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21.2.2公式法
一、单选题
1．（2021九上·玉屏期末）已知关于x的一元二次方程 ，下列说法正确的是（　　）
A．方程有两个相等是实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．（2019九下·鞍山月考）关于 的一元二次方程 有两个实数根，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． 且 D． 且
3．（2023九上·临汾月考）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　）
A．且 B．
C．且 D．
4．（2024九下·庄浪期中）关于的方程有实数根，则的值可以是下列那个数（　　）
A．0或1 B． C．0 D．1
5．（2024九下·武汉开学考）一元二次方程3x2+4x﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．（2022·鄂尔多斯）下列说法正确的是（　　）
①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣3m=4x无实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣2 B．m＜﹣ C．m≥﹣ D．m＜0
8．（2021九上·泰兴期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a 2），BC＝2.以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F.下列哪条线段的长度是方程 的一个根（　　）
A．线段AE的长 B．线段BF的长 C．线段BD的长 D．线段DF的长
9．（2021九上·桥西月考）已知关于x的一元二次方程mx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）.
A．m＞－1且m≠0 B．m＜1且m≠0
C．m＜－1 D．m＞1
10．（2015九上·句容竞赛）已知 的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2-（c2-a2-b2）x+b2=0，则方程根的情况是（　　）。
A．有两相等实根 B．有两相异实根
C．无实根 D．不能确定
二、填空题
11．（2021九上·岑巩期中）已知关于x的方程x2+x﹣m＝0有实数解，则m的取值范围是　 　.
12．（2024九上·潮南月考）方程的根是　 　．
13．（2024九上·重庆市月考）关于的一元二次方程有实数根，则满足　 　．
14．（2024·青岛模拟）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是　 　．
15．（2024八上·杨浦期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，取最大整数是　 　.
16．（2020八上·宁波开学考）已知实数 满足 ，则 的值是　 　.
三、计算题
17．（2024九上·禅城期末）解方程：x2-6x-1=0.
18．（2019九上·榆树期中）解方程： .
19．（2025八下·长沙月考）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”．
（1）若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ．
（2）若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
（3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
四、解答题
20．（2024八下·海阳期中）解方程
（1）用公式法解方程：．
（2）用配方法解方程：
21．（2022九上·大兴期中）解方程：（1）；（2）．
22．（2021八下·莱州期中）小明在解关于x的方程（）时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．请判断原方程的根的情况．
23．（2024九上·深圳月考）阅读下面的例题：分解因式：．
解：令得到一个关于的一元二次方程，
，
．
解得，；
．
这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：
（1）已知代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为 　 　；
（2）将代数式分解因式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
6．【答案】B
【知识点】平方根；无理数的估值；二次根式有意义的条件；一元二次方程根的判别式及应用；多边形内角与外角
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
8．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性质
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
11．【答案】m≥﹣
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
12．【答案】，
【知识点】公式法解一元二次方程
13．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
14．【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
15．【答案】-1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
16．【答案】18
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
17．【答案】解：∵a=1，b=-6，c=-1
∴
∴x1=+3 ，x2=+3
【知识点】公式法解一元二次方程
18．【答案】解： .
∵ ， ， .
∴ .
∴
∴ ， .
【知识点】公式法解一元二次方程
19．【答案】（1）
（2）或
（3）
【知识点】公式法解一元二次方程；一次函数的性质
20．【答案】（1）；（2）．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
21．【答案】解：（1），先移项：，
再将二次项系数化为1，可得
最后直接开平方：，
（2）
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
22．【答案】解：把代入方程中，得
．
∴原方程为．
这里，，．
，
原方程没有实数根．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
23．【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解的应用；公式法解一元二次方程
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