距离为，
所以，
所以的面积为定值，该定值为.
18．（2025·淄博模拟）“村BA”后，贵州“村超”又火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事——榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各 50名进行调查，部分数据如表所示：
　 喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 　 20 　
女生 15 　 　
合计 　 　 100
（1）根据所给数据完成上表，依据α=0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3 人进球总次数X的分布列和数学期望.
附：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：依题意，列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
合计 45 55 100
零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关，
则的观测值为，
因为，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以，有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.
（2）解：依题意，的所有可能取值为，
所以的分布列为：
0 1 2 3
则数学期.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据男、女生各名和表中数据，从而可填写出列联表，再根据
结合，从而判断出有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.
（2）根据题意可知的所有可能取值，再利用二项分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）依题意，列联表如下：
　 喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
合计 45 55 100
零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关，
的观测值为，
，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.
（2）依题意，的所有可能取值为，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期.
19．（2025·淄博模拟）记为数列的前项和，．
（1）求和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）解：因为，
所以，当时，，
所以；
当时，，
所以，
所以，
又因为，
所以，
当为奇数时，，
所以，，
作差可得，，
所以，
当为偶数时，，
所以，，
作差可得，，
所以.
所以，，.
（2）解：由（1）得，，，
所以，令，
所以
，
所以，
下面证明，
因为，
所以
下面证明，
因为，
所以，
所以，
所以.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；反证法与放缩法；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件，分别取和，从而可得的值，再利用的关系式以及对进行奇数、偶数讨论，从而可得数列的通项公式.
（2）根据题意，化简得到，再对该式进行两次放缩，从而分别求和，进而证明出不等式成立.
（1）因为，
所以当时，，所以；
当时，，所以，所以.
又因为，所以.
当为奇数时，，
所以，，
作差，，所以.
当为偶数时，，
所以，，
作差，，所以.
所以，.
（2）由第1小问得，，
所以令，
所以
.
所以.
下面证明：
因为，
所以.
下面证明：
因为，
所以，
所以.
所以.
1 / 1山东省淄博市淄博实验中学2024-2025学年高三模拟练习数学试题
1．（2025·淄博模拟）设命题：，，则是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·淄博模拟）复数（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·淄博模拟）若向量满足与的夹角为，则（　　）
A． B． C． D．2
4．（2025·淄博模拟）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2025·淄博模拟）已知，且，其中是虚数单位，则等于（　　）
A．5 B． C． D．1
6．（2025·淄博模拟）设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·淄博模拟）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中正确的个数是（　　）
①当时，
②函数有3个零点
③的解集为
④，都有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025·淄博模拟）某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，七个公司分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（　　）
A．路口 B．路口 C．路口 D．路口
9．（2025·淄博模拟）（多选）已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·淄博模拟）若，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025·淄博模拟）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于、两点，为线段中点，、、分别为、、在上的射影，且，则下列结论中正确的是（　　）
A．的坐标为 B．
C．、、、四点共圆 D．直线的方程为
12．（2025·淄博模拟）已知O为坐标原点，在抛物线上存在两点E，F，使得是边长为4的正三角形，则　 　．
13．（2025·淄博模拟）已知，则　 　．（用数字作答）
14．（2025·淄博模拟）如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直，点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，，若，当四面体体积最大时，则该四面体的内切球半径为　 　．
15．（2025·淄博模拟）已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心．
（1）求；
（2）记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值．
16．（2025·淄博模拟）某工厂生产一种产品测得数据如下：
尺寸 38 48 58 68 78 88
质量 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290
（1）若按照检测标准，合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（c d为大于0的常数），求y关于x的回归方程；
（2）已知产品的收益z（单位：千元）与产品尺寸和质量的关系为，根据（1）中回归方程分析，当产品的尺寸x约为何值时（结果用整数表示），收益z的预报值最大？
附：（1）参考数据：，，，.
（2）参考公式：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.
17．（2025·淄博模拟）已知抛物线：与双曲线：相交于点．
（1）若，求抛物线的准线方程；
（2）记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值．
18．（2025·淄博模拟）“村BA”后，贵州“村超”又火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事——榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各 50名进行调查，部分数据如表所示：
　 喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 　 20 　
女生 15 　 　
合计 　 　 100
（1）根据所给数据完成上表，依据α=0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3 人进球总次数X的分布列和数学期望.
附：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．（2025·淄博模拟）记为数列的前项和，．
（1）求和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题：，，
则是：.
故答案为：D.
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，从而写出命题p的否定.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算计算即可.
3．【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和向量求模公式，从而求出的值，再根据数量积定义得出的值.
4．【答案】D
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：设抛物线的焦点为，则，
由抛物线的定义知，，
解得.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和抛物线的定义，从而得出p的值.
5．【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，
得：，
则，
解得，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用复数乘法运算法则和复数相等的判断方法，从而得到的值，再利用复数求模公式得出的值.
6．【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点，
由题意可知，，
则抛物线方程为，
令，代入抛物线方程，可得，
代入双曲线方程，可得，
设，，，
由，
得
两边平方相减可得， ，
由，得，
又因为
所以，
由，得，
由，解得.
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的焦点坐标和双曲线的焦点坐标结合已知条件得出， 再联立直线的方程与抛物线方程得出交点A，B的坐标，再根据平面向量基本定理和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出a，c的关系式，再利用双曲线的离心率公式和双曲线的离心率的取值范围，从而得出双曲线的离心率.
7．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：①、因为函数是定义在上的奇函数，所以当时，，则，即，即，故①错误；
②、因为是定义在上的奇函数，所以，
当时，由，得，
当时，由，得，所以函数有3个零点，故②正确；
③、当时，由，得，得，
当时，由，得，得，所以，
综上，或，所以的解集为，故③正确；
④、当时，由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
且当时，，当时，，所以
当时，由，得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最大值，
当时，，当时，，所以，
所以的值域为，
所以，都有，故④正确.
故答案为：C.
【分析】设，则，代入已知函数中结合奇函数化简即可判断 ① ；分情况解方程求解即可判断②；直接解不等式即可判断③；分和分别对函数求导，根据导数的正负可求出函数的单调性，再求出函数的值域即可判断④.
8．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：观察图形知，七个公司要到中转站，
先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点，
令到、到、到、到、到、到、到的小公路距离总和为，
，
路口为中转站时，距离总和为：
路口为中转站时，距离总和为：，
路口为中转站时，距离总和为：，
路口为中转站时，距离总和为：
显然，
所以，这个中转站最好设在路口.
故答案为：B.
【分析】根据给定图形，用表示7个公司到大公路最近的小公路距离和，，再求出到路口C，D，E，F的距离总和，则比较大小得出这个中转站最好设在路口.
9．【答案】A,B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：由，
令，可得，
可得，
则，故B正确、C不正确；
可得，故A正确；
则1，故D不正确.
故答案为：AB.
【分析】令，从而求得，进而得到的解析式，则可判断选项B和选项C；从而可得的值，则可判断选项A和选项D，从而找出结论正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：令，则，故A正确；
令，可得，
则，故B错误；
令，可得，
则，故C正确；
令，可得，
则，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件和赋值，从而逐项判断找出结论正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，因为抛物线的焦点为，所以A错；
对于D，当点在第一象限，过点作垂直于，为垂足，如图所示，
设，则，
因为，，，
所以，四边形为矩形，
所以，，
则，
设直线的倾斜角为，
则为锐角，且，则，
此时，直线的方程为，
当点在第二象限时，同理可知，直线的方程为，
综上所述，直线的方程为，所以D对；
对于B，不妨设点在第一象限，则直线的方程为，
设点、，
联立，可得，
因为，
由韦达定理可得，，
设点，则，故点，
所以，直线的斜率为，
又因为直线的斜率为，
所以，，
故，
又因为，
所以、、、四点共圆，
同理可知，当点在第二象限时，、、、四点共圆，
综上所述，故、、、四点共圆，所以C对；
对于B，因为，
所以，
所以B对.
故答案为：BCD.
【分析】根据抛物线的方程求出焦点的坐标，则可判断选项A；根据线线垂直证出 四边形为矩形，再利用抛物线的定义和正弦函数的定义以及数形结合，从而求出直线的方程，则可判断选项D；对点A所在的象限分类讨论，联立直线方程和抛物线方程结合判别式法和韦达定理，从而得出点，再利用两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-1，从而证出，再利用得出、、、四点共圆，则可判断出选项C；先利用两点距离公式和弦长公式以及韦达定理式，则求出、的值，从而得出，则可判断选项B，进而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：根据抛物线的对称性可知，
因为为等边三角形，
所以关于坐标轴对称，
又因为，，
所以，
将代入可得.
故答案为：.
【分析】根据抛物线图形的对称性和正三角形的边长，从而可得，再代入抛物线方程得出p的值.
13．【答案】34
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为，
令，得；
令，得；
又因为，
则二项式的通项公式为，
则，
，
所以．
故答案为：.
【分析】利用赋值法，令，可得的值，再令，可得的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，再根据展开式的通项求出，的值，最后作差得出的值.
14．【答案】或
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图：
因为平面平面，平面平面，平面，
且，
所以平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，平面，
所以，
又因为在正方形及其内部，
所以点轨迹是如图所示的以为直径的半圆，作于，
则是三棱锥的高.
所以当的面积和都取得最大值时，四面体的体积最大，
此时点应该与或重合，为正方形的中心，如图：
当点与重合，为正方形的中心时，
，，，，
在中，因为，，，
所以.
设内切球半径为，由，
得，如图：
当点与重合，为正方形的中心时，
，
，，，，
设内切球半径为，
由，
得，
综上可知，当四面体的体积最大时，
其内切球半径为：或.
故答案为：或.
【分析】先确定点的轨迹，从而确定当四面体体积最大时的点，的位置，再利用三棱锥体积公式和几何法求最值的方法，从而得出当四面体体积最大时的该四面体的内切球半径.
15．【答案】（1）解：因为在上单调递增，
在上单调递减，
所以且，
所以，
可知，
由，可知，
所以，
则，
由，
可得，
则．
（2）解：因为
化简得，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，
所以，
则长的最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；含三角函数的复合函数的单调性；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的单调性和正弦型函数的最小正周期公式以及的取值范围，从而求出的值，进而得出函数解析式，再利用正弦型函数的对称性得出的值.
（2）利用余弦定理得到，再结合三角形面积公式和基本不等式求最值的方法以及已知条件，从而得出边上的高长的最大值．
（1）因为在上单调递增，在上单调递减，
所以且，所以，可知，
又由，可知，所以，故，
由，可得，即．
（2），
化简得，
因为，所以，
所以，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，故长的最大值为．
16．【答案】（1）解：对两边取自然对数，得，
令，，
则，其中，
根据所给统计量及最小二乘估计公式，得：
，
又因为，
所以，
所以y关于x的回归方程为.
（2）解：由（1）得，
所以，
令，
则当时，z取得最大值，此时，
所以，当产品的尺寸约为72mm时，收益z的预报值最大.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合非线性回归方程的求法，从而得出关于的回归方程.
（2）由（1）得，从而得出的表达式，再结合二次函数求最值的方法，从而得出当约为时，收益的预报值最大.
（1）对两边取自然对数得.
令，，则，其中.
根据所给统计量及最小二乘估计公式有：
，
，
又，所以，所以y关于x的回归方程为.
（2）由（1）得，所以.
令，则当时，z取得最大值，
此时，
所以当产品的尺寸约为72mm时，收益z的预报值最大.
17．【答案】（1）解：由，得，
将其代入，得，
所以抛物线的方程为，
其准线方程为.
（2）证明：由，
得，
由直线与相切，
得，
解得，
则切点，
由，
得，
由直线与相切，
得，解得，
则切点，
所以，
令，则直线的方程为，
因为，
由，得，
所以
则点到直线的距离为，
所以，
所以的面积为定值，该定值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和代入法得出的值，再利用代入法求出的值，从而得出抛物线的标准方程，进而得出抛物线的准线方程.
（2）把直线的方程分别与抛物线的方程和双曲线的方程联立，则用表示出，从而求出切点的坐标，再利用两点距离公式、点到直线的距离公式和三角形的面积公式，从而证出的面积为定值，该定值为.
（1）由，得，将其代入，得，
所以抛物线的方程为，其准线方程为.
（2）由，得，
由直线与相切，得，解得，切点，
由，得，
由直线与相切，得，解得，切点，
于是，令，则直线的方程为，
点，由，得，
所以，
点到直线的距离为，
所以，
所以的面积为定值，该定值为.
18．【答案】（1）解：依题意，列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
合计 45 55 100
零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关，
则的观测值为，
因为，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以，有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.
（2）解：依题意，的所有可能取值为，
所以的分布列为：
0 1 2 3
则数学期.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据男、女生各名和表中数据，从而可填写出列联表，再根据
结合，从而判断出有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.
（2）根据题意可知的所有可能取值，再利用二项分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）依题意，列联表如下：
　 喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
合计 45 55 100
零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关，
的观测值为，
，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.
（2）依题意，的所有可能取值为，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期.
19．【答案】（1）解：因为，
所以，当时，，
所以；
当时，，
所以，
所以，
又因为，
所以，
当为奇数时，，
所以，，
作差可得，，
所以，
当为偶数时，，
所以，，
作差可得，，
所以.
所以，，.
（2）解：由（1）得，，，
所以，令，
所以
，
所以，
下面证明，
因为，
所以
下面证明，
因为，
所以，
所以，
所以.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；反证法与放缩法；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件，分别取和，从而可得的值，再利用的关系式以及对进行奇数、偶数讨论，从而可得数列的通项公式.
（2）根据题意，化简得到，再对该式进行两次放缩，从而分别求和，进而证明出不等式成立.
（1）因为，
所以当时，，所以；
当时，，所以，所以.
又因为，所以.
当为奇数时，，
所以，，
作差，，所以.
当为偶数时，，
所以，，
作差，，所以.
所以，.
（2）由第1小问得，，
所以令，
所以
.
所以.
下面证明：
因为，
所以.
下面证明：
因为，
所以，
所以.
所以.
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