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贵州省遵义市第四中学2024-2025学年高一下学期期末模拟考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．已知集合，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3．已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（　　）
A．众数平均数中位数 B．众数中位数平均数
C．众数平均数中位数 D．中位数平均数众数
6．在直角坐标平面内，的三顶点的坐标分别为，，，则的面积为（　　）
A．120 B．60 C．30 D．15
7．如图，一艘客船在处测得灯塔在它的南偏东方向，测得灯塔在它的南偏东方向.该客船向正东方向行驶后到达处，此时客船测得灯塔在它的南偏西方向，测得灯塔在它的南偏西方向，则灯塔与灯塔之间的距离（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义域为的偶函数为奇函数，当时，，若，则（　　）
A．2 B．0 C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数的共轨复数为，则下列说法正确的是（　　）
A．一定是实数 B．一定是实数
C．定是纯虚数 D．
10．设为随机事件，且，下列说法正确的是（　　）
A．事件相互独立与互斥不可能同时成立
B．若三个事件两两独立，则
C．若事件独立，则
D．若，则
11．已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．在上单调递增
B．的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称
C．若对任意实数都成立，则
D．方程有3个不同的实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知点是角的终边上一点，则　 　．
13．已知直线与函数的图象相邻的三个交点依次为，则　 　.
14．已知向量，，则的最小值是　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量.
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）若与共线，求实数的值.
16．世界杯足球赛备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）估计样本数据的上四分位数（也称第三四分位数，第百分位数）
（2）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，求抽取的人中至少有人的年龄在组的概率.
17．设的内角的对边分别为，且．
（1）求的大小
（2）若，求周长的范围
18．在校园美化 改造活动中，要在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示.取的中点，记.
（1）写出矩形的面积与角的函数关系式；
（2）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积.
（3）设，若，求.
19．已知函数
（1）当时，解关于x的方程
（2）若函数是定义在R上的奇函数，求函数的解析式；
（3）在(2)的前提下，函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】A,B
10．【答案】A,C,D
11．【答案】B,C
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由题意可得，
所以，
所以.
（2）解：由（1）得：，，，
设与所成夹角为，
所以.
（3）解：因为与共线，
所以存在唯一实数，使得，
易知不共线，
所以，所以，故.
16．【答案】（1）
（2）
17．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得且，
则，可得，
即且，所以.
（2）解：由（1）可知：，
由余弦定理可得，
即，整理可得，
又因为，即，
解得，即，当且仅当时，等号成立，
由三角形可知：，即，可得，
所以周长的范围为.
18．【答案】（1）
（2）当时，矩形的面积最大，最大值为
（3）
19．【答案】（1）解：当时，，
即，整理得，
即，得或（舍去）
；
（2）解：因为函数是定义在R上的奇函数，
则且，
，解得，
即，
证明：，
故是定义在R上的奇函数，
（3）解：在(2)的前提下，
整理得，
代入得，
即恒成立，
，
又，
当且仅当，即时等号成立，

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