资源简介 课时分层作业(二十七) 空间中的角说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分一、选择题1．已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD夹角的余弦值为( )A． B． C． D．2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面夹角的余弦值为( )A． B．C． D．3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D夹角的正弦值为( )A． B．C． D．4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是底面四边形ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与AM的夹角是( )A． B．C． D．与点P的位置有关5．把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A-BD-C，若AB＝1，AD＝，AC＝，则平面ABD与平面BCD的夹角为( )A．30° B．60° C．120° D．90°二、填空题6．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________．7．在正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________．8．正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF夹角的余弦值是________．三、解答题9．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．(1)求证：D1F∥平面A1EC1；(2)求直线AC1与平面A1EC1夹角的正弦值；(3)求二面角A-A1C1-E的正弦值．10．如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2．(1)若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD；(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．11．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B夹角的大小为( )A．60° B．90°C．105° D．75°12．如图，在正四面体A-BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )A． B．C． D．13．(多选题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列四个结论正确的是( )A．AC⊥BDB．AB，CD的夹角为60°C．△ADC为等边三角形D．AB与平面BCD的夹角为60°14．四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB＝2MA＝2，则平面PMD与平面ABCD夹角的余弦值为________，直线MA与平面PMD夹角的正弦值为________．15．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB 夹角的正弦值．21世纪教育网(www.21cnjy.com)4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时 空间中的角学习任务 核心素养1．理解直线与平面的夹角的概念．(重点、易错点) 2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题．(重点、难点) 通过利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题，提升逻辑推理、直观想象与数学运算等数学素养．前面，我们用空间向量研究了空间中的位置关系：平行与垂直，是否可以用空间向量研究空间中的数量关系呢？这要解决两个问题：一、用什么刻画空间中的数量关系；二、怎样刻画空间中的数量关系．1．两条直线的夹角设两条直线a，b的夹角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝，θ∈．2．直线与平面的夹角设直线和平面的夹角为θ，且直线的方向向量为a，平面的法向量为b，则sin θ＝，θ∈．3．平面与平面的夹角平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos|＝，其中n1，n2分别为平面α，β的法向量．(1)二面角的平面角的取值范围是什么？(2)二面角α-l-β的平面角与平面α，β的夹角有何关系？(3)二面角α-l-β的平面角与平面α，β的法向量的夹角有何关系？[提示] (1)[0，π]．(2)相等或互补．(3)相等或互补．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两异面直线的夹角与两直线的方向向量的夹角一定相等． ( )(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝． ( )(3)直线与平面的夹角的范围为． ( )(4)设直线和平面的夹角为θ，且直线的方向向量为n1，平面的法向量为n2，则sin θ＝． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线的夹角等于( )A．30° B．150°C．30°或150° D．以上均错[答案] A3．若v＝(1，1，0)是直线l的一个方向向量，n＝(1，2，－1)是平面α的一个法向量，则l与α的夹角为________． [cos〈v，n〉＝＝，∴〈v，n〉＝，∴l与α的夹角为＝．]4．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，则PB与CD的夹角为________．60° [建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，所以＝(－1，0，1)，＝(1，－1，0)，所以cos〈〉＝＝＝－，又0°≤〈〉≤180°，所以〈〉＝120°，故PB与CD的夹角为60°．]类型1 两条异面直线夹角的向量求法【例1】 【链接教材P130例8】如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D夹角的余弦值．[解] 以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)．因为cos〈〉＝＝＝，所以异面直线A1B与C1D夹角的余弦值为．【教材原题·P130例8】例8 如图3－41，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′与A′D夹角的余弦值．图3－41[解] 设s1，s2分别是AC′和A′D的一个方向向量，取s1＝，s2＝．因为A(0，0，0)，C′(2，1，3)，A′(0，0，3)，D(0，1，0)，所以s1＝＝(2，1，3)，s2＝＝(0，1，－3)．设AC′与A′D夹角为θ，则cos θ＝|cos〈s1，s2〉|＝＝＝．故AC′与A′D夹角的余弦值为． 1．利用向量法求异面直线夹角的一般步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解．2．两异面直线夹角的范围是，两向量的夹角的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．[跟进训练]1．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC的夹角为60°，试确定此时动点E的位置．[解] 以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设E(1，t，0)(0≤t≤2)，则A(1，0，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，＝(1，0，－1)，＝(1，t－2，0)，根据数量积的定义及已知得，1＋0×(t－2)＋0＝·cos 60°，所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．类型2 直线与平面夹角的向量求法【例2】 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1夹角的正弦值．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，M，C1，B(0，a，0)，故＝＝＝．设平面AMC1的一个法向量为n＝(x，y，z)．则∴取y＝2，则n＝．又＝，∴cos〈，n〉＝＝＝－．设BC1与平面AMC1的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝． 借助于向量求线面角，关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，另外，一定要注意向量夹角和直线与平面的夹角的区别和联系．[跟进训练]2．如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．(1)求证：AB∥FG；(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF夹角的大小，并求线段PH的长．[解] (1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE．又因为AB 平面PDE，DE 平面PDE，所以AB∥平面PDE．因为AB 平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG．(2)因为PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE．如图，建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，所以＝(1，1，0)，＝(1，0，0)，＝(0，1，1)．设平面ABF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝1，则n＝(0，－1，1)．设直线BC与平面ABF的夹角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝．因此直线BC与平面ABF的夹角的大小为．设点H的坐标为(u，v，w)．因为点H在棱PC上，所以可设＝λ(0<λ<1)，即(u，v，w－2)＝λ(2，1，－2)，所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ．因为n是平面ABF的一个法向量，所以n·＝0，即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0．解得λ＝，所以点H的坐标为．所以||＝＝2．类型3 二面角的向量求法【例3】 如图的多面体是直平行六面体ABCD-A1B1C1D1被平面AEFG所截后得到的几何体，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°．(1)求证：BD⊥平面ADG；(2)求平面AEFG与平面ABCD夹角的余弦值．[解] (1)证明：在△BAD中，∵AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，∴由余弦定理可得BD＝．∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD．又在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴GD⊥BD．又AD∩GD＝D，∴BD⊥平面ADG．(2)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．∵∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，则有A(1，0，0)，B(0，，0)，G(0，0，1)，E(0，，2)，C(－1，，0)．∴＝(－1，，2)，＝(－1，0，1)．设平面AEFG的一个法向量为n＝(x，y，z)，故有取n＝．而平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，1)，∴cos〈，n〉＝＝．故平面AEFG与平面ABCD夹角的余弦值为． 利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．[跟进训练]3．如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足＝＝．将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4．(1)证明：EF⊥PD；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．[解] (1)证明：由AB＝8，AD＝5＝＝，得AE＝2，AF＝4．又∠BAD＝30°，在△AEF中，由余弦定理得EF＝＝＝2．所以AE2＋EF2＝AF2，则AE⊥EF，即EF⊥AD，所以EF⊥PE，EF⊥DE，又PE∩DE＝E，PE，DE 平面PDE，所以EF⊥平面PDE，又PD 平面PDE，故EF⊥PD．(2)连接CE，由∠ADC＝90°，ED＝3，CD＝3，则CE2＝ED2＋CD2＝36，在△PEC中，PC＝4，PE＝2，EC＝6，得EC2＋PE2＝PC2，所以PE⊥EC，由(1)知PE⊥EF，又EC∩EF＝E，EC，EF 平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，又ED 平面ABCD，所以PE⊥ED，则PE，EF，ED两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则E(0，0，0)，P(0，0，2)，D(0，3，0)，C(3，3，0)，F(2，0，0)，A(0，－2，0)，由F是AB的中点，得B(4，2，0)，所以＝(3，3，－2)，＝(0，3，－2)，＝(4，2，－2)，＝(2，0，－2)，设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为n＝(x1，y1，z1)，m＝(x2，y2，z2)，则令y1＝2，x2＝，得x1＝0，z1＝3，y2＝－1，z2＝1，所以n＝(0，2，3)，m＝(，－1，1)，所以|cos〈m，n〉|＝＝＝，设平面PCD和平面PBF的夹角为θ，则sin θ＝＝，即平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值为．1．已知直线l1的方向向量s1＝(1，1，1)，直线l2的方向向量s2＝(－2，2，－2)，则l1，l2夹角的余弦值为( )A．－ B． C． D．－B [∵cos〈s1，s2〉＝＝＝－．∴l1，l2夹角的余弦值为|cos〈s1，s2〉|＝．]2．已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则α与β的夹角为( )A．30° B．60°C．120° D．150°B [设α与β的夹角为θ，且0°≤θ≤90°，则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°．]3．(教材P131例9改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1夹角的余弦值为( )A． B．C． D．D [设正方体的棱长为1，建系如图．则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)．平面ACD1的一个法向量为＝(1，1，1)．又＝(0，0，1)，则cos〈〉＝＝＝．故BB1与平面ACD1夹角的余弦值为＝．]4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C夹角的余弦值为________． [如图，建立空间直角坐标系．由已知得A1(4，0，0)，B(4，4，3)，B1(4，4，0)，C(0，4，3)．∴＝(0，4，3)，＝(－4，0，3)，∴cos〈〉＝．]5．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4．(1)证明：AF⊥平面A1ED；(2)求二面角A1-ED-F的正弦值．[解] 以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设AB＝1，依题意得D(0，2，0)，F(1，2，1)，A1(0，0，4)，E．(1)证明：易得＝(1，2，1)，＝＝．于是＝0，＝0．因此，AF⊥EA1，AF⊥ED．又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED．(2)设平面EFD的一个法向量为u＝(x，y，z)，则又＝＝，则不妨令x＝1，可得u＝(1，2，－1)．由(1)可知，为平面A1ED的一个法向量，于是cos〈u，〉＝＝，从而sin〈u，〉＝．所以二面角A1-ED-F的正弦值为．利用空间向量求空间角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的夹角来求．(1)首先要找到并表示出相关向量，常用的两种方法是坐标法、基向量法，解题时要灵活掌握；(2)其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系；(3)最后利用两个向量的夹角公式求出空间角．课时分层作业(二十七) 空间中的角一、选择题1．已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD夹角的余弦值为( )A． B． C． D．C [建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1，0)，D(－1，－1，0)，S(0，0，)，E，∴＝＝(－1，－1，－)，∴cos〈〉＝＝－，∴AE，SD夹角的余弦值为．]2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面夹角的余弦值为( )A． B．C． D．B [建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，所以G＝，又因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，则cos〈，n〉＝＝－，所以与平面ABCD的法向量夹角的余弦值为－，所以与平面ABCD夹角的余弦值为＝．]3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D夹角的正弦值为( )A． B．C． D．D [以B为原点，直线BC，BA，BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(2，2，0)，B1(0，0，1)，C1(2，0，1)．设平面BB1D1D的一个法向量n＝(x，y，z)，则∴取n＝(1，－1，0)，直线BC1的方向向量＝(2，0，1)，设直线BC1与平面BB1D1D的夹角为θ，则sin θ＝＝．]4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是底面四边形ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与AM的夹角是( )A． B．C． D．与点P的位置有关C [建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则M(0，2，1)，O(1，1，0)，设P(x，0，2)，其中0≤x≤2，则＝(0，2，1)，＝(x－1，－1，2)．由＝0×(x－1)＋2×(－1)＋1×2＝0，得AM⊥OP，∴直线OP与AM的夹角是．]5．把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A-BD-C，若AB＝1，AD＝，AC＝，则平面ABD与平面BCD的夹角为( )A．30° B．60° C．120° D．90°B [过A作AE⊥BD，过C作CF⊥BD，则AE＝，BE＝，所以EF＝1，因为＝，所以||2＝||2＋||2＋||2＋2||||·cos〈〉，∴cos〈〉＝－，∴平面ABD与平面BCD的夹角是60°，故选B．]二、填空题6．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________．45°或135° [因为cos〈m，n〉＝＝＝，所以两平面所成的二面角的大小为45°或135．]7．在正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________．30° [如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P，则＝(2a，0，0)，＝，＝(a，a，0)．设平面PAC的一个法向量为n，可求得n＝(0，1，1)，设BC与平面PAC的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝，∴θ＝30°．]8．正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF夹角的余弦值是________． [建立如图所示坐标系，设AB＝1，则D，A(0，0，0)，F(1，0，0)，B(0，1，0)，所以＝＝(1，－1，0)．所以异面直线AD与BF夹角的余弦值是＝＝．]三、解答题9．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．(1)求证：D1F∥平面A1EC1；(2)求直线AC1与平面A1EC1夹角的正弦值；(3)求二面角A-A1C1-E的正弦值．[解] (1)证明：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2)，因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E(2，1，0)，F(1，2，0)，所以＝(1，0，－2)，＝(2，2，0)，＝(2，1，－2)，设平面A1EC1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则令x1＝2，则m＝(2，－2，1)，因为·m＝2－2＝0，所以⊥m，因为D1F 平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1．(2)由(1)得，＝(2，2，2)，设直线AC1与平面A1EC1的夹角为θ，则sin θ＝＝＝＝．(3)由正方体的特征可得，平面AA1C1的一个法向量为＝(2，－2，0)，则cos〈，m〉＝＝＝，所以二面角A-A1C1-E的正弦值为＝．10．如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2．(1)若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD；(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．[解] (1)证明：取PD的中点G，连接FG，CG(图略)，因为F为PE的中点，所以FG＝DE＝1，FG∥DE，又BC＝1，AD∥BC，所以FG＝BC，FG∥BC，所以四边形FGCB为平行四边形，所以BF∥CG，又BF 平面PCD，CG 平面PCD，所以BF∥平面PCD．(2)因为AB⊥平面PAD，PE 平面PAD，所以AB⊥PE，又PE⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD．连接EC，易知四边形ABCE为矩形，故直线EC，ED，EP两两垂直，故以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，C(1，0，0)，D(0，2，0)，A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，则＝(1，0，0)，＝(0，1，2)，＝(1，0，－2)，＝(0，2，－2)．设平面PAB的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则可取n1＝(0，－2，1)．设平面PCD的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则可取n2＝(2，1，1)．设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝．所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为．11．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B夹角的大小为( )A．60° B．90°C．105° D．75°B [建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0，0，1)，B1，C1(0，，0)，B．∴＝＝．∴＝－1＝0，∴⊥．即AB1与C1B夹角的大小为90°．]12．如图，在正四面体A-BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )A． B．C． D．B [如图，作AO⊥平面BCD于O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系．设AB＝2，则O(0，0，0)，A，C，E，∴＝＝，∴cos〈〉＝＝＝．∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为．]13．(多选题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列四个结论正确的是( )A．AC⊥BDB．AB，CD的夹角为60°C．△ADC为等边三角形D．AB与平面BCD的夹角为60°ABC [A中，如图取BD中点O，连接AO，CO，易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC，故A正确；B中，如图建立空间直角坐标系，设正方形边长为a，则A，B，故＝，C，D，故＝，由两向量夹角公式得cos〈〉＝－，故两异面直线的夹角为60°，故B正确；C中，在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝a，解得AC＝AO＝a，所以△ADC为等边三角形，故C正确；D中，易知∠ABO即为直线AB与平面BCD的夹角，可求得∠ABO＝45°，故D错误．]14．四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB＝2MA＝2，则平面PMD与平面ABCD夹角的余弦值为________，直线MA与平面PMD夹角的正弦值为________． [如图建立空间直角坐标系，则D(0，2，0)，M(0，0，1)，P(2，0，2)，∴＝(0，2，－1)，＝(2，0，1)，设n1＝(x，y，z)是平面PMD的一个法向量，则∴令z＝1得n1＝，易知n2＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量．∴cos〈n1，n2〉＝＝＝．又＝(0，0，1)，则直线MA与平面PMD夹角的正弦值为＝＝．]15．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB 夹角的正弦值．[解] (1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AE＝BF＝，故DE＝，BD＝＝，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD．因为PD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，又PA 平面PAD，所以BD⊥PA．(2)由条件知，PD，AD，BD两两垂直，如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，)，则＝(－1，0，)，＝(0，－)，＝(0，0，)，设平面PAB的法向量n＝(x，y，z)，则有可取n＝(，1，1)，则cos〈n，〉＝＝，所以PD与平面PAB夹角的正弦值为．21世纪教育网(www.21cnjy.com)4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时 空间中的角学习任务 核心素养1．理解直线与平面的夹角的概念．(重点、易错点) 2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题．(重点、难点) 通过利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题，提升逻辑推理、直观想象与数学运算等数学素养．前面，我们用空间向量研究了空间中的位置关系：平行与垂直，是否可以用空间向量研究空间中的数量关系呢？这要解决两个问题：一、用什么刻画空间中的数量关系；二、怎样刻画空间中的数量关系．1．两条直线的夹角设两条直线a，b的夹角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝，θ∈．2．直线与平面的夹角设直线和平面的夹角为θ，且直线的方向向量为a，平面的法向量为b，则sin θ＝，θ∈．3．平面与平面的夹角平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos|＝，其中n1，n2分别为平面α，β的法向量．(1)二面角的平面角的取值范围是什么？(2)二面角α-l-β的平面角与平面α，β的夹角有何关系？(3)二面角α-l-β的平面角与平面α，β的法向量的夹角有何关系？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两异面直线的夹角与两直线的方向向量的夹角一定相等． ( )(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝． ( )(3)直线与平面的夹角的范围为． ( )(4)设直线和平面的夹角为θ，且直线的方向向量为n1，平面的法向量为n2，则sin θ＝． ( )2．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线的夹角等于( )A．30° B．150°C．30°或150° D．以上均错3．若v＝(1，1，0)是直线l的一个方向向量，n＝(1，2，－1)是平面α的一个法向量，则l与α的夹角为________．4．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，则PB与CD的夹角为________．类型1 两条异面直线夹角的向量求法【例1】 【链接教材P130例8】如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D夹角的余弦值．[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1．利用向量法求异面直线夹角的一般步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解．2．两异面直线夹角的范围是，两向量的夹角的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．[跟进训练]1．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC的夹角为60°，试确定此时动点E的位置．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2 直线与平面夹角的向量求法【例2】 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1夹角的正弦值．[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 借助于向量求线面角，关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，另外，一定要注意向量夹角和直线与平面的夹角的区别和联系．[跟进训练]2．如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．(1)求证：AB∥FG；(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF夹角的大小，并求线段PH的长．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3 二面角的向量求法【例3】 如图的多面体是直平行六面体ABCD-A1B1C1D1被平面AEFG所截后得到的几何体，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°．(1)求证：BD⊥平面ADG；(2)求平面AEFG与平面ABCD夹角的余弦值．[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．[跟进训练]3．如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足＝＝．将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4．(1)证明：EF⊥PD；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．已知直线l1的方向向量s1＝(1，1，1)，直线l2的方向向量s2＝(－2，2，－2)，则l1，l2夹角的余弦值为( )A．－ B． C． D．－2．已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则α与β的夹角为( )A．30° B．60°C．120° D．150°3．(教材P131例9改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1夹角的余弦值为( )A． B．C． D．4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C夹角的余弦值为________．5．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4．(1)证明：AF⊥平面A1ED；(2)求二面角A1-ED-F的正弦值．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________利用空间向量求空间角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的夹角来求．(1)首先要找到并表示出相关向量，常用的两种方法是坐标法、基向量法，解题时要灵活掌握；(2)其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系；(3)最后利用两个向量的夹角公式求出空间角．21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十七)1．C [建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1，0)，D(－1，－1，0)，S(0，0，)，E，∴＝(－1，－1，－)，∴cos<，∴AE，SD夹角的余弦值为．]2．B [建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，所以G，又因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，则cos<，n>＝，所以，所以．]3．D [以B为原点，直线BC，BA，BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(2，2，0)，B1(0，0，1)，C1(2，0，1)．设平面BB1D1D的一个法向量n＝(x，y，z)，则取n＝(1，－1，0)，直线BC1的方向向量＝(2，0，1)，设直线BC1与平面BB1D1D的夹角为θ，则sin θ＝．]4．C [建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则M(0，2，1)，O(1，1，0)，设P(x，0，2)，其中0≤x≤2，则＝(0，2，1)，＝(x－1，－1，2)．由·＝0×(x－1)＋2×(－1)＋1×2＝0，得AM⊥OP，∴直线OP与AM的夹角是．]5．B [过A作AE⊥BD，过C作CF⊥BD，则AE＝，BE＝，所以EF＝1，因为，所以||2＝||2＋||2＋||2＋2||·cos<>，∴cos<，∴平面ABD与平面BCD的夹角是60°，故选B．]6．45°或135° [因为cos＝，所以两平面所成的二面角的大小为45°或135．]7．30° [如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P，则＝(2a，0，0)，，＝(a，a，0)．设平面PAC的一个法向量为n，可求得n=(0，1，1)，设BC与平面PAC的夹角为θ，则sin θ＝|cos<，n>|＝，∴θ＝30°．]8． [建立如图所示坐标系，设AB＝1，则D，A(0，0，0)，F(1，0，0)，B(0，1，0)，所以＝(1，－1，0)．所以异面直线AD与BF夹角的余弦值是．]9．解：(1)证明：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2)，因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E(2，1，0)，F(1，2，0)，所以＝(1，0，－2)，＝(2，2，0)，＝(2，1，－2)，设平面A1EC1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则令x1＝2，则m＝(2，－2，1)，因为·m＝2－2＝0，所以⊥m，因为D1F 平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1．(2)由(1)得，＝(2，2，2)，设直线AC1与平面A1EC1的夹角为θ，则sin θ＝＝＝＝．(3)由正方体的特征可得，平面AA1C1的一个法向量为＝(2，－2，0)，则cos<，m>＝，所以二面角A A1C1 E的正弦值为．10．解：(1)证明：取PD的中点G，连接FG，CG(图略)，因为F为PE的中点，所以FG＝DE＝1，FG∥DE，又BC＝1，AD∥BC，所以FG＝BC，FG∥BC，所以四边形FGCB为平行四边形，所以BF∥CG，又BF 平面PCD，CG 平面PCD，所以BF∥平面PCD．(2)因为AB⊥平面PAD，PE 平面PAD，所以AB⊥PE，又PE⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD．连接EC，易知四边形ABCE为矩形，故直线EC，ED，EP两两垂直，故以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，C(1，0，0)，D(0，2，0)，A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，则＝(1，0，0)，＝(0，1，2)，＝(1，0，－2)，＝(0，2，－2)．设平面PAB的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则可取n1＝(0，－2，1)．设平面PCD的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则可取n2＝(2，1，1)．设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，则cos θ＝|cos|＝．所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为．11．B [建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0，0，1)，B1，C1(0，，0)，B．∴，．∴·－1＝0，∴．即AB1与C1B夹角的大小为90°．]12．B [如图，作AO⊥平面BCD于O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系．设AB＝2，则O(0，0，0)，A，C，E，∴，∴cos<．∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为．]13．ABC [A中，如图取BD中点O，连接AO，CO，易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC，故A正确；B中，如图建立空间直角坐标系，设正方形边长为a，则A，B，故＝，C，D，故＝，由两向量夹角公式得cos〈〉＝－，故两异面直线的夹角为60°，故B正确；C中，在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝a，解得AC＝AO＝a，所以△ADC为等边三角形，故C正确；14． [如图建立空间直角坐标系，则D(0，2，0)，M(0，0，1)，P(2，0，2)，∴＝(0，2，－1)，＝(2，0，1)，设n1＝(x，y，z)是平面PMD的一个法向量，则令z＝1得n1＝，易知n2＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量．∴cos＝．又＝(0，0，1)，则直线MA与平面PMD夹角的正弦值为．]15．解：(1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AE＝BF＝，故DE＝，BD＝，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD．因为PD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，又PA 平面PAD，所以BD⊥PA．(2)由条件知，PD，AD，BD两两垂直，如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，)，则＝(－1，0，＝(0，－＝(0，0，)，设平面PAB的法向量n＝(x，y，z)，则有可取n＝(，1，1)，则cos所以PD与平面PAB夹角的正弦值为．21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共80张PPT)第三章 空间向量与立体几何§4 向量在立体几何中的应用4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时 空间中的角学习任务 核心素养1．理解直线与平面的夹角的概念．(重点、易错点)2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题．(重点、难点) 通过利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题，提升逻辑推理、直观想象与数学运算等数学素养．前面，我们用空间向量研究了空间中的位置关系：平行与垂直，是否可以用空间向量研究空间中的数量关系呢？这要解决两个问题：一、用什么刻画空间中的数量关系；二、怎样刻画空间中的数量关系．必备知识·情境导学探新知思考 (1)二面角的平面角的取值范围是什么？(2)二面角α-l-β的平面角与平面α，β的夹角有何关系？(3)二面角α-l-β的平面角与平面α，β的法向量的夹角有何关系？[提示] (1)[0，π]．(2)相等或互补．(3)相等或互补．××××2．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线的夹角等于( )A．30° B．150°C．30°或150° D．以上均错3．若v＝(1，1，0)是直线l的一个方向向量，n＝(1，2，－1)是平面α的一个法向量，则l与α的夹角为________． √60° 关键能力·合作探究释疑难类型1 两条异面直线夹角的向量求法【例1】 【链接教材P130例8】如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D夹角的余弦值．图3－41[跟进训练]1．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC的夹角为60°，试确定此时动点E的位置．反思领悟 借助于向量求线面角，关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，另外，一定要注意向量夹角和直线与平面的夹角的区别和联系．[跟进训练]2．如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．(1)求证：AB∥FG；(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF夹角的大小，并求线段PH的长．类型3 二面角的向量求法【例3】 如图的多面体是直平行六面体ABCD-A1B1C1D1被平面AEFG所截后得到的几何体，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°．(1)求证：BD⊥平面ADG；(2)求平面AEFG与平面ABCD夹角的余弦值．反思领悟 利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．学习效果·课堂评估夯基础√√√4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C夹角的余弦值为________． 5．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4． (1)证明：AF⊥平面A1ED；(2)求二面角A1-ED-F的正弦值．利用空间向量求空间角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的夹角来求．(1)首先要找到并表示出相关向量，常用的两种方法是坐标法、基向量法，解题时要灵活掌握；(2)其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系；(3)最后利用两个向量的夹角公式求出空间角．章末综合测评(一) 动量守恒定律题号13524687910111213√1415课时分层作业(二十七) 空间中的角题号135246879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号2134568791011121314153．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D夹角的正弦值为( )√题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415二、填空题6．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为____________．45°或135° 题号2134568791011121314157．在正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________．30°题号213456879101112131415题号2134568791011121314158．正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF夹角的余弦值是________． 题号213456879101112131415三、解答题9．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．(1)求证：D1F∥平面A1EC1；(2)求直线AC1与平面A1EC1夹角的正弦值；(3)求二面角A-A1C1-E的正弦值．题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号21345687910111213141510．如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2．(1)若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD；(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号21345687910111213141513．(多选题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列四个结论正确的是( )A．AC⊥BDB．AB，CD的夹角为60°C．△ADC为等边三角形D．AB与平面BCD的夹角为60°√√√题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号21345687910111213141514．四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB＝2MA＝2，则平面PMD与平面ABCD夹角的余弦值为______，直线MA与平面PMD夹角的正弦值为______． 题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415因为PD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，又PA 平面PAD，所以BD⊥PA．题号213456879101112131415题号213456879101112131415 展开更多...... 收起↑ 资源列表 北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何4.3第1课时空间中的角学案（学生用）.docx 北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何4.3第1课时空间中的角学案（教师用）.docx 北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何4.3第1课时空间中的角课件.ppt 北师大版高中数学选择性必修第一册课时分层作业27空间中的角（学生用）.docx 课时分层作业27答案.docx
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