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贵阳市第九中学2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．我国2024年4月至11月太阳能发电量同比增长速度依次为21.4%，29.1%，18.1%，16.4%，21.7%，12.7%，12.6%，10.3%，则这组数据的75%分位数为（　　）
A．21.55% B．21.65% C．21.4% D．21.7%
3．当a>1时，在同一直角坐标系中，函数与的图像是（　　）
A． B．
C． D．
4． 已知正项等比数列的前项的和为，满足，则公比（　　）
A．1或3 B． C．1或 D．1
5．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则曲线的一条对称轴为（　　）
A． B． C． D．
6．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
7． 已知抛物线的焦点为，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
8．已知函数，则在处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若，则（　　）
A．
B．的虚部为8
C．
D．在复平面内对应的点位于第二象限
10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，则 （　　）
A．f(0)=0 B．当x＜0时，
C．f(x)≥2当且仅当 D．x=-1是f(x)的极大值点
11．椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，则____．
A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为3
C．的最大值为 D．到直线的距离最大值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，若，则　 　．
13．设等差数列的前项和为，若，则　 　.
14．工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有　 　种．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．在中，角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
16．有研究显示，人体内某部位的直径约的结节约有0.2%的可能性会在1年内发展为恶性肿瘤．某医院引进一台检测设备，可以通过无创的血液检测，估计患者体内直径约的结节是否会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在1年内发展为恶性肿瘤．这种检测的准确率为85%，即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阴性．患者甲被检查出体内长了一个直径约的结节，他做了该项无创血液检测．
（1）求患者甲检查结果为阴性的概率；
（2）若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率（结果保留5位小数）；
（3）医院为每位参加该项检查的患者缴纳200元保险费，对于检测结果为阴性，但在1年内发展为恶性肿瘤的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年参加该项检查的患者有1000人，请估计保险公司每年在这个项目上的收益．
17．如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，.
（1）求证平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
18．已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点.
（1）求双曲线的方程.
（2）若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.
19．已知函数.
（1）当时，恒成立，求的取值范围；
（2）设，证明：.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】B,C
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】3
13．【答案】26
14．【答案】48
15．【答案】（1）因为，
由正弦定理可得，
而，
则
即，
因为，所以，因为，所以.
（2）由余弦定理得，
因为，，
所以，所以，
因为，所以，，
所以的面积为.
16．【答案】（1）解：记事件A：直径约的结节在1年内发展为恶性肿瘤，事件B：该项无创血液检测的检查结果为阴性，
由题，，，，，，，则
所以患者甲检查结果为阴性的概率为0.8486．
（2）解：，
．
所以患者甲的检查结果为阴性，他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率为0.00035．
（3）解：记参加该项检查的1000位患者中，获得20万元赔付的有X人，
，则，
记保险公司每年在这个项目上的收益为Y元，
，
则，
所以保险公司每年在这个项目上的收益估计为13万元．
17．【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
则且，
因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，
因为四边形为等腰梯形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
过点作直线的垂线交于点，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为为直径，所以，所以，，，
在等腰梯形中，，，所以，
则，
，，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，即，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，即，
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解： 双曲线 两条渐近线的夹角为，渐近线的斜率或，
即或；
当时，由得：，，双曲线的方程为：；
当时，方程无解；
综上所述：双曲线的方程为：.
（2）解：由得：，
假设存在定点满足题意，则恒成立；
方法一：①当直线斜率存在时，设，，，
由得：，，
，，
，
，
整理可得：，
由得：；
当时，恒成立；
②当直线斜率不存在时，，则，，
当时，，，成立；
综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.
方法二：①当直线斜率为时，，则，，
，，，
，解得：；
②当直线斜率不为时，设，，，
由得：，，
，，
；
当，即时，成立；
综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.
19．【答案】（1）解：当时，等价于，
令，则，
令，则，
当时，单调递增，则，从而在上恒成立，
则在上单调递增，故，则的取值范围为.
（2）证明：令，由（1）可得，在上恒成立，当且仅当时等号成立，
令，则，则，即，
因为，
所以.

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