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贵州省遵义市第四中学2025学年高二下学期期末模拟考试数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知在等差数列中，，则（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．设一组成对数据的相关系数为r，线性回归方程为，则下列说法正确的为（　　）.
A．越大，则r越大 B．越大，则r越小
C．若r大于零，则一定大于零 D．若r大于零，则一定小于零
4．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B = “抽到二等品”，事件C =“抽到三等品”，且已知 P（A）= 0.65 ，P(B)=0.2 ，P(C)=0.1。则事件“抽到的不是一等品”的概率为（　　）
A．0.65 B．0.35 C．0.3 D．0.005
5．如图，在平面四边形中，记的面积分别为，则的值为（　　）
A．2 B． C．1 D．
6．已知 ， ， ，且 ，则 的值（　　）
A． B． C． D．
7．若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
8．有男 女教师各1人，男 女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（　　）
A．10种 B．12种 C．15种 D．20种
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（　　）
A．若随机变量X服从两点分布且，则
B．若随机变量满足，，则
C．若随机变量，则
D．设随机变量，若恒成立，则的最大值为12
10．2023年3月30日，西南农业科技博览会暨云南一东南亚五金机电博览会在昆明滇池国际会展中心开幕．展览面积6万平米，参展企业1500余家，采购商8万人次．假设该博览会供应的五金机电中，各品牌的市场占有率和优质品率的信息如下表所示．在该会场中任意购买一品类五金机电，用，，分别表示买到的五金机电为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则（　　）
品牌 甲 乙 其他
市场占有率 50% 30% 20%
优质品率 80% 90% 70%
A． B． C． D．
11．已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（　　）
A．数列的首项为 B．数列的通项公式为
C．数列为递减数列 D．数列的前项积为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种　 　．（以数字作答）
13．在展开式中，常数项是　 　.
14．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，斜率为1的直线l过F与C交于A，B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则p＝　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知四棱锥中，，，，，，
（1）求证：
（2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.
16． 袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球个，白球个，.从中任取2个球，至少有1个红球的概率为.
（1）任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率；
（2）任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得分，求总得分的概率分布列及数学期望.
17．已知数列的前项和为，且．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最大值．
18．某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响．
（1）在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率；
（2）从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望．
19．已知数列是等差数列，且，数列满足，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式；
（3）设数列的前项和为，证明：.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】B,D
10．【答案】A,C
11．【答案】A,B,C
12．【答案】72
13．【答案】-6
14．【答案】4
15．【答案】（1）证明：在梯形ABCD中，因为，，，，
所以，，所以，则，
在中，，，满足，则，
因为平面PBD，平面PBD，且，所以平面PBD，
又因为平面PBD，所以；
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
设平面PBD的法向量为，则，即，取，
设直线PC与平面PBD所成角为，则，
则求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为
16．【答案】（1）解：，得，故黑球3个，红球5个，白球2个，
事件：取出的3球中恰有2球同色，则.
（2）解：的可能取值为，
，
，
，
的概率分布列
-2 -1 0 1 2 4
.
17．【答案】（1）证明：因为数列满足①，
当时，有②，
①②可得：，
即，
变形可得，
故数列是以为等差的等差数列.
（2）解：由（1）可知，数列是以为等差的等差数列，
若，，成等比数列，则有，
即，解得，
所以，
所以数列单调递减，
当时，；
当时，；
当时，，
故当或时，取得最大值，
则．
18．【答案】（1）解：设事件A＝{A老师表示通过}，事件B＝{B老师表示通过}，事件C＝{C老师表示通过}，事件D＝{歌手通过晋级}，事件E＝{歌手经过复审}，
则，，，
，因此，
所以它经过了复审的概率为．
（2）解：依题意，X的可能取值为0，1，2，3，显然，，则
，
，
所以X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
数学期望为．
19．【答案】（1）解：由题意可知，
则，故，
由，可得，
所以数列的公差，
所以，
由，
叠加可得，
整理可得，
当时，满足上式，
所以.
（2）解：不妨设，
则，
可得，
当时，，不合题意，
当时，，
所以在数列中均存在公共项，
又因为，
所以.
（3）证明：当时，，结论成立，
当时，，
所以
综上所述，.

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