北师大版高中数学选择性必修第一册第五章计数原理2习题课排列的应用课件+学案+练习+答案

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北师大版高中数学选择性必修第一册第五章计数原理2习题课排列的应用课件+学案+练习+答案

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(共44张PPT)
第五章 计数原理
§2 排列问题
习题课 排列的应用
学习任务 核心素养
1.通过实例进一步理解排列的概念.(易混点)
2.掌握几种具有限制条件的排列问题.(重点) 通过排列的实际应用,培养数学建模素养.
关键能力·合作探究释疑难
类型1 特殊元素指定位置的排列问题
【例1】 用0,1,2,3,4,5这六个数字:
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?
(3)能组成多少个比1 325大的无重复数字的四位数?
[思路点拨] 该题目中特殊元素为0,特殊位置为首位,本着先特殊后一般的原则,将问题分解为几个易求解的简单问题.
反思领悟 数字排列问题是排列问题的重要题型,解题时要从限制条件入手,找出解题的思路.常见限制条件有:(1)首位不能为0;(2)有无重复数字;(3)奇、偶数;(4)某数的倍数;(5)大于(或小于)某数.
[跟进训练]
1.由A,B,C,…等7人担任班级的7个班委.
(1)若正、副班长两职只能由A,B,C这三人中的两人担任,则有多少种分工方案?
(2)若正、副班长两职至少要选A,B,C这三人中的1人担任,有多少种分工方案?
类型2 “相邻”与“不相邻”的排列问题
【例2】 3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数.
(1)全体站成一排,男、女各站在一起;
(2)全体站成一排,男生必须排在一起;
(3)全体站成一排,男生不能排在一起;
(4)全体站成一排,男、女生各不相邻.
[思路点拨] (1)、(2)元素相邻,可用“捆绑法”,(3)、(4)元素不相邻,可用“插空法”.
反思领悟 1.关于某些元素“相邻”的排列问题,可以把相邻元素看成一个整体,当成一个元素去和其他元素进行排列,此方法可称为“捆绑法”.
2.对于元素“不相邻”的排列问题,可先将允许相邻的元素进行排列,然后在它们的空位处插入不能相邻的元素,此方法可称为“插空法”.

类型3 排列中的定序问题
【例3】 七个人站成一排,其中甲在乙前(不一定相邻),乙在丙前,则共有多少种不同的站法?
[跟进训练]
3.7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男生4人,女生2人,若4名男生身高都不相等,按从高到低的顺序站,则有_______种不同的站法.
420 
学习效果·课堂评估夯基础

2.在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是(  )
A.6   B.12
C.18   D.24

3.如图,将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,下面是一种填法,则不同的填写方法共有(  )

A.6种   B.12种
C.24种   D.48种
1 2 3
3 1 2
2 3 1
4.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛,3名主力队员安排在第一、三、五位置,其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上,那么不同的出场安排有________种.
252
5.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,求其中数字1,2相邻的偶数的个数.
1.对于特殊元素指定位置的排列问题可用直接法去排,也可用间接法去排.
2.对于“相邻”问题可用“捆绑法”排列,对于“不相邻”问题,可用“插空法”排列.
3.对于有固定顺序的排列,可优先考虑其他元素的排列问题,有固定顺序的排列只有一种方法.
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
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课时分层作业(三十二) 习题课 排列的应用
一、选择题
1.从6本不同的书中选出4本,分别发给4个同学,已知其中两本书不能发给甲同学,则不同分配方法有(  )
A.180种  B.220种 C.240种  D.260种
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2.从8人中选3人排队,其中甲乙不分开参排,若参排,就一定排在一起,其不同的排法共有(  )
A.252种   B.278种
C.144种   D.362种

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3.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(  )
A.24   B.18
C.12   D.6

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4.若把英语单词“Look”的字母顺序写错了,则可能出现的错误的种数为(  )
A.24   B.10
C.9   D.11

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二、填空题
6.编号为A,B,C,D,E的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个盒子只能放一个小球,且A球不能放在1,2号盒子中,B球必须放在与A球相邻的盒子中,则不同的放法有________种.
30 
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7.显示屏上的七个小孔排成一排,每个小孔可以显示红、黄、蓝三种颜色,或不显示.若每次由其中三个小孔显示一组红、黄、蓝三色信号,但相邻的两个小孔不同时显示,则该显示屏能够显示的不同信号数为________.
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8.从1,2,3,4,…,10这十个数中任取两个数,分别做对数的底数与真数,可得到________个不同的对数值.
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三、解答题
9.如图,某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的,七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内,且恰有一种颜色涂在相对区域内,则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种?
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10.某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排法?

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11.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座,则不同的坐法有(  )
A.10种   B.16种
C.20种   D.24种
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12.从0,1,3,5,7中取出不同的三个数作为一元二次方程ax2+bx+c=0的系数,其中有实数根的不同的一元二次方程有(  )
A.16个   B.17个
C.18个   D.19个

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13.7名学生,站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端,不同排法的种数为(  )
A.3 720  B.3 600 C.3 840  D.4 320

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14.用数字0,1,2,3,4,5可组成________个没有重复数字的四位数,在这些四位数中,按从小到大的顺序排成一个数列,则第85个数为________.
300 
2 301 
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15.用0,1,2,3,4这五个数字,可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数.
(1)被4整除;
(2)比21 034大的偶数;
(3)左起第二、四位是奇数的偶数.
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15习题课 排列的应用
学习任务 核心素养
1.通过实例进一步理解排列的概念.(易混点) 2.掌握几种具有限制条件的排列问题.(重点) 通过排列的实际应用,培养数学建模素养.
类型1 特殊元素指定位置的排列问题
【例1】 用0,1,2,3,4,5这六个数字:
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?
(3)能组成多少个比1 325大的无重复数字的四位数?
[思路点拨] 该题目中特殊元素为0,特殊位置为首位,本着先特殊后一般的原则,将问题分解为几个易求解的简单问题.
[解] (1)符合要求的四位偶数可分为三类:
第一类:0在个位时,有个;
第二类:2在个位时,首位从1,3,4,5中选定1个种),十位和百位从余下的数字中选,有种,于是有个;
第三类:4在个位时,与第二类同理,也有个.
由分类加法计数原理得,共有=156(个).
(2)五位数中5的倍数可分为两类:
第一类:个位上为0的五位数有个;
第二类:个位上为5的五位数有个.
故满足条件的五位数的个数共有=216(个).
(3)比1 325大的四位数可分为三类:
第一类:形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共有个;
第二类:形如1 4□□,1 5□□,共有个;
第三类:形如1 34□,1 35□,共有个.
由分类加法计数原理可得,比1 325大的四位数共有=270(个).
 数字排列问题是排列问题的重要题型,解题时要从限制条件入手,找出解题的思路.常见限制条件有:(1)首位不能为0;(2)有无重复数字;(3)奇、偶数;(4)某数的倍数;(5)大于(或小于)某数.
[跟进训练]
1.由A,B,C,…等7人担任班级的7个班委.
(1)若正、副班长两职只能由A,B,C这三人中的两人担任,则有多少种分工方案?
(2)若正、副班长两职至少要选A,B,C这三人中的1人担任,有多少种分工方案?
[解] (1)先安排正、副班长有种方法,再安排其余职务有种方法,依分步乘法计数原理,共有=720种分工方案.
(2)法一:7人的任意分工方案有种,A,B,C三人中无一人任正、副班长的分工方案有种,因此A,B,C三人中至少有1人任正、副班长的方案有=3 600种.
法二:逐一分类,其算式为:
=3 600种.
类型2 “相邻”与“不相邻”的排列问题
【例2】 3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数.
(1)全体站成一排,男、女各站在一起;
(2)全体站成一排,男生必须排在一起;
(3)全体站成一排,男生不能排在一起;
(4)全体站成一排,男、女生各不相邻.
[思路点拨] (1)、(2)元素相邻,可用“捆绑法”,(3)、(4)元素不相邻,可用“插空法”.
[解] (1)男生必须站在一起,是男生的全排列,有种排法.
女生必须站在一起,是女生的全排列,有种排法,全体男生、女生各视为一个元素,有种排法,由分步乘法计数原理知,共有=288(种).
(2)把所有男生视为一个元素,与4名女生组成5个元素全排.故N==720(种).
(3)先排女生共种排法,男生在4个女生隔成的五个空中安排有种排法,故N==1 440(种).
(4)对比(3)让女生插空:N==144(种).
 1.关于某些元素“相邻”的排列问题,可以把相邻元素看成一个整体,当成一个元素去和其他元素进行排列,此方法可称为“捆绑法”.
2.对于元素“不相邻”的排列问题,可先将允许相邻的元素进行排列,然后在它们的空位处插入不能相邻的元素,此方法可称为“插空法”.
[跟进训练]
2.一台节目中有独唱节目5个,现有3个舞蹈节目要插入,且每个舞蹈节目必须排在两个独唱节目之间,则节目单的排法种数是(  )
A.   C.
C.  D.
C [5个独唱节目之间有4个间隔,从中选出3个排入舞蹈节目,即为.]
类型3 排列中的定序问题
【例3】 七个人站成一排,其中甲在乙前(不一定相邻),乙在丙前,则共有多少种不同的站法?
[思路点拨] 从整体角度出发,先不考虑甲、乙、丙三人的顺序,即七个人任意排,有种不同的排法,在这所有排法中,任取一种排法,让其余四个人站在原位置不动,而甲、乙、丙三人任意交换位置,即将这三个人进行全排列,共有种不同的站法,每类中有且仅有一个符合题意的排列,从而可求出所求的排列数.还可用插空法来求解.
[解] 法一:先不考虑甲、乙、丙的顺序,任意排列共有种,因为在上述排列中,每六种有且仅有一种恰好是符合甲、乙、丙按一定顺序排列,因此符合要求的排法共有=840(种).
法二:七个位置中,先将除甲、乙、丙外四人排列有种,然后将甲、乙、丙按规定顺序插入三个空档中,因此共有=840(种).
 若m+n个元素排成一列,其中有m个元素之间的顺序固定不变的解题步骤
(1)从m+n个位置中安排n个元素有种方法.
(2)对每一个排列剩下m个元素,填这m个元素,方法只有一种方法,由分步乘法计数原理可知,共有种方法.
[跟进训练]
3.7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男生4人,女生2人,若4名男生身高都不相等,按从高到低的顺序站,则有________________种不同的站法.
420 [由于4名男生顺序固定,可以先排2名女生和1位老师,有种方法,然后将4名男生插入所剩下的4个空位中,有2种插法,于是符合条件的不同站法是=420(种).]
1.工作人员计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同陈列方式的种数为(  )
A. B.
C. D.
D [3种画看作3个不同元素,因水彩画不放在两端,故有种排列,每种内部排列有种,由分步乘法计数原理得有种.]
2.在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是(  )
A.6   B.12
C.18   D.24
B [先排列1,2,3,有=6种排法,再将“+”,“-”两个符号插入,有=2种排法,共有12种排法,选B.]
3.如图,将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,下面是一种填法,则不同的填写方法共有(  )
1 2 3
3 1 2
2 3 1
A.6种   B.12种
C.24种   D.48种
B [只需要填写第一行第一列,其余即确定了.因此共有=12(种).]
4.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛,3名主力队员安排在第一、三、五位置,其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上,那么不同的出场安排有________种.
252 [出场安排可分两步:
第一步:安排三名主力队员有种;
第二步:安排另2名队员有种.
根据分步乘法计数原理,共有=252种不同的出场安排.]
5.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,求其中数字1,2相邻的偶数的个数.
[解] 分三类:第一类:末位数字为0,则1,2为一组,且可以交换位置,3,4各为1个数字,共可以组成=12个五位数;
第二类:末位数字为2,则1与2相邻,其余3个数字排列,且0不是首位数字,则有=4个五位数;
第三类:末位数字为4,则1,2为一组,且可以交换位置,3,0各为1个数字,且0不是首位数字,则有=8个五位数.
由分类加法计数原理知,符合要求的五位数共12+4+8=24个.
1.对于特殊元素指定位置的排列问题可用直接法去排,也可用间接法去排.
2.对于“相邻”问题可用“捆绑法”排列,对于“不相邻”问题,可用“插空法”排列.
3.对于有固定顺序的排列,可优先考虑其他元素的排列问题,有固定顺序的排列只有一种方法.
课时分层作业(三十二) 习题课 排列的应用
一、选择题
1.从6本不同的书中选出4本,分别发给4个同学,已知其中两本书不能发给甲同学,则不同分配方法有(  )
A.180种   B.220种
C.240种   D.260种
C [因为其中两本书不能发给甲同学,所以甲只能从剩下的4本中分一本,然后再选3本分给3个同学,故有=240种.]
2.从8人中选3人排队,其中甲乙不分开参排,若参排,就一定排在一起,其不同的排法共有(  )
A.252种   B.278种
C.144种   D.362种
C [根据甲、乙的参排情况加以分类.若甲乙不参排,不同的排法有=120种;若甲、乙参排,不同的排法有=24种;所以不同的排法共有120+24=144种,即选C.]
3.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(  )
A.24   B.18
C.12   D.6
B [当选0时,先从1,3,5中选2个数字有3种方法,然后从选中的2个数字中选1个排在末位有两种方法,剩余1个数字排在首位,共有3×2=6(种)方法;当选2时,先从1,3,5中选2个数字有3种方法,然后从选中的2个数字中选1个排在末位有两种方法,其余2个数字全排列,共有=12(种)方法.依分类加法计数原理知共有6+12=18(个)奇数.]
4.若把英语单词“Look”的字母顺序写错了,则可能出现的错误的种数为(  )
A.24   B.10
C.9   D.11
D [Look有两个相同字母,故可能出现错误的种数为-1=11(种).本题也可列举求解.]
5.4名男生和4名女生并坐一排照相,女生要排在一起,不同排法的种数为(  )
A.
B [因为4名女生要排在一起,所以先将4名女生捆绑与其他4名男生一起排列,然后再将4名女生排列,共有种排法.]
二、填空题
6.编号为A,B,C,D,E的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个盒子只能放一个小球,且A球不能放在1,2号盒子中,B球必须放在与A球相邻的盒子中,则不同的放法有________种.
30 [根据A球所在位置分三类:
(1)若A球放在3号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,有=6种不同的放法,则根据分步乘法计数原理,此时有=6种不同的放法;
(2)若A球放在5号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,有=6种不同的放法,则根据分步乘法计数原理,此时有=6种不同的放法;
(3)若A球放在4号盒子内,则B球可以放在2号,3号,5号盒子中的任何一个,余下的三个盒子放球C,D,E,有=6种不同的放法,根据分步乘法计数原理,此时有=18种不同的放法.
综上所述,由分类加法计数原理得不同的放法共有6+6+18=30种.]
7.显示屏上的七个小孔排成一排,每个小孔可以显示红、黄、蓝三种颜色,或不显示.若每次由其中三个小孔显示一组红、黄、蓝三色信号,但相邻的两个小孔不同时显示,则该显示屏能够显示的不同信号数为________.
60 [3个显示小孔不相邻,即在4个不显示的小孔的5个空当中插入3个显示的小孔,又因3个小孔显示的颜色不相同,故有=60种不同的信号数.]
8.从1,2,3,4,…,10这十个数中任取两个数,分别做对数的底数与真数,可得到________个不同的对数值.
69 [从10个数中取出两个数的所有排列数为=10×9=90.
当1为底数时,不合题意的共有9个,当1为真数时,对数值都是零,应去掉8个,又因为log23与log49相等,log32与log94相等,log24与log39相等,log42与log93相等.所以共有不同的对数值90-9-8-4=69个.]
三、解答题
9.如图,某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的,七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内,且恰有一种颜色涂在相对区域内,则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种?
[解] 如图,对8个区域进行编号,任选一组对称区域(如1与5)同色,用7种颜色涂8个区域的不同涂法有7!种,又由于1与5,2与6,3与7,4与8是对称的,通过旋转后5,6,7,8,1,2,3,4与1,2,3,4,5,6,7,8是同一种涂色,即重复染色2次,故此种图案至多有=2 520种.
10.某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排法?
[解] 6门课总的排法是种,其中不符合要求的可分为:体育排在第一节有种排法;数学排在最后一节有种排法;但这两种方法,都包括体育在第一节,数学排在最后一节,这种情况有种排法,因此符合条件的排法应是:=504种.
11.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座,则不同的坐法有(  )
A.10种   B.16种
C.20种   D.24种
C [一排共有8个座位,现有两人就坐,故有6个空座.∵要求每人左右均有空座,∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐,即有=20种坐法.故选C.]
12.从0,1,3,5,7中取出不同的三个数作为一元二次方程ax2+bx+c=0的系数,其中有实数根的不同的一元二次方程有(  )
A.16个   B.17个
C.18个   D.19个
C [方程有实根,需Δ=b2-4ac≥0.当c=0时,a,b可在1,3,5,7中任取两个,有个;当c≠0时,b只能取5,7,b取5时,a,c只能取1,3,共有个;b取7时,a,c可取1,3或1,5,有个,所以有实数根的不同的一元二次方程共有=18个.]
13.7名学生,站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端,不同排法的种数为(  )
A.3 720   B.3 600
C.3 840   D.4 320
A [法一(特殊元素优先法):按甲是否在最右端分两类:
第一类,甲在最右端,有种方法;
第二类,甲不在最右端,甲有个位置可选,乙也有个位置可选,其余5人有种排法,即种方法.故有=3 720种方法.
法二(间接法):无限制条件的排列方法共有种,
而甲在最左端,乙在最右端的排法分别有种,
甲在最左端且乙在最右端的排法有种.
故有=3 720种方法.]
14.用数字0,1,2,3,4,5可组成________个没有重复数字的四位数,在这些四位数中,按从小到大的顺序排成一个数列,则第85个数为________.
300 2 301 [(1)法一(直接法):=300(个).
法二(间接法):=300(个).
(2)1在首位的数的个数为=60.
2在首位且0在第二位的数的个数为=12.
2在首位且1在第二位的数的个数为=12.
以上四位数共有84个,故第85个数是2 301.]
15.用0,1,2,3,4这五个数字,可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数.
(1)被4整除;
(2)比21 034大的偶数;
(3)左起第二、四位是奇数的偶数.
[解] (1)被4整除的数,其特征是末两位数是4的倍数,可分两类:当末两位数是20,40,04时,其排列数为3=18个,当末位数是12,24,32时,其排列数为3=12个,
故满足条件的五位数共有3=30个.
(2)可分五类:当末位数字是0,而首位数字是2时,有=6个;
当末位数字是0,而首位数字是3或4时,有=12个;
当末位数字是2,而首位数字是3或4时,有=12个;
当末位数字是4,而首位数字是2时,
有=3个;
当末位数字是4,而首位数字是3时,
有=6个.
故有6+12+12+3+6=39个.
(3)可分两类,0是末位数有=4个,
2或4是末位数有=4个,
故共有4+4=8个.
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说明:选择题每题5分,填空题每题5分,本试卷共105分
一、选择题
1.从6本不同的书中选出4本,分别发给4个同学,已知其中两本书不能发给甲同学,则不同分配方法有(  )
A.180种   B.220种
C.240种   D.260种
2.从8人中选3人排队,其中甲乙不分开参排,若参排,就一定排在一起,其不同的排法共有(  )
A.252种   B.278种
C.144种   D.362种
3.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(  )
A.24   B.18
C.12   D.6
4.若把英语单词“Look”的字母顺序写错了,则可能出现的错误的种数为(  )
A.24   B.10
C.9   D.11
5.4名男生和4名女生并坐一排照相,女生要排在一起,不同排法的种数为(  )
A.
二、填空题
6.编号为A,B,C,D,E的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个盒子只能放一个小球,且A球不能放在1,2号盒子中,B球必须放在与A球相邻的盒子中,则不同的放法有________种.
7.显示屏上的七个小孔排成一排,每个小孔可以显示红、黄、蓝三种颜色,或不显示.若每次由其中三个小孔显示一组红、黄、蓝三色信号,但相邻的两个小孔不同时显示,则该显示屏能够显示的不同信号数为________.
8.从1,2,3,4,…,10这十个数中任取两个数,分别做对数的底数与真数,可得到________个不同的对数值.
三、解答题
9.如图,某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的,七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内,且恰有一种颜色涂在相对区域内,则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种?
10.某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排法?
11.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座,则不同的坐法有(  )
A.10种   B.16种
C.20种   D.24种
12.从0,1,3,5,7中取出不同的三个数作为一元二次方程ax2+bx+c=0的系数,其中有实数根的不同的一元二次方程有(  )
A.16个   B.17个
C.18个   D.19个
13.7名学生,站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端,不同排法的种数为(  )
A.3 720   B.3 600
C.3 840   D.4 320
14.用数字0,1,2,3,4,5可组成________个没有重复数字的四位数,在这些四位数中,按从小到大的顺序排成一个数列,则第85个数为________.
15.用0,1,2,3,4这五个数字,可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数.
(1)被4整除;
(2)比21 034大的偶数;
(3)左起第二、四位是奇数的偶数.
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学习任务 核心素养
1.通过实例进一步理解排列的概念.(易混点) 2.掌握几种具有限制条件的排列问题.(重点) 通过排列的实际应用,培养数学建模素养.
类型1 特殊元素指定位置的排列问题
【例1】 用0,1,2,3,4,5这六个数字:
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?
(3)能组成多少个比1 325大的无重复数字的四位数?
[思路点拨] 该题目中特殊元素为0,特殊位置为首位,本着先特殊后一般的原则,将问题分解为几个易求解的简单问题.
[尝试解答] ________________________________________________________
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 数字排列问题是排列问题的重要题型,解题时要从限制条件入手,找出解题的思路.常见限制条件有:(1)首位不能为0;(2)有无重复数字;(3)奇、偶数;(4)某数的倍数;(5)大于(或小于)某数.
[跟进训练]
1.由A,B,C,…等7人担任班级的7个班委.
(1)若正、副班长两职只能由A,B,C这三人中的两人担任,则有多少种分工方案?
(2)若正、副班长两职至少要选A,B,C这三人中的1人担任,有多少种分工方案?
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类型2 “相邻”与“不相邻”的排列问题
【例2】 3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数.
(1)全体站成一排,男、女各站在一起;
(2)全体站成一排,男生必须排在一起;
(3)全体站成一排,男生不能排在一起;
(4)全体站成一排,男、女生各不相邻.
[思路点拨] (1)、(2)元素相邻,可用“捆绑法”,(3)、(4)元素不相邻,可用“插空法”.
[尝试解答] ________________________________________________________
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 1.关于某些元素“相邻”的排列问题,可以把相邻元素看成一个整体,当成一个元素去和其他元素进行排列,此方法可称为“捆绑法”.
2.对于元素“不相邻”的排列问题,可先将允许相邻的元素进行排列,然后在它们的空位处插入不能相邻的元素,此方法可称为“插空法”.
[跟进训练]
2.一台节目中有独唱节目5个,现有3个舞蹈节目要插入,且每个舞蹈节目必须排在两个独唱节目之间,则节目单的排法种数是(  )
A.   C.
C.  D.
类型3 排列中的定序问题
【例3】 七个人站成一排,其中甲在乙前(不一定相邻),乙在丙前,则共有多少种不同的站法?
[思路点拨] 从整体角度出发,先不考虑甲、乙、丙三人的顺序,即七个人任意排,有种不同的排法,在这所有排法中,任取一种排法,让其余四个人站在原位置不动,而甲、乙、丙三人任意交换位置,即将这三个人进行全排列,共有种不同的站法,每类中有且仅有一个符合题意的排列,从而可求出所求的排列数.还可用插空法来求解.
[尝试解答] ________________________________________________________
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 若m+n个元素排成一列,其中有m个元素之间的顺序固定不变的解题步骤
(1)从m+n个位置中安排n个元素有种方法.
(2)对每一个排列剩下m个元素,填这m个元素,方法只有一种方法,由分步乘法计数原理可知,共有种方法.
[跟进训练]
3.7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男生4人,女生2人,若4名男生身高都不相等,按从高到低的顺序站,则有________________种不同的站法.
1.工作人员计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同陈列方式的种数为(  )
A. B.
C. D.
2.在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是(  )
A.6   B.12
C.18   D.24
3.如图,将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,下面是一种填法,则不同的填写方法共有(  )
1 2 3
3 1 2
2 3 1
A.6种   B.12种
C.24种   D.48种
4.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛,3名主力队员安排在第一、三、五位置,其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上,那么不同的出场安排有________种.
5.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,求其中数字1,2相邻的偶数的个数.
___________________________________________________________________
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1.对于特殊元素指定位置的排列问题可用直接法去排,也可用间接法去排.
2.对于“相邻”问题可用“捆绑法”排列,对于“不相邻”问题,可用“插空法”排列.
3.对于有固定顺序的排列,可优先考虑其他元素的排列问题,有固定顺序的排列只有一种方法.
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1.C [因为其中两本书不能发给甲同学,所以甲只能从剩下的4本中分一本,然后再选3本分给3个同学,故有·=240种.]
2.C [根据甲、乙的参排情况加以分类.若甲乙不参排,不同的排法有=120种:若甲、乙参排,不同的排法有=24种:所以不同的排法共有120+24=144种,即选C.]
3.B [当选0时,先从1,3,5中选2个数字有3种方法,然后从选中的2个数字中选1个排在末位有两种方法,剩余1个数字排在首位,共有3×2=6(种)方法:当选2时,先从1,3,5中选2个数字有3种方法,然后从选中的2个数字中选1个排在末位有两种方法,其余2个数字全排列,共有3×2=12(种)方法.依分类加法计数原理知共有6+12=18(个)奇数.]
4.D [Look有两个相同字母,故可能出现错误的种数为-1=11(种).本题也可列举求解.]
5.B [因为4名女生要排在一起,所以先将4名女生捆绑与其他4名男生一起排列,然后再将4名女生排列,共有种排法.]
6.30 [根据A球所在位置分三类:
(1)若A球放在3号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,有=6种不同的放法,则根据分步乘法计数原理,此时有=6种不同的放法:
(2)若A球放在5号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,有=6种不同的放法,则根据分步乘法计数原理,此时有=6种不同的放法:
(3)若A球放在4号盒子内,则B球可以放在2号,3号,5号盒子中的任何一个,余下的三个盒子放球C,D,E,有=6种不同的放法,根据分步乘法计数原理,此时有=18种不同的放法.
综上所述,由分类加法计数原理得不同的放法共有6+6+18=30种.]
7.60 [3个显示小孔不相邻,即在4个不显示的小孔的5个空当中插入3个显示的小孔,又因3个小孔显示的颜色不相同,故有=60种不同的信号数.]
8.69 [从10个数中取出两个数的所有排列数为=10×9=90.
当1为底数时,不合题意的共有9个,当1为真数时,对数值都是零,应去掉8个,又因为log23与log49相等,log32与log94相等,log24与log39相等,log42与log93相等.所以共有不同的对数值90-9-8-4=69个.]
9.
解:如图,对8个区域进行编号,任选一组对称区域(如1与5)同色,用7种颜色涂8个区域的不同涂法有7!种,又由于1与5,2与6,3与7,4与8是对称的,通过旋转后5,6,7, 8,1,2,3,4与1,2,3,4,5,6,7,8是同一种涂色,即重复染色2次,故此种图案至多有=2 520种.
10.解:6门课总的排法是种,其中不符合要求的可分为:体育排在第一节有种排法:数学排在最后一节有种排法:但这两种方法,都包括体育在第一节,数学排在最后一节,这种情况有种排法,因此符合条件的排法应是:=504种.
11.C [一排共有8个座位,现有两人就坐,故有6个空座.
∵要求每人左右均有空座,∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐,即有=20种坐法.故选C.]
12.C [方程有实根,需Δ=b2-4ac≥0.当c=0时,a,b可在1,3,5,7中任取两个,有个:当c≠0时,b只能取5,7,b取5时,a,c只能取1,3,共有个:b取7时,a,c可取1,3或1,5,有2个,所以有实数根的不同的一元二次方程共有=18个.]
13.A [法一(特殊元素优先法):按甲是否在最右端分两类:
第一类,甲在最右端,有种方法:
第二类,甲不在最右端,甲有个位置可选,乙也有个位置可选,其余5人有种排法,即····=3 720种方法.
法二(间接法):无限制条件的排列方法共有种,
而甲在最左端,乙在最右端的排法分别有种,
甲在最左端且乙在最右端的排法有种.
故有=3 720种方法.]
14.300 2 301 [(1)法一(直接法):·=300(个).
法二(间接法):=300(个).
(2)1在首位的数的个数为=60.
2在首位且0在第二位的数的个数为=12.
2在首位且1在第二位的数的个数为=12.
以上四位数共有84个,故第85个数是2 301.]
15.解:(1)被4整除的数,其特征是末两位数是4的倍数,可分两类:当末两位数是20,40,04时,其排列数为3=18个,当末位数是12,24,32时,其排列数为3=12个,
故满足条件的五位数共有3=30个.
(2)可分五类:当末位数字是0,而首位数字是2时,有=6个:
当末位数字是0,而首位数字是3或4时,有=12个:
当末位数字是2,而首位数字是3或4时,有=12个:
当末位数字是4,而首位数字是2时,有=3个:
当末位数字是4,而首位数字是3时,有=6个.
故有6+12+12+3+6=39个.
(3)可分两类,0是末位数有=4个,
2或4是末位数有=4个,故共有4+4=8个.
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