资源简介 课时分层作业(四十三)1.D [①③符合互斥事件的概念,是互斥事件:②是相互独立事件:④是独立重复试验.]2.A [令事件A发生的概率为P,则1-(1-P)4=,所以P=.]3.D [“一小时内至多有2台机床需要工人照看”的事件包含“有0,1,2台需要照看”三个基本事件,因此,所求概率为×0.20×0.84+×0.21×0.83+×0.22×0.82=0.972 8,或1-(×0.23×0.8+×0.24×0.80)=0.972 8.]4.D [在n次独立重复试验中,事件恰发生k次,符合二项分布,而P(A)=p,则P()=1-p,故P(X=k)=(1-p)kpn-k.]5.C [若4引擎飞机安全飞行,则至少有2台引擎无故障,其概率为p2(1-p)2+p3(1-p)+p4.同理,双引擎飞机安全飞行的概率为p(1-p)+p2.若4引擎飞机更安全,则有p2(1-p)2+p3(1-p)+p4>p(1-p)+p2,解得6.10 [当p=时,P(ξ=k)=,显然当k=10时,P(ξ=k)取最大值.]7. [由题可得一次活动中,甲获胜的概率为:则在3次活动中,甲至少获胜2次的概率为.]8. [由题意知有放回地摸球为独立重复试验,且试验次数为5,这5次中有1次摸得红球.每次摸取红球的概率为,所以S5=3时,概率为.]9.解:每位同学拨打一次电话可看作一次试验,三位同学每人拨打一次可看作3次独立重复试验,接通咨询中心的服务电话可视为咨询成功.故每位同学成功咨询的概率都是.(1)由题意知,成功咨询的人数X是一随机变量,用X~B表示.∴P(X=k)=,k=0,1,2,3.∴X的分布列为X=k 0 1 2 3P(X=k)(2)由(1)知,他们三人中至少有1人成功咨询的概率为P=1-P(X=0)=1-.10.解:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai,Bi,Ci,i=1,2,3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,Ai,Bj,Ck(i,j,k=1,2,3且i,j,k互不相同)相互独立,且P(Ai)=,P(Bj)=,P(Ck)=.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P= P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=6×.(2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η,由已知,η~B,且ξ=3-η,所以P(ξ=0)=P(η=3)=,P(ξ=1)=P(η=2)=·,P(ξ=2)=P(η=1)=··=,P(ξ=3)=P(η=0)=.故ξ的分布列是ξ 0 1 2 3P11.D [由题意,知·,∴,∴k+(k+1)=7,∴k=3.]12.D [所有同学都不能通过测试的概率为(1-p)n,则至少有1位同学能通过测试的概率为1-(1-p)n.]13.AC [由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0,1,且每个数位上的数字再填时互不影响,故以后的5位数中后4位的所有结果有5类:①后4个数位出现4个0,X=0,记其概率为P(X=0)=:②后4个数位出现1个1,X=1,记其概率为P(X=1)=··:③后4个数位出现2个1,X=2,记其概率为P(X=2)=,④后4个数位出现3个1,X=3,记其概率为P(X=3)=,⑤后4个数位出现4个1,X=4,记其概率为P(X=4)=,所以上述事件符合二项分布X~B,选项A正确:又P(X=2)=,选项B错误:∵X~B,∴EX=4×,选项C正确:∵X~B,∴X的方差DX=4×,选项D错误.故选AC.]14.0.6 6 [由题意知,该群体的10位成员使用移动支付的概率分布为二项分布,所以DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4.由P(X=4)得p4(1-p)6所以p>0.5,所以p=0.6,所以EX=10×0.6=6.]15.解:(1)将遇到每个交通岗看作一次试验,遇到红灯的概率都是且每次试验结果相互独立,故X~B,∴X的分布列为P(X=k)=··(k=0,1,2,…,6).∴X的分布列如下:X 0 1 2 3 4 5 6P(2)Y=k(k=0,1,2,…,5)表示前k个路口没有遇上红灯,但在第k+1个路口遇上红灯,其概率为P(Y=k)=·,Y=6表示一路没有遇上红灯,故其概率为P(Y=6)=,所以Y的分布列为Y 0 1 2 3 4 5 6P(3)所求概率为P(X≥1)=1-P(X=0)=1-.21世纪教育网(www.21cnjy.com)§4 二项分布与超几何分布4.1 二项分布学习任务 核心素养1.掌握独立重复试验的概念及意义,理解在n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式.(重点) 2.理解n次独立重复试验的模型,并能用于解一些简单的实际问题.(重点、难点) 3.理解二项分布模型,会判断一个具体问题是否服从二项分布. 1.通过对独立重复试验与二项分布的概念的学习,培养数学抽象素养. 2.借助在n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式与二项分布模型的应用,提升数学运算与数学建模素养.以下四个试验,它们的共同点是什么?(1)抛一枚质地均匀的硬币5次.(2)某位同学玩射击游戏,总共射击10次,每次射中的概率为0.7.(3)小明同学罚球的命中率为0.7,总共罚球4次.(4)口袋有5个白球,4个黑球,有放回地抽4次.1.n重伯努利试验一般地,在相同条件下重复做n次伯努利试验,且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响,称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验.2.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,用X表示这n次试验中成功的次数,且每次成功的概率均为p,则P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.3.二项分布的期望与方差一般地,若随机变量X~B(n,p),则EX=np,DX=np(1-p);特殊地,若随机变量X服从参数为p的两点分布,则EX=p,DX=p(1-p).独立重复试验必须具备哪些条件?[提示] 独立重复试验必须具备以下条件:①每次试验的条件完全相同,有关事件的概率不变.②各次试验结果互不影响,即每次试验相互独立.③每次试验只有两种结果,这两种可能的结果是对立的.1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)掷一枚质地均匀的硬币3次,可看作3重伯努利试验. ( )(2)二项分布是表示n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布. ( )(3)二项分布是一个用公式P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列. ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√2.下列随机变量X不服从二项分布的是( )A.投掷一枚均匀的骰子5次,X表示点数为6出现的次数B.某射手射中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛,X表示甲获胜的次数D.某星期内,每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3,X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数B [选项A,试验出现的结果只有两种:点数为6和点数不为6,且点数为6的概率在每一次试验中都为,每一次试验都是独立的,故随机变量X服从二项分布;选项B,虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种,每一次试验事件相互独立且概率不发生变化,但随机变量的取值不确定,故随机变量X不服从二项分布;选项C,甲、乙的获胜率相等,进行5次比赛,相当于进行了5次独立重复试验,故X服从二项分布;选项D,由二项分布的定义,可知被感染次数X~B(n,0.3).]3.一只蚂蚁位于数轴x=0处,这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度,设它向右移动的概率为,向左移动的概率为,则3秒后,这只蚂蚁在x=1处的概率为________. [由题意知,3秒内蚂蚁向左移动一个单位长度,向右移动两个单位长度,所以蚂蚁在x=1处的概率为=.]类型1 求伯努利试验的概率【例1】 若图书室中只存放技术书和数学书,每名读者借技术书的概率为0.2,借数学书的概率为0.8.有5名读者依次借书,设每人只借一本书,求至多有2人借数学书的概率.[思路点拨] 读者借一本书只有两种结果,每名读者借一本书可以看做是五次相互独立的重复试验,因此可用相互独立的重复试验的概率公式求解.[解] 记“读者借数学书”为事件A,“读者借技术书”为事件因此,每名读者借一本书可看做是五次独立的重复试验,其中)=0.2,故所求的概率为×0.82×0.23=0.057 92.即至多有2人借数学书的概率为0.057 92. 1.伯努利试验有以下两个特点:(1)对立性,即一次试验中,事件发生与否二者必居其一;(2)重复性,即试验是独立重复地进行了n次.2.在伯努利试验中,事件A发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).[跟进训练]1.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人,且各人之间互不影响,有下列结论:①3位病人都被治愈的概率为0.93;②3人中的甲被治愈的概率为0.9;③3人中恰好有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1;④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12;⑤3人中恰好有2人被治愈,且甲被治愈的概率是0.92×0.1.其中正确结论的序号是________.(把正确的序号都填上)①②④ [①中为3次独立重复试验恰有3次发生的概率,其概率为0.93,故①正确;由独立重复试验中事件A发生的概率相同,知②正确;③中恰有2人被治愈的概率为P(X=2)=p2(1-p)=3×0.92×0.1,从而③错误;④中恰好有2人未被治愈相当于恰好1人被治愈,故概率为=3×0.9×0.12,从而④正确.⑤中恰有2人被治愈且甲被治愈,可分为甲、乙被治愈,丙未被治愈或甲、丙被治愈,乙未被治愈,其概率为0.9×0.9×0.1+0.9×0.1×0.9=2×0.92×0.1,从而⑤错误.]类型2 二项分布及其应用【例2】 某射手每次射击击中目标的概率是0.8,现在连续射击4次,求击中目标的次数X的分布列.[思路点拨] 本题是一个独立重复试验问题,其击中目标的次数X服从二项分布,可直接由二项分布得出.[解] 在重复射击中,击中目标的次数X服从二项分布,X~B(n,p).由已知,n=4,p=0.8,P(X=k)=,k=0,1,2,3,4.∴P(X=0)=·0.80·(0.2)4=0.001 6,P(X=1)=·0.81·(0.2)3=0.025 6,P(X=2)=·0.82·(0.2)2=0.153 6,P(X=3)=·0.83·(0.2)1=0.409 6,P(X=4)=·0.84·(0.2)0=0.409 6.∴X的分布列为X 0 1 2 3 4P 0.001 6 0.025 6 0.153 6 0.409 6 0.409 6 1.利用二项分布解题的关键在于建立二项分布的模型,也就是看它是否为n次独立重复试验,随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布,否则就不服从二项分布.2.在解题时,要注意概率的加法公式、乘法公式、以及“正难则反”策略(利用对立事件求概率)的灵活运用.[跟进训练]2.学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外其他完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中①摸出3个白球的概率;②获奖的概率;(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列.[解] (1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i=0,1,2,3),则P(A3)==.②设“在1次游戏中获奖”为事件B,则B=A2∪A3,又P(A2)==,且A2,A3互斥,所以P(B)=P(A2)+P(A3)==.(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以X的分布列是X 0 1 2P类型3 二项分布的期望与方差【例3】 某人每次投篮时投中的概率都是.若投篮10次,求他投中的次数ξ的均值和方差.[解] 因为ξ~B,所以Eξ=10×=5.Dξ=10×=. 由于两点分布、二项分布的方差已有现成的计算公式,所以在计算服从这些常见分布的随机变量的方差时,既可以利用定义进行计算,也可以代入它们的计算公式直接求解,很显然后一种方法不但计算量小而且准确率高.使用后一种方法的前提是必须判断出随机变量服从这些常见的分布.[跟进训练]3.为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设ξ为成活沙柳的株数,均值Eξ=3,标准差=.(1)求n和p的值,并写出ξ的分布列;(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.[解] 由题意知,ξ~B(n,p),P(ξ=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,…,n.(1)由Eξ=np=3,Dξ=np(1-p)=,得1-p=,从而n=6,p=.ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 5 6P(2)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(ξ≤3)==,所以需要补种沙柳的概率为.1.设随机变量X~B,则P(X=3)=( )A. B. C. D.A [由X~B,得P(X=3)==.]2.某运动员投篮命中率为0.6,他重复投篮5次,若他命中一次得10分,没命中不得分.设命中次数为X,得分为Y,则EX,DY分别为( )A.0.6,60 B.3,12C.3,120 D.3,1.2C [根据题意知X~B(5,0.6),根据二项分布的均值与方差公式,则EX=5×0.6=3,DY=D(10X)=102DX=100×5×0.6(1-0.6)=120.故选C.]3.箱子里有5个黄球,4个白球,每次随机取出1个球,若取出黄球,则放回箱中重新取球,若取出白球,则停止取球,那么在4次取球之后停止取球的概率为( )A. B.C. D.B [取球次数X是一个随机变量,X=4表明前3次取出的球都是黄球,第4次取出白球.这4次取球,取得黄球的概率相等,且每次取球是相互独立的,所以这是独立重复试验.设A表示“取出的1个球是白球”,则P(A)==,P()]3·P(A)=.]4.甲、乙两人进行围棋比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则结束比赛,假定甲每局比赛获胜的概率为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为________. [因为甲以3∶1获胜,所以共下四局,则前3局中甲胜了2次,第四局甲胜,所以P==.]5.(源自人教B版教材)已知一批产品的次品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取50次,用X表示抽到的次品数.(1)求DX;(2)假设抽出的产品需要专门检测,检测费用Y元与次品数X有关,且Y=10X+300,求DY.[解] (1)因为X服从的是二项分布,即X~B(50,0.02),所以DX=50×0.02×(1-0.02)=0.98.(2)由Y=10X+300可知,DY=D(10X+300)=102DX=100×0.98=98.1.凡是所涉及的n次试验相互独立,每次试验只有两个相互对立的结果A和,且在每次试验中,A发生的概率相同,则n次试验中A发生的次数X就服从二项分布.2.凡是服从二项分布的随机变量一定只能取有限个值,否则,随机变量不服从二项分布.3.凡服从二项分布的随机变量在表示n次试验中某事件发生的次数时,此事件在每次试验中发生的概率相等,否则随机变量不服从二项分布.课时分层作业(四十三) 二项分布一、选择题1.下列事件:①运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”;②甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”;③甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”;④在相同的条件下,甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是( )A.① B.② C.③ D.④D [①③符合互斥事件的概念,是互斥事件;②是相互独立事件;④是独立重复试验.]2.在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则事件A在1次试验中出现的概率为( )A. B.C. D.以上全不对A [令事件A发生的概率为P,则1-(1-P)4=,所以P=.]3.一台X型号的自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8,现有4台这种型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是( )A.0.153 6 B.0.180 8C.0.563 2 D.0.972 8D [“一小时内至多有2台机床需要工人照看”的事件包含“有0,1,2台需要照看”三个基本事件,因此,所求概率为×0.22×0.82=0.972 8,或1-(×0.24×0.80)=0.972 8.]4.某一试验中事件A发生的概率为p,则在n次这样的试验中,发生k次的概率为( )A.1-pk B.(1-p)kpn-k D.(1-p)kpn-kD [在n次独立重复试验中,事件)=1-p,故P(X=k)=(1-p)kpn-k.]5.假设每架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1-p,且各引擎是否有故障是独立的,如有至少50%的引擎能正常运行,飞机就可以成功飞行.若使4引擎飞机比双引擎飞机更为安全,则p的取值范围是( )A. B.C. D.C [若4引擎飞机安全飞行,则至少有2台引擎无故障,其概率为p2(1-p)2+p3(1-p)+p4.同理,双引擎飞机安全飞行的概率为p(1-p)+p2.若4引擎飞机更安全,则有p2(1-p)2+p3(1-p)+p(1-p)+p2,解得二、填空题6.如果ξ~B(20,p),当p=且P(ξ=k)取得最大值时,k=________.10 [当p=时,P(ξ=k)=显然当k=10时,P(ξ=k)取最大值.]7.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语,若一方猜对且另一方猜错,则猜对的一方获胜,否则本次平局,已知每次活动中,甲、乙猜对的概率分别为和,且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响,各次活动也互不影响,则一次活动中,甲获胜的概率为________,3次活动中,甲至少获胜2次的概率为________. [由题可得一次活动中,甲获胜的概率为=;则在3次活动中,甲至少获胜2次的概率为=.]8.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义an=如果Sn为{an}的前n项和,那么S5=3的概率为________. [由题意知有放回地摸球为独立重复试验,且试验次数为5,这5次中有1次摸得红球.每次摸取红球的概率为,所以S5=3时,概率为=.]三、解答题9.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为,某班3名同学商定明天分别就同一问题通过电话询问该服务中心,且每人只拨打一次.(1)求他们三人中成功咨询的人数X的分布列;(2)求他们三人中至少1人成功咨询的概率.[解] 每位同学拨打一次电话可看作一次试验,三位同学每人拨打一次可看作3次独立重复试验,接通咨询中心的服务电话可视为咨询成功.故每位同学成功咨询的概率都是.(1)由题意知,成功咨询的人数X是一随机变量,用X~B表示.∴P(X=k)=,k=0,1,2,3.∴X的分布列为X=k 0 1 2 3P(X=k)(2)由(1)知,他们三人中至少有1人成功咨询的概率为P=1-P(X=0)=1-=.10.某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求ξ的分布列.[解] 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai,Bi,Ci,i=1,2,3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,Ai,Bj,Ck(i,j,k=1,2,3且i,j,k互不相同)相互独立,且P(Ai)=,P(Bj)=,P(Ck)=.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=6×=.(2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η,由已知,η~B,且ξ=3-η,所以P(ξ=0)=P(η=3)==,P(ξ=1)=P(η=2)==,P(ξ=2)=P(η=1)==,P(ξ=3)=P(η=0)==.故ξ的分布列是ξ 0 1 2 3P11.将一枚硬币连掷7次,如果出现k次正面向上的概率等于出现k+1次正面向上的概率,那么k的值为( )A.0 B.1C.2 D.3D [由题意,知∴∴k+(k+1)=7,∴k=3.]12.有n位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都是p(0A.(1-p)n B.1-pnC.pn D.1-(1-p)nD [所有同学都不能通过测试的概率为(1-p)n,则至少有1位同学能通过测试的概率为1-(1-p)n.]13.(多选题)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各位数中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时( )A.P(X=1)= B.P(X=2)=C.X的期望EX= D.X的方差DX=AC [由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0,1,且每个数位上的数字再填时互不影响,故以后的5位数中后4位的所有结果有5类:①后4个数位出现4个0,X=0,记其概率为P(X=0)==;②后4个数位出现1个1,X=1,记其概率为P(X=1)==;③后4个数位出现2个1,X=2,记其概率为P(X=2)==,④后4个数位出现3个1,X=3,记其概率为P(X=3)==,⑤后4个数位出现4个1,X=4,记其概率为P(X=4)==,所以上述事件符合二项分布X~B,选项A正确;又P(X=2)==,选项B错误;∵X~B,∴EX=4×=,选项C正确;∵X~B,∴X的方差DX=4×=,选项D错误.故选AC.]14.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)0.6 6 [由题意知,该群体的10位成员使用移动支付的概率分布为二项分布,所以DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4.由P(X=4)得p6(1-p)4,即(1-p)2所以p>0.5,所以p=0.6,所以EX=10×0.6=6.]15.一名学生骑自行车上学,从他到学校的途中有6个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.(1)设X为这名学生在途中遇到的红灯次数,求X的分布列;(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y的分布列;(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.[解] (1)将遇到每个交通岗看作一次试验,遇到红灯的概率都是且每次试验结果相互独立,故X~B,∴X的分布列为P(X=k)=(k=0,1,2,…,6).∴X的分布列如下:X 0 1 2 3 4 5 6P(2)Y=k(k=0,1,2,…,5)表示前k个路口没有遇上红灯,但在第k+1个路口遇上红灯,其概率为P(Y=k)=,Y=6表示一路没有遇上红灯,故其概率为P(Y=6)=,所以Y的分布列为Y 0 1 2 3 4 5 6P(3)所求概率为P(X≥1)=1-P(X=0)=1-=.21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共62张PPT)第六章 概率§4 二项分布与超几何分布4.1 二项分布学习任务 核心素养1.掌握独立重复试验的概念及意义,理解在n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式.(重点)2.理解n次独立重复试验的模型,并能用于解一些简单的实际问题.(重点、难点)3.理解二项分布模型,会判断一个具体问题是否服从二项分布. 1.通过对独立重复试验与二项分布的概念的学习,培养数学抽象素养.2.借助在n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式与二项分布模型的应用,提升数学运算与数学建模素养.以下四个试验,它们的共同点是什么?(1)抛一枚质地均匀的硬币5次.(2)某位同学玩射击游戏,总共射击10次,每次射中的概率为0.7.(3)小明同学罚球的命中率为0.7,总共罚球4次.(4)口袋有5个白球,4个黑球,有放回地抽4次.必备知识·情境导学探新知1.n重伯努利试验一般地,在_____条件下重复做n次伯努利试验,且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响,称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验.相同2.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,用X表示这n次试验中成功的次数,且每次成功的概率均为p,则P(X=k)=______________(k=0,1,2,…,n).此时称随机变量X服从二项分布,记作X~_________,并称p为_________.3.二项分布的期望与方差一般地,若随机变量X~B(n,p),则EX=___,DX=__________;特殊地,若随机变量X服从参数为p的两点分布,则EX=p,DX=_________.B(n,p)成功概率npnp(1-p)p(1-p)思考 独立重复试验必须具备哪些条件?[提示] 独立重复试验必须具备以下条件:①每次试验的条件完全相同,有关事件的概率不变.②各次试验结果互不影响,即每次试验相互独立.③每次试验只有两种结果,这两种可能的结果是对立的.√√√2.下列随机变量X不服从二项分布的是( )A.投掷一枚均匀的骰子5次,X表示点数为6出现的次数B.某射手射中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛,X表示甲获胜的次数D.某星期内,每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3,X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数√ 关键能力·合作探究释疑难类型1 求伯努利试验的概率【例1】 若图书室中只存放技术书和数学书,每名读者借技术书的概率为0.2,借数学书的概率为0.8.有5名读者依次借书,设每人只借一本书,求至多有2人借数学书的概率.[思路点拨] 读者借一本书只有两种结果,每名读者借一本书可以看做是五次相互独立的重复试验,因此可用相互独立的重复试验的概率公式求解.[跟进训练]1.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人,且各人之间互不影响,有下列结论:①3位病人都被治愈的概率为0.93;②3人中的甲被治愈的概率为0.9;③3人中恰好有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1;④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12;⑤3人中恰好有2人被治愈,且甲被治愈的概率是0.92×0.1.其中正确结论的序号是________.(把正确的序号都填上)①②④类型2 二项分布及其应用【例2】 某射手每次射击击中目标的概率是0.8,现在连续射击4次,求击中目标的次数X的分布列.[思路点拨] 本题是一个独立重复试验问题,其击中目标的次数X服从二项分布,可直接由二项分布得出.∴X的分布列为X 0 1 2 3 4P 0.001 6 0.025 6 0.153 6 0.409 6 0.409 6反思领悟 1.利用二项分布解题的关键在于建立二项分布的模型,也就是看它是否为n次独立重复试验,随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布,否则就不服从二项分布.2.在解题时,要注意概率的加法公式、乘法公式、以及“正难则反”策略(利用对立事件求概率)的灵活运用.[跟进训练]2.学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外其他完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中①摸出3个白球的概率;②获奖的概率;(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列.X 0 1 2P反思领悟 由于两点分布、二项分布的方差已有现成的计算公式,所以在计算服从这些常见分布的随机变量的方差时,既可以利用定义进行计算,也可以代入它们的计算公式直接求解,很显然后一种方法不但计算量小而且准确率高.使用后一种方法的前提是必须判断出随机变量服从这些常见的分布.ξ 0 1 2 3 4 5 6P学习效果·课堂评估夯基础√2.某运动员投篮命中率为0.6,他重复投篮5次,若他命中一次得10分,没命中不得分.设命中次数为X,得分为Y,则EX,DY分别为( )A.0.6,60 B.3,12C.3,120 D.3,1.2√C [根据题意知X~B(5,0.6),根据二项分布的均值与方差公式,则EX=5×0.6=3,DY=D(10X)=102DX=100×5×0.6(1-0.6)=120.故选C.]√ 5.(源自人教B版教材)已知一批产品的次品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取50次,用X表示抽到的次品数.(1)求DX;(2)假设抽出的产品需要专门检测,检测费用Y元与次品数X有关,且Y=10X+300,求DY.[解] (1)因为X服从的是二项分布,即X~B(50,0.02),所以DX=50×0.02×(1-0.02)=0.98.(2)由Y=10X+300可知,DY=D(10X+300)=102DX=100×0.98=98.章末综合测评(一) 动量守恒定律题号13524687910111213√1415课时分层作业(四十三) 二项分布一、选择题1.下列事件:①运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”;②甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”;③甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”;④在相同的条件下,甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是( )A.① B.② C.③ D.④D [①③符合互斥事件的概念,是互斥事件;②是相互独立事件;④是独立重复试验.]题号135246879101112131415题号213456879101112131415√题号2134568791011121314153.一台X型号的自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8,现有4台这种型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是( )A.0.153 6 B.0.180 8C.0.563 2 D.0.972 8√题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号21345687910111213141510题号213456879101112131415 题号213456879101112131415 题号213456879101112131415题号213456879101112131415∴X的分布列为题号213456879101112131415X=k 0 1 2 3P(X=k)题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415ξ 0 1 2 3P√题号21345687910111213141511.将一枚硬币连掷7次,如果出现k次正面向上的概率等于出现k+1次正面向上的概率,那么k的值为( )A.0 B.1C.2 D.3题号21345687910111213141512.有n位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都是p(0A.(1-p)n B.1-pnC.pn D.1-(1-p)n√D [所有同学都不能通过测试的概率为(1-p)n,则至少有1位同学能通过测试的概率为1-(1-p)n.]题号213456879101112131415√√题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号21345687910111213141514.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)0.6 6 题号213456879101112131415题号213456879101112131415X 0 1 2 3 4 5 6P题号213456879101112131415Y 0 1 2 3 4 5 6P§4 二项分布与超几何分布4.1 二项分布学习任务 核心素养1.掌握独立重复试验的概念及意义,理解在n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式.(重点) 2.理解n次独立重复试验的模型,并能用于解一些简单的实际问题.(重点、难点) 3.理解二项分布模型,会判断一个具体问题是否服从二项分布. 1.通过对独立重复试验与二项分布的概念的学习,培养数学抽象素养. 2.借助在n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式与二项分布模型的应用,提升数学运算与数学建模素养.以下四个试验,它们的共同点是什么?(1)抛一枚质地均匀的硬币5次.(2)某位同学玩射击游戏,总共射击10次,每次射中的概率为0.7.(3)小明同学罚球的命中率为0.7,总共罚球4次.(4)口袋有5个白球,4个黑球,有放回地抽4次.1.n重伯努利试验一般地,在____条件下重复做n次伯努利试验,且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响,称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验.2.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,用X表示这n次试验中成功的次数,且每次成功的概率均为p,则P(X=k)=______________(k=0,1,2,…,n).此时称随机变量X服从二项分布,记作X~_________,并称p为________.3.二项分布的期望与方差一般地,若随机变量X~B(n,p),则EX=__,DX=__________;特殊地,若随机变量X服从参数为p的两点分布,则EX=p,DX=_________.独立重复试验必须具备哪些条件?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)掷一枚质地均匀的硬币3次,可看作3重伯努利试验. ( )(2)二项分布是表示n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布. ( )(3)二项分布是一个用公式P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列. ( )2.下列随机变量X不服从二项分布的是( )A.投掷一枚均匀的骰子5次,X表示点数为6出现的次数B.某射手射中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛,X表示甲获胜的次数D.某星期内,每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3,X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数3.一只蚂蚁位于数轴x=0处,这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度,设它向右移动的概率为,向左移动的概率为,则3秒后,这只蚂蚁在x=1处的概率为________.类型1 求伯努利试验的概率【例1】 若图书室中只存放技术书和数学书,每名读者借技术书的概率为0.2,借数学书的概率为0.8.有5名读者依次借书,设每人只借一本书,求至多有2人借数学书的概率.[思路点拨] 读者借一本书只有两种结果,每名读者借一本书可以看做是五次相互独立的重复试验,因此可用相互独立的重复试验的概率公式求解.[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1.伯努利试验有以下两个特点:(1)对立性,即一次试验中,事件发生与否二者必居其一;(2)重复性,即试验是独立重复地进行了n次.2.在伯努利试验中,事件A发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).[跟进训练]1.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人,且各人之间互不影响,有下列结论:①3位病人都被治愈的概率为0.93;②3人中的甲被治愈的概率为0.9;③3人中恰好有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1;④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12;⑤3人中恰好有2人被治愈,且甲被治愈的概率是0.92×0.1.其中正确结论的序号是________.(把正确的序号都填上)类型2 二项分布及其应用【例2】 某射手每次射击击中目标的概率是0.8,现在连续射击4次,求击中目标的次数X的分布列.[思路点拨] 本题是一个独立重复试验问题,其击中目标的次数X服从二项分布,可直接由二项分布得出.[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1.利用二项分布解题的关键在于建立二项分布的模型,也就是看它是否为n次独立重复试验,随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布,否则就不服从二项分布.2.在解题时,要注意概率的加法公式、乘法公式、以及“正难则反”策略(利用对立事件求概率)的灵活运用.[跟进训练]2.学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外其他完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中①摸出3个白球的概率;②获奖的概率;(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3 二项分布的期望与方差【例3】 某人每次投篮时投中的概率都是.若投篮10次,求他投中的次数ξ的均值和方差.[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 由于两点分布、二项分布的方差已有现成的计算公式,所以在计算服从这些常见分布的随机变量的方差时,既可以利用定义进行计算,也可以代入它们的计算公式直接求解,很显然后一种方法不但计算量小而且准确率高.使用后一种方法的前提是必须判断出随机变量服从这些常见的分布.[跟进训练]3.为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设ξ为成活沙柳的株数,均值Eξ=3,标准差=.(1)求n和p的值,并写出ξ的分布列;(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.设随机变量X~B,则P(X=3)=( )A. B. C. D.2.某运动员投篮命中率为0.6,他重复投篮5次,若他命中一次得10分,没命中不得分.设命中次数为X,得分为Y,则EX,DY分别为( )A.0.6,60 B.3,12C.3,120 D.3,1.23.箱子里有5个黄球,4个白球,每次随机取出1个球,若取出黄球,则放回箱中重新取球,若取出白球,则停止取球,那么在4次取球之后停止取球的概率为( )A. B.C. D.4.甲、乙两人进行围棋比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则结束比赛,假定甲每局比赛获胜的概率为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为________.5.(源自人教B版教材)已知一批产品的次品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取50次,用X表示抽到的次品数.(1)求DX;(2)假设抽出的产品需要专门检测,检测费用Y元与次品数X有关,且Y=10X+300,求DY._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.凡是所涉及的n次试验相互独立,每次试验只有两个相互对立的结果A和,且在每次试验中,A发生的概率相同,则n次试验中A发生的次数X就服从二项分布.2.凡是服从二项分布的随机变量一定只能取有限个值,否则,随机变量不服从二项分布.3.凡服从二项分布的随机变量在表示n次试验中某事件发生的次数时,此事件在每次试验中发生的概率相等,否则随机变量不服从二项分布.21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(四十三) 二项分布说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共106分一、选择题1.下列事件:①运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”;②甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”;③甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”;④在相同的条件下,甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是( )A.① B.② C.③ D.④2.在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则事件A在1次试验中出现的概率为( )A. B.C. D.以上全不对3.一台X型号的自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8,现有4台这种型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是( )A.0.153 6 B.0.180 8C.0.563 2 D.0.972 84.某一试验中事件A发生的概率为p,则在n次这样的试验中,发生k次的概率为( )A.1-pk B.(1-p)kpn-k D.(1-p)kpn-k5.假设每架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1-p,且各引擎是否有故障是独立的,如有至少50%的引擎能正常运行,飞机就可以成功飞行.若使4引擎飞机比双引擎飞机更为安全,则p的取值范围是( )A. B.C. D.二、填空题6.如果ξ~B(20,p),当p=且P(ξ=k)取得最大值时,k=________.7.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语,若一方猜对且另一方猜错,则猜对的一方获胜,否则本次平局,已知每次活动中,甲、乙猜对的概率分别为和,且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响,各次活动也互不影响,则一次活动中,甲获胜的概率为________,3次活动中,甲至少获胜2次的概率为________.8.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义an=如果Sn为{an}的前n项和,那么S5=3的概率为________.三、解答题9.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为,某班3名同学商定明天分别就同一问题通过电话询问该服务中心,且每人只拨打一次.(1)求他们三人中成功咨询的人数X的分布列;(2)求他们三人中至少1人成功咨询的概率.10.某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求ξ的分布列.11.将一枚硬币连掷7次,如果出现k次正面向上的概率等于出现k+1次正面向上的概率,那么k的值为( )A.0 B.1C.2 D.312.有n位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都是p(0A.(1-p)n B.1-pnC.pn D.1-(1-p)n13.(多选题)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各位数中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时( )A.P(X=1)= B.P(X=2)=C.X的期望EX= D.X的方差DX=14.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)15.一名学生骑自行车上学,从他到学校的途中有6个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.(1)设X为这名学生在途中遇到的红灯次数,求X的分布列;(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y的分布列;(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 北师大版高中数学选择性必修第一册第六章概率4.1二项分布学案(学生用).docx 北师大版高中数学选择性必修第一册第六章概率4.1二项分布学案(教师用).docx 北师大版高中数学选择性必修第一册第六章概率4.1二项分布课件.ppt 北师大版高中数学选择性必修第一册课时分层作业43二项分布(学生用).docx 课时分层作业43答案.docx