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(共71张PPT)
第六章　概率
§1　随机事件的条件概率
1.2　乘法公式与事件的独立性
1.3　全概率公式
学习任务 核心素养
1．理解相互独立事件的定义及意义．
2．理解概率的乘法公式与全概率公式．(重点)
3．能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式解题．(难点) 1．通过对相互独立事件的定义的学习，培养数学抽象素养．
2．借助概率的乘法公式与全概率公式的应用，培养数学运算与数学建模素养．
1．若P(B|A)＝P(B)，则事件A发生与否对事件B的发生是否有影响？
2．当事件B发生不影响事件A的概率时，P(AB)等于什么？
必备知识·情境导学探新知
P(B|A)　
P(A)P(B)
P(A1)P(A2)…P(An)



√
√
×
√
2．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标．”事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
√
A　[对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A．]


关键能力·合作探究释疑难
类型1　互斥事件与相互独立事件的判断
【例1】　判断下列各对事件是互斥事件，还是相互独立事件．
(1)运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；
(2)甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；
(3)甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；
(4)甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”．
[思路点拨]　利用独立事件、互斥事件的意义判断．
[解]　(1)甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件；
(2)甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否，对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；
(3)甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件；
(4)甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，也不可能是相互独立事件．
反思领悟　判断两事件相互独立的方法
(1)若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A和B相互独立．
(2)由事件本身的性质直接判定是否相互影响，从而得出事件是否相互独立．
[跟进训练]
1．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
[思路点拨]　(1)先找出第四轮被淘汰的事件，再看它是独立事件还是互斥事件；(2)至多进入第三轮含有第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰三个互斥事件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解．
[跟进训练]
2．设对某目标进行三次相互独立的射击，各次的命中率分别是0.2，0.6，0.3，试求：
(1)在三次射击中恰有一次命中的概率；
(2)在三次射击中至少有一次命中的概率．
类型3　全概率公式的应用
【例3】　【链接教材P192例6】
设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．
[解]　设B＝{从仓库中随机提一台是合格品}，Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1，2，
则有B＝A1B∪A2B，
由题意则P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，
由全概率公式得，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868．
[跟进训练]
3．袋中装有编号为1，2，…，n的n个球，先从袋中任取一个球，如该球不是1号球，就放回袋中，是1号球，就不放回，求第二次取到2号球的概率．
学习效果·课堂评估夯基础
√
2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是(　　)
A．互斥事件
B．对立事件
C．相互独立事件
D．不相互独立事件
√
3．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
√
4．一批种子的发芽率为0.9，如果播种时每次播种两粒种子，则每次有苗的概率是________．
0.99
1．两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响；两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，而相互独立的两个事件可以同时发生．
2．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．
3．利用全概率公式可以将复杂事件的概率转化为简单事件的概率的求和问题，寻找完备事件组是求解的关键．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
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√
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课时分层作业(三十八)　乘法公式与事件的独立性　全概率公式
一、选择题
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是(　　)
A．A与B，A与C均相互独立
B．A与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
A　[由于摸球是有放回地，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故A与B，A与C均相互独立．而A与B，A与C均能同时发生，从而不互斥．]
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3．甲、乙两名射击运动员射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是(　　)
A．0.56 　 B．0.92
C．0.94 　 D．0.96
√
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4．如图，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性是(　　)
A．0.504 　 B．0.994
C．0.496 　 D．0.06
√
B　[系统可靠即A，B，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994．]
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7．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
0.128　
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10．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则(　　)
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
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D　[该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为p甲，
则p甲＝2(1－p2)p1p3＋2p2p1(1－p3)＝2p1(p2＋p3)－4p1p2p3，
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，
则p乙＝2(1－p1)p2p3＋2p1p2(1－p3)＝2p2(p1＋p3)－4p1p2p3，
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙，
则p丙＝2(1－p1)p3p2＋2p1p3(1－p2)＝2p3(p1＋p2)－4p1p2p3，
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则p甲－p乙＝2p1(p2＋p3)－4p1p2p3－[2p2(p1＋p3)－4p1p2p3]＝2(p1－p2)p3<0，
p乙－p丙＝2p2(p1＋p3)－4p1p2p3－[2p3(p1＋p2)－4p1p2p3]＝2(p2－p3)p1<0，
即p甲则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大，选项D判断正确，选项B、C判断错误；
p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关，选项A判断错误．
故选D．]
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12．(多选题)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则(　　)
A．两人都中靶的概率为0.72
B．恰好有一人中靶的概率为0.26
C．两人不都中靶的概率为0.02
D．至少有一人中靶的概率为0.28
√
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14．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．
(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？(lg 2≈0.301 0)
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14课时分层作业(三十八)
1．A　[由于摸球是有放回地，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故A与B，A与C均相互独立．而A与B，A与C均能同时发生，从而不互斥．]
2．D　[由题意，P(A)＝P(B)，
即P(A)P()＝P(B)P()，
则P()＝P()．
又P()＝[P()]2＝，
所以P()＝，
故P(A)＝1－P()＝．]
3．C　[设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，目标被击中即为事件A发生或事件B发生，则P＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝0.8×0.3＋0.2×0.7＋0.8×0.7＝0.94．]
4．B　[系统可靠即A，B，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－(1－0.9)×(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994．]
5．A　[设B＝{该球是红球}，A1＝{球取自甲袋}，A2＝{球取自乙袋}，根据题意，
P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，
则有B＝A1B∪A2B，
由全概率公式得，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝．]
6．(1)　(2)　(3)　(4)　[(1)，(2)，(3)，(4)中的事件依次记为A，B，C，D，
则P(A)＝1－：P(B)＝：P(C)＝1－：P(D)＝．]
7．0．128　[记“该选手回答对第i个问题”为事件Ai(i＝1，2，3，4，5)，且P(Ai)＝0.8．
选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则该选手第二个问题必回答错，第三、第四个问题必回答对，∴所求事件概率P＝P(A3A4)＝P()·P(A3)·P(A4)＝(1－0.8)×0.8×0.8＝0.128．]
8．解：记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D．
由题意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，
由于A＝BD，
根据事件的独立性和互斥性得
P(A)＝P(BD)
＝P(B)＋P()＋P(D)
＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D)
＝．
9．解：设甲、乙、丙被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
(1)∵A，B，C是相互独立事件，
∴三人都被选中的概率为P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝．
(2)三种情形：
①甲未被选中，乙、丙被选中，概率为
P(BC)＝P()P(B)P(C)＝．
②乙未被选中，甲、丙被选中，概率为
P(AC)＝P(A)P()P(C)＝．
③丙未被选中，甲、乙被选中，概率为
P(AB)＝P(A)P(B)P()＝．
以上三种情况是互斥的．
因此，只有两人被选中的概率为P2＝．
10．D　[该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为p甲，
则p甲＝2(1－p2)p1p3＋2p2p1(1－p3)＝2p1(p2＋p3)－4p1p2p3，
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，
则p乙＝2(1－p1)p2p3＋2p1p2(1－p3)＝2p2(p1＋p3)－4p1p2p3，
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙，
则p丙＝2(1－p1)p3p2＋2p1p3(1－p2)＝2p3(p1＋p2)－4p1p2p3，
则p甲－p乙＝2p1(p2＋p3)－4p1p2p3－[2p2(p1＋p3)－4p1p2p3]＝2(p1－p2)p3<0，
p乙－p丙＝2p2(p1＋p3)－4p1p2p3－[2p3(p1＋p2)－4p1p2p3]＝2(p2－p3)p1<0，
即p甲则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大，选项D判断正确，选项B、C判断错误：
p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关，选项A判断错误．
故选D．]
11．C　[∵P(A)＝，P(B)＝，
∴P()＝，P()＝．
又A，B为相互独立事件，
∴P()＝P()P()＝．
∴A，B中至少有一件发生的概率为1－P()＝1－．]
12．AB　[记A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，＝“甲不中靶”，＝“乙不中靶”，则A，B，两两独立．
因为P(A)＝0.8，P(B)＝0.9，
所以P()＝1－0.8＝0.2，P()＝1－0.9＝0.1．
对于选项A：AB＝“两人都中靶”，
P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72，故A正确：
对于选项B：AB＝“恰好有一人中靶”，
P(AB)＝P(A)＋P(B)＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26，故B正确：
对于选项C：“两人不都中靶”与“两人都中靶”是对立事件，
由选项A可知，“两人不都中靶”的概率是1－0.72＝0.28，故C错误：
对于选项D：＝“两人都不中靶”，
P()＝0.2×0.1＝0.02，
因为“至少有一人中靶”与“两人都不中靶”是对立事件，
所以“至少有一人中靶”的概率是1－0.02＝0.98，故D错误．故选AB．]
13．(1)　(2)　[设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，
则P(A)＝，P(B)＝．
因为A，B相互独立，
所以也相互独立，
则P(AB)＝，P()＝P()P()＝，故至少有一项合格的概率为P＝1－P()＝．]
14．解：(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k＝1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为．
∵事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立，
∴敌机未被击中的概率为
P()＝P()·P()·P()·P()·P()＝(1－0.2)5＝．
∴敌机未被击中的概率为．
(2)设至少需要布置n门高炮才能使敌机有0.9以上的概率被击中，由(1)可得敌机被击中的概率为1－，
∴令1－．
两边取常用对数，得n≥≈10.3．
∵n∈N+，∴n＝11．
∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.2　乘法公式与事件的独立性
1.3　全概率公式
学习任务 核心素养
1．理解相互独立事件的定义及意义． 2．理解概率的乘法公式与全概率公式．(重点) 3．能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式解题．(难点) 1．通过对相互独立事件的定义的学习，培养数学抽象素养． 2．借助概率的乘法公式与全概率公式的应用，培养数学运算与数学建模素养．
1．若P(B|A)＝P(B)，则事件A发生与否对事件B的发生是否有影响？
2．当事件B发生不影响事件A的概率时，P(AB)等于什么？
1．概率的乘法公式
当P(A)>0时，P(AB)＝_________·P(A)．
2．相互独立事件的概率
(1)一般地，事件A，B相互独立 P(AB)＝______________．
(2)如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么P(A1A2…An)＝_______________________．
3．相互独立事件的性质
若A与B是相互独立事件，则A与，B与与也相互独立．
若A，B相互独立，则A与也相互独立，为什么？
___________________________________________________________________
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4．全概率公式
(1)全概率公式
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，则对任意一个事件A有
P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)．
*(2)贝叶斯公式
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0，P(Bi)>0(i＝1，2，…，n)，则P(Bi|A)＝．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立． (　　)
(2)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． (　　)
(3)若事件A与相互独立，则A与B不一定相互独立． (　　)
(4)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)． (　　)
2．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标．”事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
3．甲、乙两人投球命中率分别为，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为________．
4．若P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)＝________．
类型1　互斥事件与相互独立事件的判断
【例1】　判断下列各对事件是互斥事件，还是相互独立事件．
(1)运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；
(2)甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；
(3)甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；
(4)甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”．
[思路点拨]　利用独立事件、互斥事件的意义判断．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　判断两事件相互独立的方法
(1)若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A和B相互独立．
(2)由事件本身的性质直接判定是否相互影响，从而得出事件是否相互独立．
[跟进训练]
1．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
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类型2　相互独立事件同时发生的概率
【例2】　某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
[思路点拨]　(1)先找出第四轮被淘汰的事件，再看它是独立事件还是互斥事件；(2)至多进入第三轮含有第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰三个互斥事件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　1．求P(AB)时，要注意事件A，B是否相互独立，求P(A＋B)时，应注意事件A，B是否互斥．对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路：①分类讨论；②转化为求对立事件的概率，利用P()＝1－P(A)来计算．
2．复杂问题可考虑分解为等价的几个事件的概率问题，同时结合对立事件的概率求法进行求解．
[跟进训练]
2．设对某目标进行三次相互独立的射击，各次的命中率分别是0.2，0.6，0.3，试求：
(1)在三次射击中恰有一次命中的概率；
(2)在三次射击中至少有一次命中的概率．
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类型3　全概率公式的应用
【例3】　【链接教材P192例6】
设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　1．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．
2．运用全概率公式的一般步骤如下：
(1)求出样本空间Ω的一个划分B1，B2，…，Bn．
(2)求P(Bi)(i＝1，2，…，n)．
(3)P(A|Bi)(i＝1，2，…，n)．
(4)求目标事件的概率P(A)，P(A)＝P(ABi)＝P(Bi)P(A|Bi)(i＝1，2，…，n)．
[跟进训练]
3．袋中装有编号为1，2，…，n的n个球，先从袋中任取一个球，如该球不是1号球，就放回袋中，是1号球，就不放回，求第二次取到2号球的概率．
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1．若A与B是相互独立事件，则下面不是相互独立的事件是(　　)
A．A与　 B．A与
C．与B 　 D．与
2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是(　　)
A．互斥事件
B．对立事件
C．相互独立事件
D．不相互独立事件
3．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
4．一批种子的发芽率为0.9，如果播种时每次播种两粒种子，则每次有苗的概率是________．
5．(源自人教B版教材)某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．
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1．两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响；两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，而相互独立的两个事件可以同时发生．
2．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．
3．利用全概率公式可以将复杂事件的概率转化为简单事件的概率的求和问题，寻找完备事件组是求解的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.2　乘法公式与事件的独立性
1.3　全概率公式
学习任务 核心素养
1．理解相互独立事件的定义及意义． 2．理解概率的乘法公式与全概率公式．(重点) 3．能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式解题．(难点) 1．通过对相互独立事件的定义的学习，培养数学抽象素养． 2．借助概率的乘法公式与全概率公式的应用，培养数学运算与数学建模素养．
1．若P(B|A)＝P(B)，则事件A发生与否对事件B的发生是否有影响？
2．当事件B发生不影响事件A的概率时，P(AB)等于什么？
1．概率的乘法公式
当P(A)>0时，P(AB)＝P(B|A)·P(A)．
2．相互独立事件的概率
(1)一般地，事件A，B相互独立 P(AB)＝P(A)·P(B)．
(2)如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
3．相互独立事件的性质
若A与B是相互独立事件，则A与，B与与也相互独立．
若A，B相互独立，则A与也相互独立，为什么？
[提示]　∵A，B相互独立，
∴P(B|A)＝P(B)＝，P()＝，
∴P(A∴相互独立．
4．全概率公式
(1)全概率公式
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，则对任意一个事件A有
P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)．
*(2)贝叶斯公式
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0，P(Bi)>0(i＝1，2，…，n)，则P(Bi|A)＝．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立． (　　)
(2)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． (　　)
(3)若事件A与相互独立，则A与B不一定相互独立． (　　)
(4)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标．”事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
A　[对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A．]
3．甲、乙两人投球命中率分别为，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为________．
　[事件“甲投球一次命中”记为A，“乙投球一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则C＝A)P(B)＝＝＝．]
4．若P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)＝________．
　[∵P(A)＝，
∴P()＝，
由全概率公式得P(B)＝P(BA)＋P(B)＝＝．]
类型1　互斥事件与相互独立事件的判断
【例1】　判断下列各对事件是互斥事件，还是相互独立事件．
(1)运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；
(2)甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；
(3)甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；
(4)甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”．
[思路点拨]　利用独立事件、互斥事件的意义判断．
[解]　(1)甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件；
(2)甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否，对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；
(3)甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件；
(4)甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，也不可能是相互独立事件．
　判断两事件相互独立的方法
(1)若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A和B相互独立．
(2)由事件本身的性质直接判定是否相互影响，从而得出事件是否相互独立．
[跟进训练]
1．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
[解]　(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率各为．这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝．由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本事件发生的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝P(A)P(B)成立，从而事件A与B是相互独立的．
类型2　相互独立事件同时发生的概率
【例2】　某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
[思路点拨]　(1)先找出第四轮被淘汰的事件，再看它是独立事件还是互斥事件；(2)至多进入第三轮含有第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰三个互斥事件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解．
[解]　(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i＝1，2，3，4)，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝．“该选手进入第四轮才被淘汰”记为B，P(B)＝P(A1A2A3)＝P(A1)·P(A2)P(A3)P()＝．
(2)法一：“该选手至多进入第三轮考核”记为C，
P(C)＝P()＝P()＋P(A1)P()＋P(A1)P(A2)P()＝．
法二：“该选手进入第四轮没有被淘汰”记为D，
则P(D)＝＝．
而C与B∪D为对立事件，B与D为互斥事件，
∴P(C)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－＝．
　1．求P(AB)时，要注意事件A，B是否相互独立，求P(A＋B)时，应注意事件A，B是否互斥．对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路：①分类讨论；②转化为求对立事件的概率，利用P()＝1－P(A)来计算．
2．复杂问题可考虑分解为等价的几个事件的概率问题，同时结合对立事件的概率求法进行求解．
[跟进训练]
2．设对某目标进行三次相互独立的射击，各次的命中率分别是0.2，0.6，0.3，试求：
(1)在三次射击中恰有一次命中的概率；
(2)在三次射击中至少有一次命中的概率．
[解]　设“第i次射击命中目标”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.3，由题意A1，A2，A3相互独立．
(1)恰有一次命中的概率为P＝P(A1∩)＋P()＋P(∩A3)
＝P(A1)·P()·P()＋P()·P(A2)·P()＋P()·P()·P(A3)
＝0.2×(1－0.6)×(1－0.3)＋(1－0.2)×0.6×(1－0.3)＋(1－0.2)×(1－0.6)×0.3＝0.488．
(2)至少有一次命中的概率为P＝1－P()＝1－(1－0.2)×(1－0.6)×(1－0.3)＝0.776．
类型3　全概率公式的应用
【例3】　【链接教材P192例6】
设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．
[解]　设B＝{从仓库中随机提一台是合格品}，Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1，2，
则有B＝A1B∪A2B，
由题意则P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，
由全概率公式得，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868．
【教材原题·P192例6】
例6　采购员要购买某种电器元件一包(10个)．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品，求采购员随机挑选一包拒绝购买的概率．
[解]　设事件B1表示“取到的是含有4个次品的包”，事件B2表示“取到的是含有1个次品的包”，事件A表示“采购员拒绝购买”．则B1，B2构成样本空间的一个划分，且P(B1)＝，P(B2)＝．又由古典概型计算概率的公式，可知
P(A|B1)＝＝，
P(A|B2)＝＝．
从而由全概率公式，可知
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)
＝
＝．
因此，采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为．
　1．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．
2．运用全概率公式的一般步骤如下：
(1)求出样本空间Ω的一个划分B1，B2，…，Bn．
(2)求P(Bi)(i＝1，2，…，n)．
(3)P(A|Bi)(i＝1，2，…，n)．
(4)求目标事件的概率P(A)，P(A)＝P(ABi)＝P(Bi)P(A|Bi)(i＝1，2，…，n)．
[跟进训练]
3．袋中装有编号为1，2，…，n的n个球，先从袋中任取一个球，如该球不是1号球，就放回袋中，是1号球，就不放回，求第二次取到2号球的概率．
[解]　设事件A为“第一次取到的是1号球”，事件B为“第二次取到的是2号球”，
显然P(A)＝，P()＝，
由全概率公式得，
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()＝＝．
1．若A与B是相互独立事件，则下面不是相互独立的事件是(　　)
A．A与　 B．A与
C．与B 　 D．与
A　[A与是对立事件．]
2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是(　　)
A．互斥事件
B．对立事件
C．相互独立事件
D．不相互独立事件
C　[由已知，有P(A)＝1－＝，P(B)＝1－＝，P(AB)＝，满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，故选C．]
3．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
B　[事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝．
事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．故选B．]
4．一批种子的发芽率为0.9，如果播种时每次播种两粒种子，则每次有苗的概率是________．
0.99　[设一粒种子发芽为事件A，另一粒种子发芽为事件B，则有苗即为事件A发生或事件B发生，则P＝P(AB)＋P(AB)＝0.9×0.1＋0.1×0.9＋0.9×0.9＝0.99．]
5．(源自人教B版教材)某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．
[解]　如果用A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生．则根据已知，有
P(A)＝＝，P()＝1－＝，
而且P(B|A)＝，P(B|)＝．
题目所要求的是P(B)．
由全概率公式可知
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()＝＝．
1．两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响；两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，而相互独立的两个事件可以同时发生．
2．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．
3．利用全概率公式可以将复杂事件的概率转化为简单事件的概率的求和问题，寻找完备事件组是求解的关键．
课时分层作业(三十八)　乘法公式与事件的独立性　全概率公式
一、选择题
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是(　　)
A．A与B，A与C均相互独立
B．A与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
A　[由于摸球是有放回地，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故A与B，A与C均相互独立．而A与B，A与C均能同时发生，从而不互斥．]
2．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)＝(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
D　[由题意，P(A)，
即P(A)P()，
则P()．
又P()]2＝，
所以P()＝，
故P(A)＝1－P()＝．]
3．甲、乙两名射击运动员射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是(　　)
A．0.56 　 B．0.92
C．0.94 　 D．0.96
C　[设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，目标被击中即为事件A发生或事件B发生，则P＝P(AB)＋P(AB)＝0.8×0.3＋0.2×0.7＋0.8×0.7＝0.94．]
4．如图，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性是(　　)
A．0.504 　 B．0.994
C．0.496 　 D．0.06
B　[系统可靠即A，B，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994．]
5．已知甲袋中有6个红球，4个白球；乙袋中有8个红球，6个白球．随机取一个袋子，再从该袋中随机取一个球，则该球是红球的概率是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
A　[设B＝{该球是红球}，A1＝{球取自甲袋}，A2＝{球取自乙袋}，根据题意，
P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，
则有B＝A1B∪A2B，
由全概率公式得，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝＝．]
二、填空题
6．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则
(1)2个球不都是红球的概率是________．
(2)2个球都是红球的概率是________．
(3)至少有1个红球的概率是________．
(4)2个球中恰好有1个红球的概率是________．
(1)　(2)　(3)　(4)　[(1)，(2)，(3)，(4)中的事件依次记为A，B，C，D，
则P(A)＝1－＝；P(B)＝＝；P(C)＝1－＝；P(D)＝＝．]
7．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
0.128　[记“该选手回答对第i个问题”为事件Ai(i＝1，2，3，4，5)，且P(Ai)＝0.8．
选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则该选手第二个问题必回答错，第三、第四个问题必回答对，∴所求事件概率P＝P(A3A4)＝P()·P(A3)·P(A4)＝(1－0.8)×0.8×0.8＝0.128．]
三、解答题
8．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，向乙靶射击两次，每次命中的概率为．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．求该射手恰好命中一次的概率．
[解]　记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D．
由题意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，
由于A＝BD，
根据事件的独立性和互斥性得
P(A)＝P(BD)
＝P(BD)
＝P(B)P()P(D)
＝＝．
9．甲，乙，丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位，其能被选中的概率分别为，且各自能否被选中相互之间没有影响．
(1)求三人都能被选中的概率；
(2)求只有两人被选中的概率．
[解]　设甲、乙、丙被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
(1)∵A，B，C是相互独立事件，
∴三人都被选中的概率为P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝＝．
(2)三种情形：
①甲未被选中，乙、丙被选中，概率为P(BC)＝P()P(B)P(C)＝＝．
②乙未被选中，甲、丙被选中，概率为P(AC)＝P(A)P()P(C)＝＝．
③丙未被选中，甲、乙被选中，概率为P(AB)＝P(A)P(B)P()＝＝．
以上三种情况是互斥的．
因此，只有两人被选中的概率为P2＝＝．
10．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则(　　)
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
D　[该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为p甲，
则p甲＝2(1－p2)p1p3＋2p2p1(1－p3)＝2p1(p2＋p3)－4p1p2p3，
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，
则p乙＝2(1－p1)p2p3＋2p1p2(1－p3)＝2p2(p1＋p3)－4p1p2p3，
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙，
则p丙＝2(1－p1)p3p2＋2p1p3(1－p2)＝2p3(p1＋p2)－4p1p2p3，
则p甲－p乙＝2p1(p2＋p3)－4p1p2p3－[2p2(p1＋p3)－4p1p2p3]＝2(p1－p2)p3<0，
p乙－p丙＝2p2(p1＋p3)－4p1p2p3－[2p3(p1＋p2)－4p1p2p3]＝2(p2－p3)p1<0，
即p甲则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大，选项D判断正确，选项B、C判断错误；
p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关，选项A判断错误．
故选D．]
11．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
C　[∵P(A)＝，P(B)＝，
∴P()＝．
又A，B为相互独立事件，
∴P()＝＝．
∴A，B中至少有一件发生的概率为1－P()＝1－＝．]
12．(多选题)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则(　　)
A．两人都中靶的概率为0.72
B．恰好有一人中靶的概率为0.26
C．两人不都中靶的概率为0.02
D．至少有一人中靶的概率为0.28
AB　[记A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，＝“甲不中靶”，＝“乙不中靶”，则A，B，两两独立．
因为P(A)＝0.8，P(B)＝0.9，
所以P()＝1－0.9＝0.1．
对于选项A：AB＝“两人都中靶”，
P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72，故A正确；
对于选项B：AB＝“恰好有一人中靶”，
P(AB)＝P(A)＋P(B)＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26，故B正确；
对于选项C：“两人不都中靶”与“两人都中靶”是对立事件，
由选项A可知，“两人不都中靶”的概率是1－0.72＝0.28，故C错误；
对于选项D：＝“两人都不中靶”，
P()＝0.2×0.1＝0.02，
因为“至少有一人中靶”与“两人都不中靶”是对立事件，
所以“至少有一人中靶”的概率是1－0.02＝0.98，故D错误．故选AB．]
13．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响，从中任选一名儿童．
(1)这两项均合格的概率是________；
(2)这两项至少有一项合格的概率是________．
(1)　(2)　[设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，
则P(A)＝，P(B)＝．
因为A，B相互独立，
所以也相互独立，
则P(AB)＝P()＝P()P()＝
故至少有一项合格的概率为P＝1－P()＝．]
14．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．
(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？(lg 2≈0.301 0)
[解]　(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k＝1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为．
∵事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立，
∴敌机未被击中的概率为
P()＝P()·P()·P()·P()·P()＝(1－0.2)5＝．
∴敌机未被击中的概率为．
(2)设至少需要布置n门高炮才能使敌机有0.9以上的概率被击中，由(1)可得敌机被击中的概率为1－
∴令1－0.9．
∴．
两边取常用对数，得n≈10.3．
∵n∈N+，∴n＝11．
∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(三十八)　乘法公式与事件的独立性　全概率公式
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共101分
一、选择题
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是(　　)
A．A与B，A与C均相互独立
B．A与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
2．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)＝(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
3．甲、乙两名射击运动员射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是(　　)
A．0.56 　 B．0.92
C．0.94 　 D．0.96
4．如图，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性是(　　)
A．0.504 　 B．0.994
C．0.496 　 D．0.06
5．已知甲袋中有6个红球，4个白球；乙袋中有8个红球，6个白球．随机取一个袋子，再从该袋中随机取一个球，则该球是红球的概率是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
二、填空题
6．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则
(1)2个球不都是红球的概率是________．
(2)2个球都是红球的概率是________．
(3)至少有1个红球的概率是________．
(4)2个球中恰好有1个红球的概率是________．
7．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
三、解答题
8．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，向乙靶射击两次，每次命中的概率为．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．求该射手恰好命中一次的概率．
9．甲，乙，丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位，其能被选中的概率分别为，且各自能否被选中相互之间没有影响．
(1)求三人都能被选中的概率；
(2)求只有两人被选中的概率．
10．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则(　　)
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
11．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
12．(多选题)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则(　　)
A．两人都中靶的概率为0.72
B．恰好有一人中靶的概率为0.26
C．两人不都中靶的概率为0.02
D．至少有一人中靶的概率为0.28
13．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响，从中任选一名儿童．
(1)这两项均合格的概率是________；
(2)这两项至少有一项合格的概率是________．
14．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．
(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？(lg 2≈0.301 0)
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