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(共68张PPT)
第六章　概率
§3　离散型随机变量的均值与方差
3.1　离散型随机变量的均值
学习任务 核心素养
1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．
2．理解离散型随机变量均值的性质．(重点)
3．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值的平均水平，解决一些相关的实际问题．(难点) 1．通过对离散型随机变量均值概念的学习，培养数学抽象素养．
2．求离散型随机变量的均值，培养数学运算素养．
著名经济学家纳什因提出“纳什均衡”而获得诺贝尔经济学奖．在纳什均衡论中有一个有趣的数学问题叫“囚徒困境”．
有两名同案犯，被警方抓获并隔离审讯．如果两人拒不交待，将因证据不足而被无罪释放；如果一方招供一方不招，招供的一方将因有立功表现而只被判3年，不招供的一方则将被判10年；如果双方都招供将各被判5年．请问他们将作何种选择？
必备知识·情境导学探新知
离散型随机变量的均值或数学期望
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称__________________________________为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
EX＝x1 p1＋x2 p2＋…＋xi pi＋…＋xn pn
(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量X 取值的________．
(3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝________．
平均水平
aEX＋b
思考　(1)随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量？
(2)随着样本容量的增加，样本的平均值与总体平均值有什么关系？
[提示]　(1)随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的平均值是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的．
(2)随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均值．
×
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化． (　　)
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同． (　　)
(3)若随机变量X的数学期望EX＝1，则E(2X)＝2． (　　)
(4)若随机变量X的数学期望EX＝1，则E(X＋1)＝2． (　　)
×
√
√
2．随机变量X的分布列如下，则X的均值是(　　)
A．2　 B．2.1
C．2.3 　 D．随m的变化而变化
√
X 1 2 3
P 0.2 0.5 m
3．设X的分布列如下，且Y＝2X＋5，则EY＝________．
X 1 2 3 4
P


关键能力·合作探究释疑难
类型1　求离散型随机变量的均值
【例1】　袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的均值．
[思路点拨]　首先根据取到的两个球的不同情况，确定ξ的取值为0，1，2，3，4，再分别计算概率，即可得到分布列，然后利用均值的公式求解．
ξ 0 1 2 3 4
P
反思领悟　求离散型随机变量的均值的步骤
(1)确定取值：根据随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值．
(2)求概率：求X 取每个值的概率．
(3)写分布列：写出X 的分布列．
(4)求均值：由均值的定义求出EX．
其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．
[跟进训练]
1．袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出黑球不再放回去，直到取出白球为止，求取球次数X的均值．
故X的分布列如下：
所以EX＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3．
X 1 2 3 4 5
P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
类型2　离散型随机变量均值的性质
【例2】　已知随机变量X 的分布列为：
(1)求EX；
(2)若Y＝2X－3，求EY．
X －2 －1 0 1 2
P m
Y －7 －5 －3 －1 1
P
反思领悟　求离散型随机变量均值的解题思路
(1)若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出EX，再利用公式E(aX＋b)＝aEX＋b求EY．
(2)利用X的分布列得到Y的分布列，关键由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得EY．
[跟进训练]
2．已知随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P m
√
法二：因为η＝aξ＋3，所以η的分布列如下：
η －a＋3 3 a＋3
P
类型3　离散型随机变量均值的应用
【例3】　一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：
摸5个球 中彩发放奖品
有5个白球 1顶帽子(价值20元)
恰有4个白球 1张贺卡(价值2元)
恰有3个白球 纪念品(价值0.5元)
其他 同乐一次(无任何奖品)
试计算：(1)摸一次能获得20元奖品的概率．
(2)按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？
[思路点拨]　在一次摸球中，博彩者获得的收入是不确定的，故可将其作为一个随机变量，他能否赚钱，就要看该随机变量的均值是否大于0．
Y －19 －1 0.5 1
P
反思领悟　1．实际问题中的均值问题
均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
2．概率模型的解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
[跟进训练]
3．根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列如下：
试比较甲、乙两射手射击水平的高低．
成绩 8环 9环 10环
P(甲) 0.3 0.1 0.6
P(乙) 0.2 0.5 0.3
[解]　设甲、乙两射手射击一次所得的环数分别为X1，X2，则
EX1＝8×0.3＋9×0.1＋10×0.6＝9.3，
EX2＝8×0.2＋9×0.5＋10×0.3＝9.1．
这就是说射手甲射击所得环数的数学期望比射手乙射击所得环数的数学期望高，从而说明甲的平均射击水平比乙的稍高一点．如果两人进行比赛，甲赢的可能性较大．
学习效果·课堂评估夯基础
√
√
√
X 0 1 2
P
4．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球2次(每次罚球结果互不影响)的得分的均值是________．
1.4　[设得分随机变量为X，依题意X＝0，1，2．
P(X＝0)＝0.3×0.3＝0.09，
P(X＝1)＝0.7×0.3＋0.3×0.7＝0.42，
P(X＝2)＝0.7×0.7＝0.49，
∴EX＝0×0.09＋1×0.42＋2×0.49＝1.4．]
1.4　
5．一名运动员投篮的命中率为0.6，现在他进行投篮训练，若没有投进则继续投篮，若投进则停止，但最多投篮5次，求他投篮次数ξ的均值．
[解]　若该运动员投篮1次，则P(ξ＝1)＝0.6；若投篮2次，则说明他第1次没有投进，而第2次投进，P(ξ＝2)＝0.6×0.4＝0.24；若投篮3次，则说明他前2次没有投进，而第3次投进，P(ξ＝3)＝0.42×0.6；若投篮4次，则说明他前3次没有投进，而第4次投进，P(ξ＝4)＝0.43×0.6；若投篮5次，则说明他前4次没有投进，而第5次投进与否均可，所以概率为P(ξ＝5)＝0.44×1．所以ξ的分布列为
所以投篮次数的均值为Eξ＝1×0.6＋2×0.24＋3×0.096＋4×0.038 4＋5×0.025 6＝1.649 6．
ξ 1 2 3 4 5
P 0.6 0.24 0.096 0.038 4 0.025 6
1．本节课的重点是离散型随机变量的均值的求法，难点是均值的实际应用．
2．根据均值EX的定义可知，随机变量的分布完全确定了它的均值， 两个不同的分布可以有相同的均值．这表明，随机变量的分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值；而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
课时分层作业(四十一)　离散型随机变量的均值
题号
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2．随机变量X的分布列如下表，则EX等于(　　)
√
A．1.5 　 B．1.6
C．1.7 　 D．1.8
A　[由已知得EX＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.6＝1.5．故选A．]
X 0 1 2
P 0.1 0.3 0.6
题号
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3．甲、乙两工人在同样的条件下生产某种产品，日产量相等，每天出废品的情况如下，则有结论(　　)
√
A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些
B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些
C．两人的产品质量一样好
D．无法判断谁的质量好一些
工人 甲 乙
废品数 0 1 2 3 0 1 2 3
概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0
题号
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B　[∵甲的废品数的均值为0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，乙的废品数的均值为0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9．
甲的废品数的均值>乙的废品数的均值，
∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．]
题号
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4．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于(　　)
√
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
A．16 　 B．11
C．2.2 　 D．2.3
A　[由已知得EX＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5EX＋4＝5×2.4＋4＝16．故选A．]
题号
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√
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二、填空题
6．从1，2，3，4，5这5个数字中任取不同的两个数，则这两个数之积的均值为________．
8.5　
题号
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7．李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如表：
请一位同学计算ξ的均值，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，该同学给出了正确答案Eξ＝________．
2　[设P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a，P(ξ＝2)＝b，则2a＋b＝1．
于是，Eξ＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2．]
x 1 2 3
P(ξ＝x) ？ ！ ？
2　
题号
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8．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，Eξ＝________．


题号
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三、解答题
9．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首次到达北门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号通道、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需时间．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的数学期望(均值)．
题号
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ξ 1 3 4 6
P
题号
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10．某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观与内饰的颜色分布如表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 8 12
米色内饰 2 3
题号
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现将这25个汽车模型进行编号．
(1)若小明从25个汽车模型编号中随机选取一个，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为小明取到的模型为米色内饰，求P(B)和P(B|A)，并据此判断事件A和事件B是否独立．
题号
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(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人一次性从25个汽车模型编号中选取两个，给出以下抽奖规则：①选到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色；②按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖项越高；③该抽奖活动的奖金金额为一等奖600元、二等奖300元、三等奖150元．请你分析奖项对应的结果，设X为奖金金额，写出X的分布列，并求出X的数学期望．
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∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色，二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色，三等奖为两个汽车模型仅外观或内饰同色．
X的分布列如表：
X 150 300 600
P
√
题号
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11．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且EY＝34，若X的分布列如表，则m的值为(　　)
X 1 2 3 4
P m n
题号
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ξ 1
P
题号
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13．(多选题)设随机变量ξ的分布列如下表，且Eξ＝1.6，则(　　)
√
A．a＝0.3
B．b＝0.5
C．P(X≤1)＝0.5
D．P(X＞1)＝0.6
√
√
ξ 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
题号
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题号
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14．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
题号
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题号
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14
即X 的分布列为
期望EX＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13．
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06课时分层作业(四十一)
1．A　[EX＝1×．]
2．A　[由已知得EX＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.6＝1.5．故选A．]
3．B　[∵甲的废品数的均值为0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，乙的废品数的均值为0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9．
甲的废品数的均值>乙的废品数的均值，
∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．]
4．A　[由已知得EX＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5EX＋4＝5×2.4＋4＝16．故选A．]
5．B　[依题意，知X的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(X＝2)＝，P(X＝4)＝，P(X＝6)＝，
故EX＝2×．]
6．8．5　[从1，2，3，4，5中任取不同的两个数，其乘积X的值为2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，取每个值的概率都是．
∴EX＝(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)×＝8.5．]
7．2　[设P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a，P(ξ＝2)＝b，则2a＋b＝1．
于是，Eξ＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2．]
8．　[P(ξ＝2)＝．
ξ的所有可能取值为1，2，3，4．
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，∴Eξ＝1×．]
9．解：(1)ξ的所有可能取值为1，3，4，6．
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝6)＝，所以ξ的分布列为
ξ 1 3 4 6
P
(2)由(1)知，Eξ＝1×．
10．解：(1)由题意得，P(B)＝，
P(A)＝，P(AB)＝，
则P(B|A)＝．
∵P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事件A和事件B独立．
(2)记外观与内饰均同色为事件A1，外观与内饰都异色为事件A2，仅外观或仅内饰同色为事件A3，
则P(A1)＝，
P(A2)＝，
P(A3)＝，
∵P(A2)∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色，二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色，三等奖为两个汽车模型仅外观或内饰同色．
X的分布列如表：
X 150 300 600
P
EX＝150×＝271．
11．A　[由Y＝12X＋7得EY＝12EX＋7＝34，从而EX＝，所以EX＝1×，又m＋n＋＝1，联立解得m＝．故选A．]
12．B　[当k＝±2时，直线l的方程为±2x－y＋1＝0，此时d＝：当k＝±时，d＝：当k＝±时，d＝：当k＝0时，d＝1．由等可能事件的概率公式可得ξ的分布列为
ξ 1
P
所以Eξ＝．]
13．ABD　[根据题意，
由此易知，ABD均正确．]
14．解：(1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为
P＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2
＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6．
(2)依题可知， X 的可能取值为0，10，20，30，
P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06．
即X 的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
期望EX＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§3　离散型随机变量的均值与方差
3.1　离散型随机变量的均值
学习任务 核心素养
1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值． 2．理解离散型随机变量均值的性质．(重点) 3．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值的平均水平，解决一些相关的实际问题．(难点) 1．通过对离散型随机变量均值概念的学习，培养数学抽象素养． 2．求离散型随机变量的均值，培养数学运算素养．
著名经济学家纳什因提出“纳什均衡”而获得诺贝尔经济学奖．在纳什均衡论中有一个有趣的数学问题叫“囚徒困境”．
有两名同案犯，被警方抓获并隔离审讯．如果两人拒不交待，将因证据不足而被无罪释放；如果一方招供一方不招，招供的一方将因有立功表现而只被判3年，不招供的一方则将被判10年；如果双方都招供将各被判5年．请问他们将作何种选择？
离散型随机变量的均值或数学期望
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．
(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量X取值的平均水平．
(3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b．
(1)随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量？
(2)随着样本容量的增加，样本的平均值与总体平均值有什么关系？
[提示]　(1)随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的平均值是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的．
(2)随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均值．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化． (　　)
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同． (　　)
(3)若随机变量X的数学期望EX＝1，则E(2X)＝2． (　　)
(4)若随机变量X的数学期望EX＝1，则E(X＋1)＝2． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．随机变量X的分布列如下，则X的均值是(　　)
X 1 2 3
P 0.2 0.5 m
A．2　 B．2.1
C．2.3 　 D．随m的变化而变化
[答案]　B
3．设X的分布列如下，且Y＝2X＋5，则EY＝________．
X 1 2 3 4
P
[答案]　
4．现有A，B，C 3个项目，已知某投资公司投资A项目的概率为，投资B，C项目的概率均为p，且投资这3个项目是相互独立的，记X是该投资公司投资项目的个数，且P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望EX＝________．
　[由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，由于P(X＝0)＝，故(1－p)2＝，∴p＝．
∴P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝1－＝，
∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝．]
类型1　求离散型随机变量的均值
【例1】　袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的均值．
[思路点拨]　首先根据取到的两个球的不同情况，确定ξ的取值为0，1，2，3，4，再分别计算概率，即可得到分布列，然后利用均值的公式求解．
[解]　(1)由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
当ξ＝0时，即取到2个黑球，则P(ξ＝0)＝＝；
当ξ＝1时，即取到1个黑球和1个白球，则P(ξ＝1)＝＝；
当ξ＝2时，即取到1个红球和1个黑球或者取到2个白球，则P(ξ＝2)＝＝；
当ξ＝3时，即取到1个红球和1个白球，则P(ξ＝3)＝＝；
当ξ＝4时，即取到2个红球，则P(ξ＝4)＝＝．
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
(2)均值Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝．
　求离散型随机变量的均值的步骤
(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值．
(2)求概率：求X取每个值的概率．
(3)写分布列：写出X的分布列．
(4)求均值：由均值的定义求出EX．
其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．
[跟进训练]
1．袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出黑球不再放回去，直到取出白球为止，求取球次数X的均值．
[解]　由题意知X的所有可能取值为1，2，3，4，5．
P(X＝1)＝＝0.2；
P(X＝2)＝＝0.2；
P(X＝3)＝＝0.2；
P(X＝4)＝＝0.2；
P(X＝5)＝＝0.2．
故X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
所以EX＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3．
类型2　离散型随机变量均值的性质
【例2】　已知随机变量X的分布列为：
X －2 －1 0 1 2
P m
(1)求EX；
(2)若Y＝2X－3，求EY．
[解]　(1)由随机变量分布列的性质，得＋m＋＝1，解得m＝，所以EX＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－．
(2)法一：由公式E(aX＋b)＝aEX＋b，得
EY＝E(2X－3)＝2EX－3＝2×－3＝－．
法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
所以EY＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－．
[母题探究]
本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且Eξ＝－，求a的值．
[解]　Eξ＝E(aX＋3)＝aEX＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15．
　求离散型随机变量均值的解题思路
(1)若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出EX，再利用公式E(aX＋b)＝aEX＋b求EY．
(2)利用X的分布列得到Y的分布列，关键由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得EY．
[跟进训练]
2．已知随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P m
若η＝aξ＋3，Eη＝，则a＝(　　)
A．1　　　　 B．2　　
C．3　　　　 D．4
B　[由分布列的性质得＋m＝1，所以m＝，所以Eξ＝－1×＋0×＋1×＝－，
法一：Eη＝E(aξ＋3)＝aEξ＋3＝－a＋3＝．
所以a＝2．
法二：因为η＝aξ＋3，所以η的分布列如下：
η －a＋3 3 a＋3
P
Eη＝(－a＋3)×＋3×＋(a＋3)×＝．
所以a＝2．]
类型3　离散型随机变量均值的应用
【例3】　一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：
摸5个球 中彩发放奖品
有5个白球 1顶帽子(价值20元)
恰有4个白球 1张贺卡(价值2元)
恰有3个白球 纪念品(价值0.5元)
其他 同乐一次(无任何奖品)
试计算：(1)摸一次能获得20元奖品的概率．
(2)按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？
[思路点拨]　在一次摸球中，博彩者获得的收入是不确定的，故可将其作为一个随机变量，他能否赚钱，就要看该随机变量的均值是否大于0．
[解]　(1)摸一次能获得20元奖品的概率是P＝＝．
(2)如果把取到的白球作为随机变量X，则P(X＝5)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝，所以博彩者的收入这一随机变量Y(可以为负数)的分布列为：
Y －19 －1 0.5 1
P
所以收入的随机变量Y的均值为EY＝(－19)×＋(－1)×＋0.5×＋1×≈0.431 8．
故这个人可以赚钱，且摸10 000次净收入的均值为4 318元．
　1．实际问题中的均值问题
均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
2．概率模型的解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
[跟进训练]
3．根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列如下：
成绩 8环 9环 10环
P(甲) 0.3 0.1 0.6
P(乙) 0.2 0.5 0.3
试比较甲、乙两射手射击水平的高低．
[解]　设甲、乙两射手射击一次所得的环数分别为X1，X2，则
EX1＝8×0.3＋9×0.1＋10×0.6＝9.3，
EX2＝8×0.2＋9×0.5＋10×0.3＝9.1．
这就是说射手甲射击所得环数的数学期望比射手乙射击所得环数的数学期望高，从而说明甲的平均射击水平比乙的稍高一点．如果两人进行比赛，甲赢的可能性较大．
1．设某试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝(　　)
A．0　　　　 B．　　
C．　　　　 D．
C　[设失败率为p，则成功率为2p，
根据分布列的性质得p＋2p＝1，
即p＝．
∴P(ξ＝0)＝．]
2．(教材P205例3改编)口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为(　　)
A． 　 B．
C．2 　 D．
D　[由题意得，X可能取值为2，3．且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝．
所以EX＝×2＋×3＝．]
3．如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数(AQI)趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
设X是此人停留期间空气质量优良的天数，则X的均值为(　　)
A． 　 B．
C．1 　 D．
B　[离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2．
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝．
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
所以随机变量X的均值为EX＝0×＋1×＋2×＝．]
4．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球2次(每次罚球结果互不影响)的得分的均值是________．
1.4　[设得分随机变量为X，依题意X＝0，1，2．
P(X＝0)＝0.3×0.3＝0.09，
P(X＝1)＝0.7×0.3＋0.3×0.7＝0.42，
P(X＝2)＝0.7×0.7＝0.49，
∴EX＝0×0.09＋1×0.42＋2×0.49＝1.4．]
5．一名运动员投篮的命中率为0.6，现在他进行投篮训练，若没有投进则继续投篮，若投进则停止，但最多投篮5次，求他投篮次数ξ的均值．
[解]　若该运动员投篮1次，则P(ξ＝1)＝0.6；若投篮2次，则说明他第1次没有投进，而第2次投进，P(ξ＝2)＝0.6×0.4＝0.24；若投篮3次，则说明他前2次没有投进，而第3次投进，P(ξ＝3)＝0.42×0.6；若投篮4次，则说明他前3次没有投进，而第4次投进，P(ξ＝4)＝0.43×0.6；若投篮5次，则说明他前4次没有投进，而第5次投进与否均可，所以概率为P(ξ＝5)＝0.44×1．所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P 0.6 0.24 0.096 0.038 4 0.025 6
所以投篮次数的均值为Eξ＝1×0.6＋2×0.24＋3×0.096＋4×0.038 4＋5×0.025 6＝1.649 6．
1．本节课的重点是离散型随机变量的均值的求法，难点是均值的实际应用．
2．根据均值EX的定义可知，随机变量的分布完全确定了它的均值， 两个不同的分布可以有相同的均值．这表明，随机变量的分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值；而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．
课时分层作业(四十一)　离散型随机变量的均值
一、选择题
1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)，则EX＝(　　)
A．2.5　 　　 B．3.5　
C．0.25　 　　 D．2
A　[EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝．]
2．随机变量X的分布列如下表，则EX等于(　　)
X 0 1 2
P 0.1 0.3 0.6
A．1.5 　 B．1.6
C．1.7 　 D．1.8
A　[由已知得EX＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.6＝1.5．故选A．]
3．甲、乙两工人在同样的条件下生产某种产品，日产量相等，每天出废品的情况如下，则有结论(　　)
工人 甲 乙
废品数 0 1 2 3 0 1 2 3
概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0
A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些
B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些
C．两人的产品质量一样好
D．无法判断谁的质量好一些
B　[∵甲的废品数的均值为0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，乙的废品数的均值为0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9．
甲的废品数的均值>乙的废品数的均值，
∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．]
4．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于(　　)
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
A．16 　 B．11
C．2.2 　 D．2.3
A　[由已知得EX＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5EX＋4＝5×2.4＋4＝16．故选A．]
5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望EX为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
B　[依题意，知X的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为＋＝．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(X＝2)＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝6)＝＝，
故EX＝2×＋4×＋6×＝．]
二、填空题
6．从1，2，3，4，5这5个数字中任取不同的两个数，则这两个数之积的均值为________．
8.5　[从1，2，3，4，5中任取不同的两个数，其乘积X的值为2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，取每个值的概率都是．
∴EX＝(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)×＝8.5．]
7．李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如表：
x 1 2 3
P(ξ＝x) ？ ！ ？
请一位同学计算ξ的均值，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，该同学给出了正确答案Eξ＝________．
2　[设P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a，P(ξ＝2)＝b，则2a＋b＝1．
于是，Eξ＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2．]
8．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，Eξ＝________．
　[P(ξ＝2)＝＝．
ξ的所有可能取值为1，2，3，4．
P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝，
∴Eξ＝1×＋2×＋3×＋4×＝＝．]
三、解答题
9．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首次到达北门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号通道、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需时间．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的数学期望(均值)．
[解]　(1)ξ的所有可能取值为1，3，4，6．
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝6)＝，所以ξ的分布列为
ξ 1 3 4 6
P
(2)由(1)知，Eξ＝1×＋3×＋4×＋6×＝．
10．某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观与内饰的颜色分布如表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 8 12
米色内饰 2 3
现将这25个汽车模型进行编号．
(1)若小明从25个汽车模型编号中随机选取一个，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为小明取到的模型为米色内饰，求P(B)和P(B|A)，并据此判断事件A和事件B是否独立．
(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人一次性从25个汽车模型编号中选取两个，给出以下抽奖规则：①选到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色；②按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖项越高；③该抽奖活动的奖金金额为一等奖600元、二等奖300元、三等奖150元．请你分析奖项对应的结果，设X为奖金金额，写出X的分布列，并求出X的数学期望．
[解]　(1)由题意得，P(B)＝＝，
P(A)＝＝，P(AB)＝，
则P(B|A)＝＝＝．
∵P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事件A和事件B独立．
(2)记外观与内饰均同色为事件A1，外观与内饰都异色为事件A2，仅外观或仅内饰同色为事件A3，
则P(A1)＝＝＝，
P(A2)＝
P(A3)＝
∵P(A2)∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色，二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色，三等奖为两个汽车模型仅外观或内饰同色．
X的分布列如表：
X 150 300 600
P
EX＝150×＋300×＋600×＝271．
11．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且EY＝34，若X的分布列如表，则m的值为(　　)
X 1 2 3 4
P m n
A． 　 B．
C． 　 D．
A　[由Y＝12X＋7得EY＝12EX＋7＝34，从而EX＝，所以EX＝1×＋2×m＋3×n＋4×＝，又m＋n＋＝1，联立解得m＝．故选A．]
12．设l为平面上过点(0，1)的直线，l的斜率k等可能地取－2，－，－，0，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离d，则随机变量ξ的数学期望Eξ为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
B　[当k＝±2时，直线l的方程为±2x－y＋1＝0，此时d＝；当k＝±时，d＝；当k＝±时，d＝；当k＝0时，d＝1．由等可能事件的概率公式可得ξ的分布列为
ξ 1
P
所以Eξ＝＋1×＝．]
13．(多选题)设随机变量ξ的分布列如下表，且Eξ＝1.6，则(　　)
ξ 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A．a＝0.3
B．b＝0.5
C．P(X≤1)＝0.5
D．P(X＞1)＝0.6
ABD　[根据题意，
解得
由此易知，ABD均正确．]
14．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
[解]　(1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为P＝P(ABC)＋P()
＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2
＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6．
(2)依题可知，X的可能取值为0，10，20，30，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06．
即X 的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
期望EX＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§3　离散型随机变量的均值与方差
3.1　离散型随机变量的均值
学习任务 核心素养
1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值． 2．理解离散型随机变量均值的性质．(重点) 3．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值的平均水平，解决一些相关的实际问题．(难点) 1．通过对离散型随机变量均值概念的学习，培养数学抽象素养． 2．求离散型随机变量的均值，培养数学运算素养．
著名经济学家纳什因提出“纳什均衡”而获得诺贝尔经济学奖．在纳什均衡论中有一个有趣的数学问题叫“囚徒困境”．
有两名同案犯，被警方抓获并隔离审讯．如果两人拒不交待，将因证据不足而被无罪释放；如果一方招供一方不招，招供的一方将因有立功表现而只被判3年，不招供的一方则将被判10年；如果双方都招供将各被判5年．请问他们将作何种选择？
离散型随机变量的均值或数学期望
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称__________________________________为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．
(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量X取值的________．
(3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝______．
(1)随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量？
(2)随着样本容量的增加，样本的平均值与总体平均值有什么关系？
___________________________________________________________________
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化． (　　)
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同． (　　)
(3)若随机变量X的数学期望EX＝1，则E(2X)＝2． (　　)
(4)若随机变量X的数学期望EX＝1，则E(X＋1)＝2． (　　)
2．随机变量X的分布列如下，则X的均值是(　　)
X 1 2 3
P 0.2 0.5 m
A．2　 B．2.1
C．2.3 　 D．随m的变化而变化
3．设X的分布列如下，且Y＝2X＋5，则EY＝________．
X 1 2 3 4
P
4．现有A，B，C 3个项目，已知某投资公司投资A项目的概率为，投资B，C项目的概率均为p，且投资这3个项目是相互独立的，记X是该投资公司投资项目的个数，且P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望EX＝________．
类型1　求离散型随机变量的均值
【例1】　袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的均值．
[思路点拨]　首先根据取到的两个球的不同情况，确定ξ的取值为0，1，2，3，4，再分别计算概率，即可得到分布列，然后利用均值的公式求解．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　求离散型随机变量的均值的步骤
(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值．
(2)求概率：求X取每个值的概率．
(3)写分布列：写出X的分布列．
(4)求均值：由均值的定义求出EX．
其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．
[跟进训练]
1．袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出黑球不再放回去，直到取出白球为止，求取球次数X的均值．
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类型2　离散型随机变量均值的性质
【例2】　已知随机变量X的分布列为：
X －2 －1 0 1 2
P m
(1)求EX；
(2)若Y＝2X－3，求EY．
[尝试解答]　________________________________________________________
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[母题探究]
本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且Eξ＝－，求a的值．
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　求离散型随机变量均值的解题思路
(1)若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出EX，再利用公式E(aX＋b)＝aEX＋b求EY．
(2)利用X的分布列得到Y的分布列，关键由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得EY．
[跟进训练]
2．已知随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P m
若η＝aξ＋3，Eη＝，则a＝(　　)
A．1　　　　 B．2　　
C．3　　　　 D．4
类型3　离散型随机变量均值的应用
【例3】　一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：
摸5个球 中彩发放奖品
有5个白球 1顶帽子(价值20元)
恰有4个白球 1张贺卡(价值2元)
恰有3个白球 纪念品(价值0.5元)
其他 同乐一次(无任何奖品)
试计算：(1)摸一次能获得20元奖品的概率．
(2)按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？
[思路点拨]　在一次摸球中，博彩者获得的收入是不确定的，故可将其作为一个随机变量，他能否赚钱，就要看该随机变量的均值是否大于0．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　1．实际问题中的均值问题
均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
2．概率模型的解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
[跟进训练]
3．根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列如下：
成绩 8环 9环 10环
P(甲) 0.3 0.1 0.6
P(乙) 0.2 0.5 0.3
试比较甲、乙两射手射击水平的高低．
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1．设某试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝(　　)
A．0　　　　 B．　　
C．　　　　 D．
2．(教材P205例3改编)口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为(　　)
A． 　 B．
C．2 　 D．
3．如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数(AQI)趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
设X是此人停留期间空气质量优良的天数，则X的均值为(　　)
A． 　 B．
C．1 　 D．
4．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球2次(每次罚球结果互不影响)的得分的均值是________．
5．一名运动员投篮的命中率为0.6，现在他进行投篮训练，若没有投进则继续投篮，若投进则停止，但最多投篮5次，求他投篮次数ξ的均值．
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1．本节课的重点是离散型随机变量的均值的求法，难点是均值的实际应用．
2．根据均值EX的定义可知，随机变量的分布完全确定了它的均值， 两个不同的分布可以有相同的均值．这表明，随机变量的分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值；而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(四十一)　离散型随机变量的均值
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共101分
一、选择题
1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)，则EX＝(　　)
A．2.5　 　　 B．3.5　
C．0.25　 　　 D．2
2．随机变量X的分布列如下表，则EX等于(　　)
X 0 1 2
P 0.1 0.3 0.6
A．1.5 　 B．1.6
C．1.7 　 D．1.8
3．甲、乙两工人在同样的条件下生产某种产品，日产量相等，每天出废品的情况如下，则有结论(　　)
工人 甲 乙
废品数 0 1 2 3 0 1 2 3
概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0
A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些
B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些
C．两人的产品质量一样好
D．无法判断谁的质量好一些
4．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于(　　)
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
A．16 　 B．11
C．2.2 　 D．2.3
5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望EX为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
二、填空题
6．从1，2，3，4，5这5个数字中任取不同的两个数，则这两个数之积的均值为________．
7．李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如表：
x 1 2 3
P(ξ＝x) ？ ！ ？
请一位同学计算ξ的均值，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，该同学给出了正确答案Eξ＝________．
8．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，Eξ＝________．
三、解答题
9．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首次到达北门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号通道、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需时间．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的数学期望(均值)．
10．某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观与内饰的颜色分布如表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 8 12
米色内饰 2 3
现将这25个汽车模型进行编号．
(1)若小明从25个汽车模型编号中随机选取一个，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为小明取到的模型为米色内饰，求P(B)和P(B|A)，并据此判断事件A和事件B是否独立．
(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人一次性从25个汽车模型编号中选取两个，给出以下抽奖规则：①选到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色；②按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖项越高；③该抽奖活动的奖金金额为一等奖600元、二等奖300元、三等奖150元．请你分析奖项对应的结果，设X为奖金金额，写出X的分布列，并求出X的数学期望．
11．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且EY＝34，若X的分布列如表，则m的值为(　　)
X 1 2 3 4
P m n
A． 　 B．
C． 　 D．
12．设l为平面上过点(0，1)的直线，l的斜率k等可能地取－2，－，－，0，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离d，则随机变量ξ的数学期望Eξ为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
13．(多选题)设随机变量ξ的分布列如下表，且Eξ＝1.6，则(　　)
ξ 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A．a＝0.3
B．b＝0.5
C．P(X≤1)＝0.5
D．P(X＞1)＝0.6
14．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
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