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贵州省贵阳市第九中学2025学年高一下学期期末模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上.）
1．在复平面内，复数所表示的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量（单位：），将该数据按照，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图．政府要对节约用水的用户予以表彰，制定了一个用水量标准，使表彰的居民不超过15.4%，则以下比较适合作为标准的为（　　）
A．3.2 B．5 C．5.04 D．15.7
3．已知，，若，则实数的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
4．一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（　　）
A．与互斥 B．与对立
C．与相互独立 D．与相互独立
5．设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
6． 某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．下列说法中不正确的是（　　）
A．三棱锥是四面体，正四面体是正三棱锥
B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C．平行的线段在直观图中仍然平行
D．在同一个圆中，圆心和圆上两点可确定一个平面
8．在四边形中，已知，若，则的长度为（　　）
A．4 B． C．5 D．
二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分.）
9．已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，，，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若，，则面积没有最大值
10．在长方体中，点M是棱AD的中点，，点P在侧面的边界及其内部运动，则（　　）
A．直线MP与直线所成角的最大值为90°
B．若，则点P的轨迹为椭圆的一部分
C．不存在点P，使得∥平面
D．若平面与平面ABCD和平面与平面所成的锐二面角相等，则点P的轨迹长度为
三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上.）
11．若复数与都为纯虚数，则　 　.
12．已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为　 　．
13．已知圆柱的底面半径为1，高为4，则它的内接正三棱柱的体积等于　 　.
14．已知的外接圆的半径为1，的平分线交圆于点，.当为　 　时，的面积取最大值.
15．甲和乙两个箱子里各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数不超过2，从甲箱子中摸出1个球；如果点数超过2，从乙箱子中摸出1个球，则摸到红球的概率为　 　．
四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，.
（1）当时，用，表示，；
（2）若，求实数的值；
（3）求的取值范围.
17．在①；②；③设的面积为，且.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.
在中，角，，的对边分别为，，，已知 ，且.
（1）若，求的面积；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
18．为了提高学生安全意识，迪庆州某校利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130.140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．
（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的第80百分位数，并根据频率分布直方图估计乙组20名同学成绩的众数；
（2）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．
19．如图，在直三棱柱中，，D为BC的中点．
（1）证明：平面；
（2）若三棱柱的体积为，且，求直线与平面所成角的正弦值．
五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分.解答应写出文字说明，条理清晰.）
20．已知函数.
（1）判断的奇偶性，并说明理由.
（2）是否存在实数，使得函数的最小值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】A,B
10．【答案】A,C,D
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】（1）解：， .
（2）解：若，则，
因为，，，
则，
所以.
（3）解：由题意可得： ， ，
∵，当时，的最大值为，
当时，最小值为，
所以.
17．【答案】（1）解：若选①，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，
又，
所以，
所以，又由余弦定理得
所以，所以，又，
所以，
所以，所以，
又，，所以，
所以的面积，
若选②，由，
所以，
所以，因为，
所以，
所以，所以，又，
所以，
所以，所以，
又，，所以，
所以的面积，
若选③，因为，又，
所以，又
所以，所以，又，
所以，
所以，所以，
又，，所以，
所以的面积.
，
（2）由（1）可知，，
所以由正弦定理得，
因为为锐角三角形，，
所以，且，
解得，
所以，可得，
所以，
所以的取值范围是.
18．【答案】（1）∵，
∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为，众数为；
（2）甲组20名同学的成绩不低于140分的有2个，
乙组20名同学的成绩不低于140分的有个，
记事件A为“取出的2个成绩不是同一组”，
任意选出2个成绩的所有样本点共个，
其中两个成绩不是同一组的样本点共个，
∴．
19．【答案】（1）证明：连接交于点O，连接OD，如图所示：
因为四边形为矩形，所以O为的中点，
因为D为BC的中点，所以，
因为平面平面，平面，
所以平面；
（2）解：根因为，所以，
则，解得，
因为D为BC的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
则为直线与平面所成角，
在中，，，则．
20．【答案】（1）解：是奇函数
理由如下：的定义域为，
，，
所以是奇函数.
（2）解：设，则，则，
则.
因为在上单调递增，所以，即.
当，即时，在上单调递增，则，
解得，此时不满足，则不符合题意
当，即时，，解得，
又因为，所以，
故存在实数，符合题意.

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