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（培优篇）2024-2025学年下学期小学数学人教版五年级暑假分层作业：综合题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．某商场想了解去年某品牌洗衣机的销售变化情况，选用（ ）统计图合适。
A．条形 B．折线 C．条形或折线都可以
2．下面选项中的三个连续自然数都是合数的是（ ）。
A．1，2，3 B．3，4，5 C．6，7，8 D．8，9，10
3．在四位数23□0的方框里填入一个数字，使它同时能被3、5整除，□里最大能填（ ）。
A．3 B．4 C．7 D．9
4．学校举行200米短跑测试，小林用了分钟，小强用了分钟，小刚用了0.56分钟，（ ）的成绩最好。
A．小林 B．小强 C．小刚
5．下列说法正确的是（ ）。
A．一根绳子的与米一样长 B．是3个 C．＝＝2÷3 D．＝
6．下面表述有（ ）句是正确的。
①除2之外，任意两个质数的和一定是偶数。
②一个质数和一个合数一定是互质数。
③两个连续的非零自然数一定是互质数。
④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数。
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若，则A最多可以表示（ ）个不同的自然数。
A．6 B．7 C．8 D．9
8．智能工厂里，机械臂可以通过输入设定值，将相同个数的零件装箱打包。一批零件有24个，如果不能每次单个打包，也不能一次全部打包，且最后正好打包完成，那么一共可以有（ ）种不同的设定值。
A．8 B．7 C．6
二、填空题
9．在括号里填上合适的单位。
一台冰箱的体积约是500( )；一听雪碧的容量约是330( )。
10．某班音乐小组共有13人，其中女生8人。
(1)女生人数占全组人数的( )。
(2)“”这个算式解决的问题是( )。
11．一根长2.5dm，横截面积是0.36dm2的钢材，如果1dm3的钢材重8kg，这根钢材的重量为( )kg。
12．21粒药丸，其中1粒不合格（略轻一些）。用天平称，至少称( )次一定能找次品。
13．如图，台秤的指针指向“2”表示西瓜的质量是( )千克。如果将西瓜拿掉，指针会按( )方向旋转( )°指向“( )”。
14．一个棱长是3米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加( )平方米。
15．工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有( )个，2个面涂色的有( )个。
16．用5个小正方体摆成的立体图形，从上面看到的和的上面一样，一共有( )种摆法。
三、判断题
17．自然数中，个位上是1、3、5、7、9的数，都是奇数。( )
18．把一个正方体切成两个相同的长方体后，体积和表面积都不变。( )
19．表面积相等的两个长方体，它们的长、宽、高一定分别相等。( )
20．如图：拿走一个涂色正方体后，图形的表面积增加了2个面。( )
21．在等式中，其中a，b，c代表不同的偶数，则a＋b＋c＝26。( )
22．。( )
四、计算题
23．直接写出得数。



24．计算下面各题，能简算的要简算。

五、改错题
25．下面的计算对吗？不对的在后面的横线上改正过来。
（ ）__________ （ ）__________
（ ）__________ （ ）__________
六、作图题
26．下面是某地区2018年~2023年燃油汽车和新能源汽车的销售量情况统计表。
年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年
燃油汽车/万辆
新能源汽车/万辆 35 63 60 74 121 180
某地区2018年~2023年燃油汽车和新能源汽车的销售量情况统计图
（1）将上面的统计表和折线统计图填、画完整。
（2）该地区（ ）年燃油汽车和新能源汽车的销售量相差最少，（ ）年相差最多。
（3）结合以上信息，请你预测2024年该地区燃油汽车的销售量可能是（ ）万辆，新能源汽车的销售量可能是（ ）万辆。将你预测的理由写在下面的横线上： 。
七、解答题
27．亮亮家买了一台柜式空调，长5分米，宽3分米，高17分米。
（1）妈妈做了一个布罩（没有底面），共用布多少平方分米？
（2）要在每个面的缝合处及底边都缝上花边，共用花边多少米？
28．某学校五年级同学在六一文艺汇演活动上要表演戏曲操，每行站3人，最后一行少2人；每行站4人，最后一行少3人；每行站5人，最后一行多1人。至少有多少同学参加表演？
29．数学阅读。
（1）同学们你能不能也当一回埃及人，快速仿照着这样的形式写出、。
（2）古埃及人认为：“任何一个真分数都可以表示成几个埃及分数的和。”例如：＝＋、＝＋、＝＋…
你发现：上面两个加数的分母是（ ）自然数，两个加数的分母的（ ）是和的分母，两个加数的分母的（ ）是和的分子。你还能照样子写出这样的算式吗？
＝（ ）＋（ ） ＝（ ）＋（ ）
＝（ ）＋（ ）
（3）请你运用代入法，将真分数转化为两个埃及分数的和，计算出得数。（注意要写清楚计算过程）
1－＋－＋－＋
30．小勇和爸爸喝饮料，小勇用同样的2个杯子给自己倒了1杯雪碧，又给爸爸倒了1杯啤酒。小勇先喝了自己的雪碧，然后用爸爸杯中的啤酒将自己的杯子添满，混合后又用自己杯中的饮料将爸爸的杯子添满，两人各自喝完自己杯子中的饮料，小勇喝了几分之几杯雪碧？爸爸喝了几分之几杯啤酒？

31．1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想，其中的“任何不小于7的奇数，都可以表示为三个质数之和”称为“弱哥德巴赫猜想”，并已经得到了成功的证明。根据“弱哥德巴赫猜想”，任意一个不小于7的奇数m，都可以进行这样的拆分（备注：“≥”表示大于或等于）；
m＝a＋b＋c（a、b、c均为质数，且a≥b≥c），在m的所有这种拆分中，如果a、c两数之差a－c最小，我们就称a＋b＋c是m的最优拆分。并规定：P（m）＝a－c。例如9可以分解成2＋2＋5，3＋3＋3，因为5－2＞3－3，所以3＋3＋3是9的最优拆分，且P（9）＝0.
（1）由上述条件，可得：P（11）＝__________；若P（n）＝1，则n＝__________；若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：__________。
（2）t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y（1≤x≤y≤9，x、y为整数）。若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P（t）的最大值。
《（培优篇）2024-2025学年下学期小学数学人教版五年级暑假分层作业：综合题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C C C C C C
1．B
【分析】条形统计图的特点是：直观明了，便于发现数据的分布范围，而且能够显示每组中的具体数据，易于比较数据之间的差距；折线统计图的特点是：用折线的上升或下降表示数量的增减变化，折线统计图既可以反映数量的多少，更能反映数量的增减变化趋势；依此选择即可。
【详解】根据分析可知，某商场想了解去年某品牌洗衣机的销售变化情况，选用折线统计图合适。
故答案为：B
【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握条形统计图和折线统计图的特点。
2．D
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；据此解答。
【详解】A．1，2，3都不是合数，不符合题意；
B．3，4，5中，3和5不是合数，不符合题意；
C．6，7，8中，7不是合数，不符合题意；
D．8，9，10都是合数，符合题意。
故答案为：D
【点睛】掌握质数与合数的意义是解题的关键。
3．C
【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。
既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。
【详解】□内最大填9；2390；是5的倍数；2＋3＋9＋0＝14；14不能被3整除，□内最大不能填9；
□内最大填8；2380；是5的倍数；2＋3＋8＋0＝13；13不能被3整除，□内最大不能填8；
□内最大填7；2370；是5的倍数；2＋3＋7＋0＝12；12能被3整除，□内最大填7。
在四位数23□0的方框里填入一个数字，使它同时能被3、5整除，□里最大能填7。
故答案为：C
4．C
【分析】路程一样，时间越少速度越快，比较三人用时即可，分数和小数比大小，将分数化成小数再比较，分数化小数直接用分子÷分母即可。
【详解】＝13÷20＝0.65、＝3÷5＝0.6
0.56＜＜，小刚的成绩最好。
故答案为：C
【点睛】统一成小数再比较的好处是不用再进行通分。
5．C
【分析】A．如果一根绳子长1米，它的与米一样长；如果这根绳子不是长1米，它的与米不相等；
B．先将带分数化成假分数，判定一个分数有几个分数单位，看分子，分子是几，就有几个这样的分数单位；
C．根据分数的基本性质，将的分子、分母同时除以3就是；再将的分子、分母同时除以2就是，再根据分数与除法的关系，将改写成除法形式；
D．把带分数化成假分数：用带分数的整数部分×分母＋分子得到假分数的分子，分母不变。
【详解】A．因为没有明确这根绳子的全长，所以无法判断一根绳子的与米是否一样长，原题说法错误；
B．＝，是7个，原题说法错误；
C．＝＝，＝＝，＝2÷3；原题说法正确；
D．＝，所以≠，原题说法错误；
故答案为：C
【点睛】掌握分数的意义，带分数、假分数的互化，分数的基本性质以及分数与除法之间的关系是解题的关键。
6．C
【分析】①除2之外，所有的质数都是奇数，因为奇数加奇数等于偶数， 所以除2之外，任意两个质数的和一定是偶数，表述正确；
②一个质数和一个合数不一定是互质数，例如2和4，其中2是质数，4是合数，它们公因数除了1还有2，2和4不是互质数 ，所以一个质数和一个合数一定是互质数，表述不正确；
③假设a和b是相邻的两个连续自然数，且a＞b， 若c为它们的公因数， 则c一定能整除a －b，由于a－b＝1，所以c ＝1，所以两个连续的非零自然数一定是互质数，表述正确；
④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，假设a＝4，b＝2，则a的因数有1，2和4，b的因数有1和2，则a的因数个数一定多于b的因数个数。所以a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数，表述正确。
【详解】根据分析可得①③④正确，所以有3句是正确的。
故答案为：C
【点睛】本题考查因数与倍数、质数与合数、奇数与偶数，解答本题的关键是掌握这些知识点。
7．C
【分析】根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），将、、的分子统一成34，即，根据分数大小比较方法，分子相同看分母，分母小的分数大，可得119＞2A＞102，2A是偶数，102和119之间所有的偶数除以2，是A可以表示的自然数，据此分析。
【详解】根据，可得，所以119＞2A＞102，2A可以是104、106、108、110、112、114、116、118，则A可表示52、53、54、55、56、57、58、59，一共8个不同的自然数。
故答案为：C
【点睛】关键是掌握分数大小比较方法，根据奇数和偶数的运算性质确定2A，再进一步确定A即可。
8．C
【分析】由题意可知，该设定值应是24的因数，又因为不能每次单个打包，也不能一次全部打包，则除去1和24本身两个因数，其它的因数即为设定值。据此解答即可。
【详解】24÷1＝24
24÷2＝12
24÷3＝8
24÷4＝6
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，所以设定值可以是2、3、4、6、8、12共6种。
故答案为：C
【点睛】明确实际考查找一个数的因数的知识是解决本题的关键，其中，要根据实际情况，去除1和24本身两个因数。
9． 立方分米/dm3 毫升/mL
【分析】根据生活经验、对体积单位、容积单位和数据大小的认识可知，
棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，一个粉笔盒的体积约为1立方分米，所以计量冰箱的体积用“立方分米”作单位比较合适；
1毫升液体的体积就是1立方厘米，计量比较少的液体，通常用“毫升”作单位，所以计量一听雪碧的容量用“毫升”作单位比较合适。
【详解】一台冰箱的体积约是500立方分米；
一听雪碧的容量约是330毫升。
10．(1)
(2)男生人数占女生人数的几分之几
【分析】（1）女生占全组人数的分率＝女生人数÷全组人数，结果用最简分数表示；
（2）“13－8”表示音乐小组里的男生人数，“8”表示女生人数，“”可以求出男生人数占女生人数的分率；据此解答。
（1）
8÷13＝
所以，女生人数占全组人数的。
（2）
分析可知，“”这个算式解决的问题是男生人数占女生人数的几分之几。
＝
＝
所以，男生人数占女生人数的。
【点睛】A是B的几分之几的计算方法：A÷B＝，结果化为最简分数。
11．7.2
【分析】已知一根钢材的横截面积是0.36dm2，长是2.5dm，根据长方体的体积公式V＝Sh，求出这根钢材的体积，再乘1dm3的钢材的重量，即可求出这根钢材的重量。
【详解】0.36×2.5＝0.9（dm3）
8×0.9＝7.2（kg）
这根钢材的重量为7.2kg。
【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用。
12．3
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】经分析得：
将21粒分成3份：7，7，7；第一次称重，在天平两边各放7粒，手里留7粒；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的7粒分为2，2，3，在天平两边各放2粒，手里留3粒，
a.如果天平平衡，则次品在手里3粒中。
接下来，将这3粒分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1粒，手里留1粒，称重第三次就可以鉴别出次品。
b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2粒中。
接下来，将天平的两边分别放1粒，称重第三次就可以鉴别出次品。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的7粒中，将这7粒分成三份：2，2，3，在天平两边各放2粒，手里留3粒，
a.如果天平平衡，则次品在手里3粒中。
接下来，将这3粒分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1粒，手里留1粒，称重第三次就可以鉴别出次品。
b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2粒中。
接下来，将天平的两边分别放1粒，称重第三次就可以鉴别出次品。
故至少称3次能就能保证可以找出这一粒。
【点睛】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
13． 2 逆时针 144 5
【分析】台秤的指针指向“2”表示西瓜的质量为2千克；把360度平均分成5份，则每份的度数为360÷5＝72度，再根据旋转的定义，在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，旋转方向和钟表的指针旋转方向相同，叫顺时针旋转，旋转方向和钟表的指针旋转方向相反，叫逆时针旋转；据此可知，若将西瓜拿掉，指针会按逆时针方向旋转72×2＝144度指向“5”。
【详解】360÷5＝72（度）
72×2＝144（度）
则台秤的指针指向“2”表示西瓜的质量是2千克。如果将西瓜拿掉，指针会按逆时针方向旋转144°指向“5”。
14．54
【分析】把一个棱长是3米的正方体木块锯成体积相等的8个小正方体，要沿着长、宽、高各切1次，共3次，增加了6个面；每个面的面积是（3×3）平方米，再乘6即可求出增加的表面积。
【详解】2×3＝6（个）
3×3×6
＝9×6
＝54（平方米）
【点睛】本题考查立体图形的切割，明确切一刀增加2个面，进而得出切3刀增加6个面。
15． 4 20
【分析】观察这个大正方体，如图，只有四个顶点上小正方体3个面会被涂色，所以3个面涂色的小正方体木块有4个；如图，蓝色箭头所指的小正方体2个面会被涂色，共有（2×4）个，红色箭头所指的小正方体2个面也会被涂色，共有（3×4）个，加起来即可计算得出2个面涂色的小正方体共有20个。
【详解】根据分析得，1×4＝4（个）
2×4＋3×4
＝8＋12
＝20（个）
所以3个面涂色的小正方体木块有4个，2个面涂色的有20个。
【点睛】此题的解题关键是抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点。
16．6
【分析】根据题意， 从上面看到的是，可知用5个小正方体要摆成1列，2层，下面一层为3个，其余2个可以在底层3个上面自由摆放，根据这2个的摆放情况确定摆法；据此解答。
【详解】根据分析，当如图，上面2个叠在一起（阴影部分）前后移动时，有3种摆法；
当如图，上面2个并列（阴影部分）前后移动时，有2种摆法；
当如图，上面2个分开摆放时，有1种摆法；
3＋2＋1＝6（种）
所以，一共有6种摆法。
【点睛】此题考查了观察物体的知识，需要学生发挥空间想象能力。
17．√
【分析】一个数能被2整除，这个数就是偶数，即一个数的个位上的数字是0、2、4、6、8的数就是偶数；一个数不能被2整除，这个数就是奇数，即一个数的个位上的数字是1、3、5、7、9的数就是奇数。据此判断即可。
【详解】由分析可知：
自然数中，个位上是1、3、5、7、9的数，都是奇数。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查奇数，明确奇数的定义是解题的关键。
18．×
【分析】体积是指物体所占空间的大小。当把正方体切成两个相同的长方体后，每个长方体的体积是原来正方体体积的一半，两个长方体体积之和与原来正方体的体积相等。
表面积是指物体所有面的面积之和。把一个正方体切成两个相同的长方体，增加了两个切面，这两个切面都是正方形，因此两个长方体表面积之和比原来正方体的表面积多了两个正方形的面积。
【详解】由分析得：
把一个正方体切成两个相同的长方体后，体积不变，表面积增加了，因此题目说法错误。
故答案为：×
19．×
【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的表面积大小是由长、宽、高的数值根据公式求值决定的。假设其中一个长方体的长5厘米、宽1厘米、高1厘米，另一个长方体的长3厘米，宽2厘米，高1厘米，根据长方体的表面积公式，代入数据解答，再比较即可。
【详解】长5厘米、宽1厘米、高1厘米的长方体的表面积是：
（5×1＋5×1＋1×1）×2
＝（5＋5＋1）×2
＝11×2
＝22（平方厘米）
长3厘米，宽2厘米，高1厘米的长方体的表面积是：
（3×2＋3×1＋2×1）×2
＝（6＋3＋2）×2
＝11×2
＝22（平方厘米）
所以两个长方体的表面积相等，它们的长、宽、高也不一定相等。原题干说法错误。
故答案为：×
20．√
【分析】观察图形可知，拿走一个涂色正方体，表面积比原来增加了2个小正方形面，每个正方形的边长相当于涂色正方体的棱长。据此解答。
【详解】根据分析可知，拿走一个涂色正方体后，图形的表面积增加了2个面。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查了正方体的表面积公式的灵活应用，注意挖去之后表面积发生的变化。
21．√
【分析】异分母分数相加减，先通分再计算，结果是约分而来，根据分数的基本性质，将的分子和分母同时乘2，可得，从结果进行倒推，发现分母10的因数只有两个偶数，因为a，b，c代表不同的偶数，不符合题意；
将的分子和分母同时乘4，可得，从结果进行倒推，20的因数可以有3个不同的偶数，再将分子16拆成3个数相加的形式，且能与3个不同的偶数约分成分子是1的分数即可，约分后的三个分数的分母即a、b、c的值，相加即可。
【详解】＝、＝，因为的分母10的因数有1、2、5、10，只有两个偶数，而因为a，b，c代表不同的偶数，不符合题意；
的分母20的因数有1、2、4、5、10、20，20的因数可以有3个不同的偶数，分子16＝1＋5＋10，倒推回去，所以a、b、c分别是20、4、2，20＋4＋2＝26，原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】关键是掌握异分母分数加减法的计算方法，理解约分和通分的含义。
22．√
【分析】对进行画图分析：
从图上可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1。
【详解】由分析可得的结果为，所以可得得到的结果为0。
故答案为：√
【点睛】利用画图的方式，找到其中的规律即可得到答案。
23．0；1；；
；0；；
1；；
【详解】略
24．；；
【分析】，先算减法，再算加法；
，根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算；
，利用加法交换、结合律进行简算。
【详解】
＝
＝
＝
25．×，；×，
×，；×，
【分析】先通分，把异分母分数化为同分母分数，再根据同分母分数的加、减法计算：分母不变，分子相加、减，据此解答。
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
因此计算错误，改正：；计算错误，改正：；计算错误，改正：；计算错误，改正：。
26．（1）见详解
（2）2023；2018
（3）270；220；理由见详解
【分析】（1）根据统计图和统计表提供的数据，把燃油车对应的数据填在统计表中，折线统计图中新能源汽车销售量找到对应年份和数量，在统计图中描点，再连线即可。
（2）分别计算出燃油汽车和新能源汽车销量差，再进行比较，即可解答；
（3）根据折线统计图燃油汽车销量和新能源汽车的销量走势，预测燃油汽车的销量和新能源汽车的销量，围绕节能减排，提高环保意思，营造低碳生活环境回答理由（答案不唯一）。
【详解】（1）如图：
某地区2018年~2023年燃油汽车和新能源汽车的销售量情况统计表。
年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年
燃油汽车/万辆 490 460 450 410 325 300
新能源汽车/万辆 35 63 60 74 121 180
某地区2018年~2023年燃油汽车和新能源汽车的销售量情况统计图。
（2）2018年：490－35＝455（万辆）
2019年：460－63＝397（万辆）
2020年：450－60＝390（万辆）
2021年：410－74＝336（万辆）
2022年：325－121＝204（万辆）
2023年：300－180＝120（万辆）
455＞397＞390＞336＞204＞120；
该地区2023年燃油汽车和新能源汽车的销售量相差最少，2018年相差最多。
（3）预测2024燃油汽车270万辆，新能源汽车销量可能是220万辆；
理由：根据折线统计图可知，低碳减排的新时代，人们环保意识增强，购买汽车时，放弃购买燃油汽车的人越来越多，使燃油汽车的销量逐年下降，新能源汽车的销量逐年上升。
27．（1）287平方分米；（2）10米
【分析】（1）求用布的面积，实际上求长方体的4个侧面和1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，代入数据，即可求出用布的面积。
（2）根据长方体的棱长总和＝（a＋b＋h）×4，把数据代入公式即可解答。
【详解】（1）5×3＋5×17×2＋3×17×2
＝15＋170＋102
＝287（平方分米）
答：共用布287平方分米。
（2）（5＋3＋17）×4
＝25×4
＝100（分米）
100分米＝10米
答：共用花边10米。
【点睛】此题主要考查长方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
28．61人
【分析】根据题意，每行站3人，最后一行少2人，即多1人；每行站4人，最后一行少3人，即多1人；每行站5人，最后一行多1人，即多1人；也就是说参加表演的人数比3、4、5的公倍数还多1人；求参加表演至少的人数，先求出3、4、5的最小公倍数，再加上1即可求解。
【详解】3、4、5的最小公倍数是：3×4×5＝60
60＋1＝61（人）
答：至少有61人参加表演。
29．（1）见详解
（2）连续的；积；和；；；：；；
（3）
【分析】（1）根据埃及分数的定义，即可解答。
（2）通过观察式子可知，分母：2和3，3和4，4和5都是两个连续的自然数；因为2×3＝6，3×4＝12，4×5＝20，所以可以得知两个加数的分母的积是和的分母，因为2＋3＝5，3＋4＝7，4＋5＝9，两个加数的分母的和是和的分子。因为30＝5×6，11＝5＋6，所以；因为42＝6×7，13＝6＋7，所以；因为56＝7×8，15＝7＋8，所以。
（3）先把式子里的真分数写成转化为两个埃及分数的和，再进行计算即可解答。
【详解】
（1）表示；表示。
（2）我发现：上面两个加数的分母是连续的自然数，两个加数的分母的积是和的分母，两个加数的分母的和是和的分子。我还能照样子写出这样的算式：

（3）1－＋－＋－＋
30．杯；杯
【分析】把1个杯子的容量看作单位“1”，平均分成4份，小明先喝了半杯雪碧，也就是喝了2份雪碧，还剩下2份，又用爸爸杯中的啤酒将自己杯子添满，相当于加入了2份啤酒，混合后倒出2份加入到爸爸杯子中，因为现在杯中雪碧和啤酒各占一半，所以倒出的这两份中1份是啤酒，1份是雪碧。两人各自喝完自己杯子中的饮料，小明一共喝了3份雪碧，1份啤酒，爸爸一共喝了3份啤酒，1份雪碧。据此解答。
【详解】根据分析可知，把1个杯子的容量看作单位“1”，平均分成4份，小明一共喝了3份雪碧，也就是杯雪碧；爸爸一共喝了3份啤酒，也就是杯啤酒。
【点睛】本题考查了分数的意义及加减法，分析清楚整个过程是解决本题的关键。
31．（1）2；7；a＝b＝c
（2）6
【分析】（1）把11分解成三个质数相加，11＝2＋2＋7，11＝3＋3＋5，因为7－2＞5－3，则3＋3＋5是11的最优拆分。P（m）＝a－c，则P（11）＝5－3＝2。
若P（n）＝1，即a－c＝1，a和c是连续的质数，符合条件的只有2和3。如b是2，2＋2＋3＝7，7是质数；如b是3，2＋3＋3＝8，8不是质数，不符合题意。所以n＝7。
若P（n）＝0，即a－c＝0，说明a、b、c是相同的质数。
（2）t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，据此可得：8（x＋y）＋10x＋y＝99，则18x＋9y＝99。99是奇数，18x一定是偶数，偶数＋奇数＝奇数，则9y一定是奇数，那么y也一定是奇数。因为1≤x≤y≤9，据此分别把y＝1、3、5、7或9代入方程，求出x的值，再从中找出符合的两位数，可以求出这个两位数是35、27或19。35的最优拆分是11＋11＋13，27的最优拆分是7＋7＋13，19的最优拆分是5＋7＋7，13－11＝2，13－7＝6，7－5＝2，6＞2，则P（t）的最大值是6。
【详解】（1）通过分析可得：11的最优拆分是3＋3＋5，5－3＝2，则P（11）＝2；
若P（n）＝1，即a－c＝1，则n＝2＋2＋3＝7；
若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：a＝b＝c。
（2）根据题意可得：
8（x＋y）＋10x＋y＝99
解：8x＋8y＋10x＋y＝99
18x＋9y＝99
因为1≤x≤y≤9，符合题意的两位数是35、27或19。
35＝11＋11＋13
27＝7＋7＋13
19＝5＋7＋7
13－11＝2
13－7＝6
7－5＝2
6＞2，则P（t）的最大值是6。
【点睛】第二小题中，根据数量关系列出方程，确定y是奇数，从而确定t的值是解题的关键。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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