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2024学年第二学期上海市模拟练习
高三数学 试卷
2025.3
考生注意：
1、本试卷共5页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
2、本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．已知全集，集合，，则 ．
2．已知不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
3．复数满足：的最大值为7，则 ．
4．已知，其中，则 ．
5．已知向量，，其中且，则满足条件：的数对的个数为 ．
6．在平面直角坐标系中，点绕点按顺时针方向旋转，所得点的坐标为 ．
7．若圆台的上下底面半径分别为 、，且，则该圆台内切球的表面积为 ．
8．某工厂生产了一批共2000件产品，其中有300件次品，1700件正品。质量检测部门一次性随机抽取40件产品进行详细检测，设抽取到的次品数量为，则 ．
9．已知数列是公差不为0的等差数列，现从的前（且）项中任取3项，若这3个数能构成等差数列的概率为，则 ．
10．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的离心率为，则的值为 ．
11．已知函数是定义域为的奇函数，函数也是奇函数，则 ．
12．设集合，集合，已知以集合为定义域的函数满足条件：对于任意，若为偶数，则。现将的值域恰好为的概率记为，将“若为奇数”，则“的概率记为”。则 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第13题至第14题选对得4分，第15题至第16题选对得5分，否则一律得零分．
13．设，则关于的不等式有解的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．或
C． D．
14．已知椭圆，直线恒过定点，且与交于、两点，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，下列有两个命题，判断正确的是（ ）
①在比赛结束时，四支球队的积分总和可能为15分；②丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为．
A．①、②均为真命题 B．①为真命题、②为假命题
C．①为假命题、②为真命题 D．①、②均为假命题
16．已知函数及其导函数的定义域均为．设在点处的切线交轴于点。当时，设曲线在点处的切线交轴于点，依此类推，称得到的数列为函数关于的“D数列”。若，记，当构成等比数列时，其公比为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知，且，．
（1）若，求的最值；
（2）对任意，成立，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，四棱锥中，是正三角形，底面是矩形，平面底面，、分别为棱、的中点．
（1）证明：平面；
（2）若二面角为，求直线与底面所成角的正弦值．
19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．
首届奥林匹克电子竞技运动会将于2025年在沙特阿拉伯王国举办．为迎接电子竞技行业这一里程碑式的时刻，甲、乙两俱乐部计划按照现今体育比赛中的赛制举办友谊赛．先有如下两种赛制：一种是局胜制，例如一场比赛有5局，率先胜3局一方获胜，本场比赛结束；另一种是局胜制，例如一场比赛有7局，率先胜4局一方获胜，本场比赛结束．
（1）若采用5局3胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.9．已知甲、乙俱乐部采用这两种赛制各进行了场比赛，试补充完整列联表，并根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲队获胜的场数有影响；
5句3胜 7局4胜
甲胜
乙胜
（2）设甲俱乐部每局比赛获胜的概率均为，且每局比赛都能决出胜负，没有平局：①若两俱乐部采用5局3胜制比赛，记事件：“甲俱乐部只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”，事件：“两俱乐部赛满5局，甲俱乐部至少取得3局比赛胜利且甲获胜”，试证明：；
②若甲、乙两俱乐部创造一种全新的赛制，约定比赛规则为：共进行局，赢得局数大于局的俱乐部获胜．若甲俱乐部每局比赛获胜的概率 ，试判断进行几局比赛时，甲俱乐部获胜的概率最大，并说明理由．
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
附：，其中．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆的离心率为，点在上．
（1）求的方程；
（2）设椭圆．若过的直线交于另一点，交于、两点，且在轴上方．
（i）证明：；
（ii）为坐标原点，为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与相等，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知，若对于给定的及平面上一点，函数的图像上存在与不同的一点，使得直线为函数在点的切线，则称点具有“性质 ”．
（1）判断点是否具有“性质”，并说明理由；
（2）证明：“点具有‘性质’”的充分必要条件是“”；
（3）若对于任意的非零实数，直线上的所有点均具有“性质”，求实数的值．2024学年第二学期上海市模拟练习
高三数学 参考答案
2025.3
考生注意：
1、本试卷共5页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
2、本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．已知全集，集合，，则 ．
【答案】
2．已知不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
【答案】
3．复数满足：的最大值为7，则的最大值为 ．
【答案】12
4．已知，其中，则 ．
【答案】
5．已知向量，，其中且，则满足条件：的数对的个数为 ．
【答案】4
6．在平面直角坐标系中，点绕点按顺时针方向旋转，所得点的坐标为 ．
【答案】
7．若圆台的上下底面半径分别为 、，且，则该圆台内切球的表面积为 ．
【答案】8
8．某工厂生产了一批共2000件产品，其中有300件次品，1700件正品。质量检测部门一次性随机抽取40件产品进行详细检测，设抽取到的次品数量为，则 ．
【答案】6
9．已知数列是公差不为0的等差数列，现从的前（且）项中任取3项，若这3个数能构成等差数列的概率为，则 ．
【答案】17
10．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的离心率为，则的值为 ．
【答案】1
11．已知函数是定义域为的奇函数，函数也是奇函数，则 ．
【答案】
12．设集合，集合，已知以集合为定义域的函数满足条件：对于任意，若为偶数，则。现将的值域恰好为的概率记为，将“若为奇数”，则“的概率记为”。则 ．
【答案】1
【详解】已知集合，对于任意，若为偶数，则。因为两个正整数相加为偶数时，这两个数要么同为奇数，要么同为偶数，所以在所有奇数点上的函数值相等，在所有偶数点上的函数值相等，即的值只由和的值决定。集合，那么有种取值可能，也有种取值可能，根据分步乘法计数原理，函数的所有可能情况有种。
是的值域恰好为的概率。要使的值域恰好为，因为的值由和决定，所以和必须取到中的两个不同元素，且中元素都要被取到。从个元素中选2个进行排列，根据排列数公式，这里为元素总数，，则 种情况。根据古典概型概率公式，可得。
是“若为奇数”，则“”的概率。两个正整数相加为奇数时，这两个数一个为奇数，一个为偶数。“若为奇数”，则“”，即，有种取值可能， 有种取值可能，共种情况。所以。
所以，故。
二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第13题至第14题选对得4分，第15题至第16题选对得5分，否则一律得零分．
13．设，则关于的不等式有解的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】A
14．已知椭圆，直线恒过定点，且与交于、两点，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
15．在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，下列有两个命题，判断正确的是（ ）
①在比赛结束时，四支球队的积分总和可能为15分；②丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为．
A．①、②均为真命题 B．①为真命题、②为假命题
C．①为假命题、②为真命题 D．①、②均为假命题
【答案】A
16．已知函数及其导函数的定义域均为．设在点处的切线交轴于点。当时，设曲线在点处的切线交轴于点，依此类推，称得到的数列为函数关于的“D数列”。若，记，当构成等比数列时，其公比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知，且，．
（1）求的值；
（2）对任意，成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为①，，，，又 ， ②，由①②得，，；
（2）要使，即，所以 ，即．依题意得，所以数的取值范围是．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，四棱锥中，是正三角形，底面是矩形，平面底面，、分别为棱、的中点．
（1）证明：平面；
（2）若二面角为，求直线与底面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）．
【解析】（1）取的中点，连接，又分别为棱的中点，所以且，又底面是矩形，即且，所以且，即为平行四边形，故，由平面，平面，故平面；
（2）记为的中点，作，因为是正三角形，所以，面面，面面，面，所以面，则为直线与底面所成角，易知面，面，则，所以可构建如图示的空间直角坐标系，设，，则，，，，，所以，，，，取，则，若，分别为面、面的一个法向量，则由二面角为，则，所以或，当时，，所以为等边三角形，且，，所以，即，，所以二面角为60，故不合题设，即（经验证满足题设），故.
19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．
首届奥林匹克电子竞技运动会将于2025年在沙特阿拉伯王国举办．为迎接电子竞技行业这一里程碑式的时刻，甲、乙两俱乐部计划按照现今体育比赛中的赛制举办友谊赛．先有如下两种赛制：一种是局胜制，例如一场比赛有5局，率先胜3局一方获胜，本场比赛结束；另一种是局胜制，例如一场比赛有7局，率先胜4局一方获胜，本场比赛结束．
（1）若采用5局3胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.9．已知甲、乙俱乐部采用这两种赛制各进行了场比赛，试补充完整列联表，并根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲队获胜的场数有影响；
5句3胜 7局4胜
甲胜
乙胜
（2）设甲俱乐部每局比赛获胜的概率均为，且每局比赛都能决出胜负，没有平局：①若两俱乐部采用5局3胜制比赛，记事件：“甲俱乐部只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”，事件：“两俱乐部赛满5局，甲俱乐部至少取得3局比赛胜利且甲获胜”，试证明：；
②若甲、乙两俱乐部创造一种全新的赛制，约定比赛规则为：共进行局，赢得局数大于局的俱乐部获胜．若甲俱乐部每局比赛获胜的概率 ，试判断进行几局比赛时，甲俱乐部获胜的概率最大，并说明理由．
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
附：，其中．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆的离心率为，点在上．
（1）求的方程；
（2）设椭圆．若过的直线交于另一点，交于、两点，且在轴上方．
（i）证明：；
（ii）为坐标原点，为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与相等，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）列联表见解析，答案见解析；（2）①证明见解析；②4局．
【解析】（1）依题意，列联表如下：
5局3胜 7局4胜
甲胜
乙胜
，依据小概率值的独立性检验，
当时，，赛制对甲胜场数有影响；
当时，，赛制对甲胜场数没有影响.
（2）①，
，
所以.
②设甲赢得比赛的概率为，设“进行局比赛甲最终获胜”，“第一局甲赢”，“第二局甲赢”，
则有，
而发生及发生意味着前2局比赛甲恰好赢一局，则甲在局比赛最终获胜当且仅当
甲在后续的局比赛中赢的局数要大于，因此，
在发生的条件下，甲已经赢了前2局，
则甲最终获胜当且仅当甲在后续的局比赛中赢的局数要大于或等于，
则；
在发生的条件下，甲输掉前2局，则甲最终获胜当且仅当甲在后续的局
比赛中赢的局数要大于，而这个事件可视为“甲在后续的局比赛中赢的局数大于”
与事件“甲在后续的局比赛中恰好赢局”的差事件，
故，
因此
令，得，则当时，，
所以当，即时，最大．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知，若对于给定的及平面上一点，函数的图像上存在与不同的一点，使得直线为函数在点的切线，则称点具有“性质 ”．
（1）判断点是否具有“性质”，并说明理由；
（2）证明：“点具有‘性质’”的充分必要条件是“”；
（3）若对于任意的非零实数，直线上的所有点均具有“性质”，求实数的值．
【答案】（1）具有，理由见详解；（2）证明见解析；（3）．
【解析】（1）当时，函数，故，
于是过点的切线方程为：，
把点坐标代入上面切线方程，化简得：，
因为恒大于0，故，
所以存在点，故点具有“性质”；
（2）当时，，故，
必要性：，整理得：，
故，整理得：，
特别地，当时，点与点重合，不合题意，故；
充分性：若时，则有解，
即存在点使得直线为函数在点的切线，
即点具有“性质”，
综上，“点具有‘性质’”的充分必要条件是“”；
（3）设，，
故，，
由题意可得：，整理得：，
由于的任意性，不妨取，带入上式，
整理得：，
令，
则函数，除了之外，至少还要有1个根，
，
故，由的任意性，则，
下面对进行检验，
，
故，
故，，故此时存在点满足题意，
若，由三次函数性质，方程对必有解，
综上，，对于任意的非零实数，直线上的所有点均具有“性质”．

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