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课时分层作业(二十)　从平面向量到空间向量　空间向量的运算(一)
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．在空间中，下列结论正确的是(　　)
A．＝　　　　 B．＝
C．＝ 　 　 D．＝
2．给出下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为(　　)
A．2　　　　 B．3　　
C．4 　　　　 D．5
3．下列等式中，正确的个数为(　　)
①－(－a)＝a；②a＋0＝a；③a＋(－a)＝0；④0－a＝－a．
A．1　　 　 B．2　　
C．3　　 　 D．4
4．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　)
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量
5．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＝，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 　 　 B．空间四边形
C．等腰梯形 　 D．矩形
二、填空题
6．()＋运算的结果是________．
7．已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，则下列四式中正确的序号是________．
①＝；②＝；
③＝；④＝．
8．给出下列几个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|．
其中正确命题的序号为________．
三、解答题
9．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
(1)若A，B，C，D四点在一条直线上，则与共线；
(2)互为相反向量的向量的模相等；
(3)任一向量与它的相反向量不相等．
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，化简向量表达式：
(1)；
(2)．
11．已知正方体ABCD-A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有(　　)
①与是一对相反向量；
②与是一对相反向量；
③与是一对相反向量；
④与是一对相反向量．
A．1个 　 B．2个
C．3个 　 D．4个
12．已知向量满足||＝||＋||，则(　　)
A．＝　　　 B．＝－
C．与同向　　　 D．与同向
13．(多选题)下列说法中，正确的是(　　)
A．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝
B．＝的充要条件是A与C重合，B与D重合
C．若＝－，且为非零向量，则互为相反向量
D．若互为相反向量，则＝－
14．已知|a|＝|b|＝1．
(1)|a＋b|的取值范围是________．
(2)若|a－b|＝，则|a＋b|＝________．
15．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量．
(1)．
(2)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§2　空间向量与向量运算
2.1　从平面向量到空间向量
2.2　空间向量的运算(一)
学习任务 核心素养
1．了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．(重点) 2．掌握空间向量的加法、减法运算．(重点、难点) 1．通过对空间向量的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助对空间向量的加法、减法的学习，提升数学运算与直观想象素养．
1．空间中任意两个向量是共面向量吗？任意三个向量呢？
2．上面的结论，对你学习空间向量有什么启发？
1．空间向量
(1)定义：在空间中，把具有____和____的量叫作空间向量．
(2)长度：向量的____叫作向量的长度或__．
(3)表示法
用________表示，___叫作向量的起点，___叫作向量的终点，也可记作a，其模记为或|a|．
(4)特殊向量
(5)共线向量：当表示向量的两条有向线段所在的直线__________时，称这两个向量互为共线向量(或平行向量)．
规定：零向量与任意向量平行．
1．向量与向量的长度和方向之间有什么关系？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2．共面向量
(1)共面向量的概念
平行于同一平面的向量，叫作共面向量．
(2)三个向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
3．空间向量的加减法与运算律
空间向量的运算 加法 ＝＝a＋b
减法 ＝
空间向量的加 法的运算律 (1)交换律：a＋b＝____； (2)结合律：(a＋b)＋c＝___________
2．空间向量的减法是否也有交换律与结合律？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同． (　　)
(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不共线． (　　)
(3)在空间中，任意两个向量都共面． (　　)
(4)＝． (　　)
2．两个空间向量a，b互为相反向量，已知|b|＝2，则下列结论不正确的是(　　)
A．b＝－a　　 B．|a|＝2
C．a与b方向相反 　 D．a＋b＝0
3．在空间四边形OABC中，＝(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
4．如图所示，在以长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，单位向量共有________个，模为的向量共有________个．
类型1　空间向量的有关概念
【例1】　如图所示，在正六棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′中，
(1)与相等的向量有哪些？
(2)与是相反向量吗？
(3)与平行的向量有多少个？
[思路点拨]　根据正六棱柱的结构特征，分析各线段的相互关系，从而得到向量之间的关系．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．
(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．
(3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量．
[跟进训练]
给出下列命题：
①零向量没有确定的方向；
②在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝－；
③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；
④在四边形ABCD中，必有＝．
其中正确命题的序号是________．
类型2　空间向量的加减运算
【例2】　【链接教材P101例1】如图所示，已知长方体ABCD-A′B′C′D′．化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．
(1)；
(2)．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
[母题探究]
1．在本例的条件下，下列各式运算结果为的是(　　)
①；②；
③；④．
A．①② 　 B．②③
C．③④ 　 D．①④
2．在本例的条件下，用向量表示向量．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
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　1．向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”．
2．灵活应用相反向量可使向量的减法转化为加法．
类型3　空间向量加、减运算的应用
【例3】　在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，求证：＝．
[尝试解答]　________________________________________________________
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[母题探究]
本例的逆命题是否成立？若成立，给出证明，若不成立，举出反例．
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　求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的运算法则，并注意向量的起点和终点．
(1)当向量首尾相连求和时，用三角形法则，当两向量起点相同求和时，用平行四边形法则．
(2)求两向量的差时，常考虑：
①通过相反向量，把向量减法转化为加法；②通过平移向量，使两向量起点相同，再运用减法的三角形法则．
1．若空间向量a与b不相等，则a与b一定(　　)
A．有不同的方向　　　　 B．有不相等的模
C．不可能是平行向量　　 D．不可能都是零向量
2．在空间中，把单位向量的始点放置于同一点，则终点构成的图形是(　　)
A．点　　　　 B．直线　
C．圆　　　　 D．球面
3．在空间四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A．a－b＋c 　 B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c 　 D．b－a＋c
4．化简()－()＝________．
5．如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
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1．空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．
2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．
3．向量三角不等式
(1)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|左侧等号成立的条件是：a，b至少有一个为零向量或a与b反向；右侧等号成立的条件是a，b至少有一个为零向量或a与b同向．
(2)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|
左侧等号成立的条件与(1)式中右侧等号成立的条件相同，右侧等号成立的条件与(1)式中左侧等号成立的条件相同．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§2　空间向量与向量运算
2.1　从平面向量到空间向量
2.2　空间向量的运算(一)
学习任务 核心素养
1．了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．(重点) 2．掌握空间向量的加法、减法运算．(重点、难点) 1．通过对空间向量的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助对空间向量的加法、减法的学习，提升数学运算与直观想象素养．
1．空间中任意两个向量是共面向量吗？任意三个向量呢？
2．上面的结论，对你学习空间向量有什么启发？
1．空间向量
(1)定义：在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量．
(2)长度：向量的大小叫作向量的长度或模．
(3)表示法
用有向线段表示，点A叫作向量的起点，点B叫作向量的终点，也可记作a，其模记为或|a|．
(4)特殊向量
(5)共线向量：当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量(或平行向量)．
规定：零向量与任意向量平行．
1．向量与向量的长度和方向之间有什么关系？
[提示]　向量与向量长度相等，但方向相反，即＝－．
2．共面向量
(1)共面向量的概念
平行于同一平面的向量，叫作共面向量．
(2)三个向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
3．空间向量的加减法与运算律
空间向量的运算 加法 ＝＝a＋b
减法 ＝
空间向量的加 法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
2．空间向量的减法是否也有交换律与结合律？
[提示]　没有．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同． (　　)
(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不共线． (　　)
(3)在空间中，任意两个向量都共面． (　　)
(4)＝． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．两个空间向量a，b互为相反向量，已知|b|＝2，则下列结论不正确的是(　　)
A．b＝－a　　 B．|a|＝2
C．a与b方向相反 　 D．a＋b＝0
D　[a＋b等于0，而不是0．]
3．在空间四边形OABC中，＝(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
C　[＝＝．]
4．如图所示，在以长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，单位向量共有________个，模为的向量共有________个．
8　8　[由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．
由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，共8个．]
类型1　空间向量的有关概念
【例1】　如图所示，在正六棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′中，
(1)与相等的向量有哪些？
(2)与是相反向量吗？
(3)与平行的向量有多少个？
[思路点拨]　根据正六棱柱的结构特征，分析各线段的相互关系，从而得到向量之间的关系．
[解]　(1)．(2)是．(3)11个．
　特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．
(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．
(3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量．
[跟进训练]
给出下列命题：
①零向量没有确定的方向；
②在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝－；
③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；
④在四边形ABCD中，必有＝．
其中正确命题的序号是________．
①②　[①正确；②正确，因为与的大小相等方向相反，即互为相反向量，所以＝－；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有＝．
综上可知，正确命题为①②．故填①②．]
类型2　空间向量的加减运算
【例2】　【链接教材P101例1】如图所示，已知长方体ABCD-A′B′C′D′．化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．
(1)；
(2)．
[解]　(1)＝＝＝＝．
(2)＝()＋＝＝．
向量如图所示．
[母题探究]
1．在本例的条件下，下列各式运算结果为的是(　　)
①；②；
③；④．
A．①② 　 B．②③
C．③④ 　 D．①④
A　[①＝＝；
②＝＝；
③＝＝＝≠；
④＝＝≠．故选A．]
2．在本例的条件下，用向量表示向量．
[解]　在平行四边形ACC′A′中，由平行四边形法则可得＝，在平行四边形ABCD中，由平行四边形法则可得＝，故＝．
【教材原题·P101例1】
例1　如图3－16(1)，已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量．
　
图3－16
(1)；
(2)；
(3))．
[解]　(1)＝
＝＝；
(2)＝
＝
＝＝；
(3)设点M为CB′的中点，则
)
＝)
＝＝．
化简后所对应的向量如图3－16(2)．
　1．向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”．
2．灵活应用相反向量可使向量的减法转化为加法．
类型3　空间向量加、减运算的应用
【例3】　在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，求证：＝．
[证明]　法一：因为底面ABCD是平行四边形，
所以＝，又＝＝，
所以＝，所以＝．
法二：设点E是平行四边形ABCD对角线的交点(图略)，
则点E分别是对角线AC，BD的中点，
所以＝2＝2，
所以＝．
[母题探究]
本例的逆命题是否成立？若成立，给出证明，若不成立，举出反例．
[证明]　成立，证明如下：
由＝，得＝，
所以＝，所以底面ABCD是平行四边形．
　求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的运算法则，并注意向量的起点和终点．
(1)当向量首尾相连求和时，用三角形法则，当两向量起点相同求和时，用平行四边形法则．
(2)求两向量的差时，常考虑：
①通过相反向量，把向量减法转化为加法；②通过平移向量，使两向量起点相同，再运用减法的三角形法则．
1．若空间向量a与b不相等，则a与b一定(　　)
A．有不同的方向　　　　 B．有不相等的模
C．不可能是平行向量　　 D．不可能都是零向量
D　[若a＝0，b＝0，则a＝b，这与已知矛盾，故选D．]
2．在空间中，把单位向量的始点放置于同一点，则终点构成的图形是(　　)
A．点　　　　 B．直线　
C．圆　　　　 D．球面
D　[由于单位向量的模为单位长度，由球面的定义知：应选D．]
3．在空间四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A．a－b＋c 　 B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c 　 D．b－a＋c
A　[＝＝－b＋a＋c＝a－b＋c．]
4．化简()－()＝________．
0　[法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算)
()－()＝
＝
＝＝0．
法二：(利用向量的减法运算法则求解)
()－()
＝()＋
＝＝＝0．]
5．如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
[解]　(1)＝．
(2)＝＝．
(3)＝＝．
(4)＝0．
1．空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．
2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．
3．向量三角不等式
(1)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|左侧等号成立的条件是：a，b至少有一个为零向量或a与b反向；右侧等号成立的条件是a，b至少有一个为零向量或a与b同向．
(2)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|
左侧等号成立的条件与(1)式中右侧等号成立的条件相同，右侧等号成立的条件与(1)式中左侧等号成立的条件相同．
课时分层作业(二十)　从平面向量到空间向量　空间向量的运算(一)
一、选择题
1．在空间中，下列结论正确的是(　　)
A．＝　　　　 B．＝
C．＝ 　 　 D．＝
B　[根据空间向量的加减运算可得B正确．]
2．给出下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为(　　)
A．2　　　　 B．3　　
C．4 　　　　 D．5
C　[①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向不确定；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．故假命题的个数为4．]
3．下列等式中，正确的个数为(　　)
①－(－a)＝a；②a＋0＝a；③a＋(－a)＝0；④0－a＝－a．
A．1　　 　 B．2　　
C．3　　 　 D．4
D　[根据相反向量的概念知①②③④正确，所以正确的个数为4．故选D．]
4．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　)
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量
A　[∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，
∴2a－b与a，b共面．]
5．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＝，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 　 　 B．空间四边形
C．等腰梯形 　 D．矩形
A　[由于＝＝，所以＝，从而||＝||，且AB∥DC，
所以四边形ABCD是平行四边形．]
二、填空题
6．()＋运算的结果是________．
　[()＋＝()＋＝＝．]
7．已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，则下列四式中正确的序号是________．
①＝；②＝；
③＝；④＝．
①②③　[＝＝，①正确；
＝＝，②正确；
③显然正确；＝＝，④错误．]
8．给出下列几个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|．
其中正确命题的序号为________．
③　[对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；对于②，若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．]
三、解答题
9．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
(1)若A，B，C，D四点在一条直线上，则与共线；
(2)互为相反向量的向量的模相等；
(3)任一向量与它的相反向量不相等．
[解]　(1)正确．因为A，B，C，D四点在一条直线上，所以与一定共线．
(2)正确．相反向量的模相等，但方向是相反的．
(3)不正确．零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的．
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，化简向量表达式：
(1)；
(2)．
[解]　(1)＝＝0．
(2)因为＝＝－＝－，
所以原式＝＝0．
11．已知正方体ABCD-A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有(　　)
①与是一对相反向量；
②与是一对相反向量；
③与是一对相反向量；
④与是一对相反向量．
A．1个 　 B．2个
C．3个 　 D．4个
C　[如图所示，①＝－＝－，所以＝－是一对相反向量；
②＝＝，而＝，故不是相反向量；
③同①也是正确的；
④＝＝＝－是一对相反向量．]
12．已知向量满足||＝||＋||，则(　　)
A．＝　　　 B．＝－
C．与同向　　　 D．与同向
D　[由||＝||＋||＝||＋||知，A，B，C三点共线且C点在线段AB上，所以与同向．]
13．(多选题)下列说法中，正确的是(　　)
A．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝
B．＝的充要条件是A与C重合，B与D重合
C．若＝－，且为非零向量，则互为相反向量
D．若互为相反向量，则＝－
ACD　[A正确．B错误，由＝，知||＝||，且与同向，但A与C，B与D不一定重合．C正确，＝－，且为非零向量，所以互为相反向量．D正确．]
14．已知|a|＝|b|＝1．
(1)|a＋b|的取值范围是________．
(2)若|a－b|＝，则|a＋b|＝________．
(1)　(2)1　[(1)|a＋b|∈．
(2)∵|a－b|2＋|a＋b|2＝2|a|2＋2|b|2＝4，
∴|a＋b|＝1．]
15．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量．
(1)．
(2)．
[解]　(1)如图所示，＝＝＝．
(2)如图所示，＝＝＝＝．
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第三章　空间向量与立体几何
§2　空间向量与向量运算
2.1　从平面向量到空间向量
2.2　空间向量的运算(一)
学习任务 核心素养
1．了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．(重点)
2．掌握空间向量的加法、减法运算．(重点、难点) 1．通过对空间向量的概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助对空间向量的加法、减法的学习，提升数学运算与直观想象素养．
1．空间中任意两个向量是共面向量吗？任意三个向量呢？
2．上面的结论，对你学习空间向量有什么启发？
必备知识·情境导学探新知
大小
方向　
大小
模　
点A　
点B　
(4)特殊向量
平行或重合
2．共面向量
(1)共面向量的概念
平行于同一平面的向量，叫作共面向量．
(2)三个向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
3．空间向量的加减法与运算律
空间向
量的运算 加法
减法
空间向量的加
法的运算律 (1)交换律：a＋b＝______；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝___________

b＋a　
a＋(b＋c)
思考　2．空间向量的减法是否也有交换律与结合律？
[提示]　没有．
√
√
√
×
2．两个空间向量a，b互为相反向量，已知|b|＝2，则下列结论不正确的是(　　)
A．b＝－a　　 B．|a|＝2
C．a与b方向相反 　 D．a＋b＝0
√
D　[a＋b等于0，而不是0．]
√
8　
8　
关键能力·合作探究释疑难
[思路点拨]　根据正六棱柱的结构特征，分析各线段的相互关系，从而得到向量之间的关系．
反思领悟　特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．
(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．
(3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量．
①②
√
图3－16
反思领悟　1．向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”．
2．灵活应用相反向量可使向量的减法转化为加法．
[母题探究]
本例的逆命题是否成立？若成立，给出证明，若不成立，举出反例．
反思领悟　求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的运算法则，并注意向量的起点和终点．
(1)当向量首尾相连求和时，用三角形法则，当两向量起点相同求和时，用平行四边形法则．
(2)求两向量的差时，常考虑：
①通过相反向量，把向量减法转化为加法；②通过平移向量，使两向量起点相同，再运用减法的三角形法则．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．若空间向量a与b不相等，则a与b一定(　　)
A．有不同的方向　　　　 B．有不相等的模
C．不可能是平行向量　　 D．不可能都是零向量
D　[若a＝0，b＝0，则a＝b，这与已知矛盾，故选D．]
2．在空间中，把单位向量的始点放置于同一点，则终点构成的图形是(　　)
A．点　　　　 B．直线　
C．圆　　　　 D．球面
√
D　[由于单位向量的模为单位长度，由球面的定义知：应选D．]
√
0　
1．空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．
2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．
3．向量三角不等式
(1)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|左侧等号成立的条件是：a，b至少有一个为零向量或a与b反向；右侧等号成立的条件是a，b至少有一个为零向量或a与b同向．
(2)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|
左侧等号成立的条件与(1)式中右侧等号成立的条件相同，右侧等号成立的条件与(1)式中左侧等号成立的条件相同．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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2
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8
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13
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14
15
课时分层作业(二十)　从平面向量到空间向量　
空间向量的运算(一)
B　[根据空间向量的加减运算可得B正确．]
题号
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题号
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15
C　[①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向不确定；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．故假命题的个数为4．]
题号
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3．下列等式中，正确的个数为(　　)
①－(－a)＝a；②a＋0＝a；③a＋(－a)＝0；④0－a＝－a．
A．1　　 　 B．2　　
C．3　　 　 D．4
√
D　[根据相反向量的概念知①②③④正确，所以正确的个数为4．故选D．]
题号
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4．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　)
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量
√
A　[∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，
∴2a－b与a，b共面．]
题号
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①②③　
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8．给出下列几个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|．
其中正确命题的序号为________．
③　[对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；对于②，若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．]
③　
题号
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15课时分层作业(二十)
1．B　[根据空间向量的加减运算可得B正确．]
2．C　[①真命题：②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向不确定：③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反：④假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行：⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．故假命题的个数为4．]
3．D　[根据相反向量的概念知①②③④正确，所以正确的个数为4．故选D．]
4．A　[∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，
∴2a－b与a，b共面．]
5．A　[由于，所以，从而||，且AB∥DC，
所以四边形ABCD是平行四边形．]
6．　[()＋＝()＋．]
7．①②③　[，①正确：
，②正确：
③显然正确：，④错误．]
8．③　[对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误：对于②，若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确：只有③正确．]
9．解：(1)正确．因为A，B，C，D四点在一条直线上，所以一定共线．
(2)正确．相反向量的模相等，但方向是相反的．
(3)不正确．零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的．
10．解：(1)＝0．
(2)因为，
所以原式＝＝0．
11．C　[如图所示，①，所以＝－()是一对相反向量：
②，而，故不是相反向量：
③同①也是正确的：
④是一对相反向量．]
12．D　[由||知，A，B，C三点共线且C点在线段AB上，所以同向．]
13．ACD　[A正确．B错误，由，知||，且同向，但A与C，B与D不一定重合．C正确，，且为非零向量，所以互为相反向量．D正确．]
14．(1)　(2)1　[(1)|a＋b|∈．
(2)∵|a－b|2＋|a＋b|2＝2|a|2＋2|b|2＝4，
∴|a＋b|＝1．]
15．解：(1)如图所示，．
(2)如图所示，．
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