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过教材　要点概览
1.几何体中的最短路径问题
(1)两点之间,　 　.
(2)解题思路:将立体图形转化为平面图形,根据已知条件构造直角三角形,借助勾股定理求解.
☆　问题解决策略:反思
线段最短
2.问题解决策略:反思
解决问题之后的反思,一般可以关注以下几个方面:反思解决问题的过程,强化解决问题的经验;比较解决问题的方法,形成多样的解决问题的方法;思考方法的本质,促进方法的运用;改变问题的条件,研究更多的问题.
精讲练　新知探究
探究点　几何体中的最短路径问题
例题　如图所示,有一个长方体盒子,其棱长分别为AB=BC=6 cm,AA1=14 cm,假设昆虫甲从盒外顶点C1开始以1 cm/s的速度在盒子的外部沿棱C1C向下爬行,同时昆虫乙从盒外顶点A以相同的速度在盒外壁的侧面上爬行,那么昆虫乙至少需要爬行多长时间才能捕捉到昆虫甲
方法归纳
求解立体图形表面上两点之间的最短距离问题,一般是利用展开图将其转化为求平面上两点间的最短距离.对于长方体来说,当这两点为体对角线两端点时,由于对面是相同的,因此没有必要全部展开,只需将前面和右面展开,前面和上面展开,左面和上面展开,通过比较取最小距离即可,且发现有如下结论:对于长、宽、高三个数据,把较小的两个数据的和作为一条直角边的长,最大数据作为另一条直角边的长,这时所构成的直角三角形斜边的长即为最短距离.
巩固训练
1.如图所示,长方体的底面边长为1 cm和3 cm,高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B,那么所用细线最短为　 　cm.
10
2.如图所示的是一个圆柱形无盖玻璃容器的示意图,其高为18 cm,底面周长为60 cm,在外侧距下底1 cm的点C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm的F处有一苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所爬的最短路线的长度.
☆　问题解决策略:反思
B
2.如图所示,在一个高为5 m,长为13 m的楼梯表面铺地毯,则地毯长度至少应是( )
A.13 m B.17 m
C.18 m D.25 m
B
3.如图所示是一个底面为等边三角形的三棱镜,在三棱镜的侧面上,从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为5 cm,底面边长为4 cm,则这圈金属丝的长度至少为( )
A.8 cm B.13 cm
C.12 cm D.15 cm
B
4.易错题　如图所示,四边形ABCD是长方形地面,长AB=10 m,宽AD=5 m,中间竖有一堵砖墙高MN=1 m,一只蚂蚁从点A爬到点C,它必须翻过中间那堵墙,则它至少要走　 　m.
13
5.综合与探究　(2024滨州改编)【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现:
①如图所示,在△ABC中,若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C;
②某同学顺势提出一个问题:既然①正确,那么进一步推得AB=AC,即知AB
+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能推出∠B=∠C吗
基于此,社团成员小军、小民进行了探索研究,发现确实能推出∠B=∠C,并分别提供了不同的验证方法.
备用图
小军 小民
分别延长DB,DC至E,F两点,使得…… 因为AD⊥BC,所以△ADB 与△ADC均为直角三角形,根据勾股定理,得……
【问题解决】
(1)完成①的说理过程;
解:(1)因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°.
在△ADB和△ADC中,
因为AD=AD,∠ADB=∠ADC,BD=CD,
所以△ADB≌△ADC(SAS).
所以∠B=∠C.
(2)把②中小民的验证过程补充完整.
解:(2)因为AD⊥BC,
所以△ADB 与△ADC均为直角三角形,
根据勾股定理,得AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
所以(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD).
又因为AB+BD=AC+CD,且均为正值,
所以AB-BD=AC-CD.①
已知AB+BD=AC+CD,②
①+②,得 2AB=2AC,
所以AB=AC,所以∠B=∠C.
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过教材　要点概览
1.面积法验证勾股定理:利用同一个图形的面积用不同式子表示可以验证勾股定理;利用变形前后的两图形面积相等可以验证勾股定理.
2.运用勾股定理解决实际问题:把直角三角形的“形”,即有一个角是
　 　,转化为三边“数”的关系,即　 .
　 .
第2课时　验证勾股定理及其简单应用
直角
斜边的平方等于两直角边的平
方和
精讲练　新知探究
请你利用图(2)推导上面的关系式.
归纳总结
拼图法是验证勾股定理的一种有效方法,一般遵循以下步骤:拼出图形→用不同方法表示出相关图形面积→找出等量关系→变形→推导出勾股定理.
巩固训练
1.(2024福建三明期中)下面四幅图中不能验证勾股定理的是( )
A B C D
D
探究点二　勾股定理的实际应用
例2　如图所示(示意图),一棵高 12 m 的大树被折断,折断处A与地面的距离 AC=4.5 m(点B为大树顶端着地处).在大树倒下的方向上停着一辆小轿车,小轿车距大树底部C的距离CD(点D在CB的延长线上)为 6.5 m,求大树顶端着地处B到小轿车的距离BD.
解:由题意,得
AB=12-AC=12-4.5=7.5.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
BC2=AB2-AC2=7.52-4.52=36,
所以BC=6.
所以BD=CD-BC=6.5-6=0.5.
所以大树顶端着地处B到小轿车的距离BD为0.5 m.
巩固训练
2.学校旗杆上的绳子垂到地面还多2 m,将绳子的下端拉开6 m后,下端刚好接触地面,则旗杆的高度为( )
A.8 m B.10 m C.12 m D.14 m
3.如图所示,有一块长方形花圃,有少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了　　　 的路,却踩伤了花草.
( )
A.5 m B.4 m
C.3 m D.2 m
A
B
4.王大爷准备建一个蔬菜大棚,棚宽8 m,高 6 m,长20 m,示意图如图
所示,棚的斜面用塑料薄膜遮盖,不计墙的厚度,阳光透过的最大面积
是　 　m2.
200
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过教材　要点概览
1.直角三角形的性质
(1)有一个内角为　 　,两个锐角　 　.
(2)两条直角边的平方和等于斜边的　 　.
2.直角三角形的判定
(1)有一个角为　 　或者有两个角　 　的三角形是直角三角形.
2　一定是直角三角形吗
直角
互余
平方
直角
互余
(2)如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.如图所示,在△ABC中,已知AB=a,BC=b,AC=c,且a,b,c满足a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形.
3.勾股数
满足a2+b2=c2的三个　 　,称为勾股数.
正整数
精讲练　新知探究
解:(1)因为82+152=289,172=289,所以a2+b2=c2.
所以这个三角形是直角三角形.
探究点一　由三边关系判定直角三角形
例1　判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形.
(1)a=8,b=15,c=17;
(2)a=1.8,b=3,c=2.4;
(2)因为1.82+2.42=9,32=9,所以a2+c2=b2.
所以这个三角形是直角三角形.
归纳总结
判断一个三角形是不是直角三角形主要有两个路径:
一是当已知条件与角度有关系时,判断是否有直角.
二是当已知条件与边长有关系时,利用三角形的三边关系进行判断,其一般步骤如下:
(1)确定最长边(通常设为c,另两条边长分别为a,b).
(2)计算c2与a2+b2的值,若c2=a2+b2,则该三角形是直角三角形;否则,不是.
巩固训练
1.(2024成都期末)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是( )
A.a=0.6,b=0.8,c=1
B.∠C=∠A+∠B
C.a∶b∶c=5∶12∶13
D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
D
2.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D.如果AD=6,BD=9,CD=4,那么∠BAC是直角吗 为什么
解:∠BAC是直角.理由如下:
因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°.
所以AD2+BD2=AB2,AD2+CD2=AC2.
因为AD=6,BD=9,CD=4,
所以AB2=117,AC2=52.
因为BC=BD+CD=13,所以BC2=169.
所以AB2+AC2=BC2.
所以∠BAC是直角.
3.如图所示,若小方格的边长为1,请你根据所学的知识回答下列问题.
(1)求△ABC的面积;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
因为小方格的边长为1,
所以AC2=12+82=65,AB2=32+22=13,BC2=62+42=52.
所以AB2+BC2=13+52=65,所以AB2+BC2=AC2.
所以△ABC是直角三角形.
①⑤
归纳总结
(1)如果a是一个大于1的奇数,b,c是两个连续自然数,且有a2=b+c,则a,b,c为一组勾股数.如:4,5为两个连续自然数且32=4+5,则3,4,5为一组勾股数.还有5,12,13;7,24,25;11,60,61等.
(2)如果a,b,c为一组勾股数,那么na,nb,nc也是一组勾股数,其中n为正整数,例如:3,4,5为一组勾股数,那么6,8,10是一组勾股数,9,12,15也是一组勾股数.
归纳总结
(3)若n是大于1的正整数,则n2-1,2n,n2+1是勾股数.
(4)若n为正整数,则2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1是勾股数.
(5)若m>n,m,n为正整数,则m2-n2,2mn,m2+n2是勾股数.
巩固训练
4.以下几组数为勾股数的一组是( )
A.1,2,3 B.2,3,4
C.3,4,5 D.0.6,0.7,0.8
5.(2024萍乡质检)若正整数a,b,c是一组勾股数,则下列各组数一定是勾股数的为( )
A.3a,4b,5c B.a2,b2,c2
C.3a,3b,3c D.a+3,b+3,c+3
C
C
6.(2024恩施统考)观察下列表格中数组的规律.
根据上表的规律,写出第n组的三个数满足的等式:　 .
　.
(2n+1)2=(2n2+2n)+
组别 数字 等式
1 3,4,5 32=4+5
2 5,12,13 52=12+13
3 7,24,25 72=24+25
4 9,40,41 92=40+41
… … …
(2n2+2n+1)
基础巩固练 01
2　一定是直角三角形吗
D
D
3.在下列均由16个小正方形组成的正方形网格中,各有一个格点三角形,那么这4个格点三角形中不是直角三角形的是( )
A B C D
C
4.满足下列条件的△ABC(a,b,c为三边长)中,不是直角三角形的是( )
A.∠B=50°,∠C=40°
B.a2=c2-b2
C.a2=5,b2=12,c2=13
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
5.如图所示,以△ABC的三边为边长向外作正方形,得到的正方形的面积依次为36,64,100,则∠1+∠2=　 　°.
C
90
6.判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.若是,请指出哪个角是直角.
(1)在△ABC中,AC=12,AB=20,BC=16;
解:(1)因为AC2+BC2=122+162=144+256=400,
AB2=202=400,
所以AC2+BC2=AB2,
所以△ABC为直角三角形,AB边所对的∠C是直角.
(2)在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=6;
(3)在△ABC中,AB∶BC∶AC=8∶15∶17.
解:(2)因为AC2+BC2=32+42=25,AB2=62=36,
所以AC2+BC2≠AB2,
所以△ABC不是直角三角形.
(3)由题意设AB=8k,BC=15k,AC=17k(k>0).
因为AB2+BC2=64k 2+225k2=289k2,
AC2=(17k)2=289k2,所以AB2+BC2=AC2,
所以△ABC是直角三角形,∠B是直角.
知识点二　勾股数
7.下列各组数中,是勾股数的是( )
A.-6,-8,-10 B.0.3,0.4,0.5
C.8,15,16 D.9,12,15
8.开放性题　将勾股数3,4,5扩大到原来的2倍,3倍,4倍,…,可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16,20,…,则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数,请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数:　 .
　.
D
5,12,13;8,
15,17(答案不唯一)
能力提升练 02
9.易错题　已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
D
10.(长沙中考)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何 ”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里、12里、13里,问这块沙田面积有多大 题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为( )
A.7.5平方千米 B.15平方千米
C.75平方千米 D.750平方千米
A
11.(2024郑州月考)如图所示,△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中,顶点都在格点上,下列结论不正确的是( )
D
素养培优练 03
12.综合与探究 阅读下列内容:设a,b,c是一个三角形的三条边,且a是最长边,我们可以利用a,b,c三边长之间的关系来判断这个三角形的形状:①若a2=b2+c2,则该三角形是直角三角形;②若a2>b2+c2,则该三角形是钝角三角形;③若a2根据上述内容回答下面问题:
(1)若一个三角形的三条边长分别是6,7,8,则该三角形是　　 　　三角形;
解:(1)锐角
(2)若一个三角形的三条边长分别是5,12,x,且这个三角形是直角三角形,则x2的值为　　　　　　　　;
(3)若一个三角形的三条边长分别是m2-n2,2mn,m2+n2,请判断这个三角形的形状,并写出理由.
解:(2)169或119
(3)这个三角形是直角三角形.理由如下:
因为(m2-n2)2+(2mn)2
=m4-2m2n2+n4+4m2n2
=m4+2m2n2+n4
=(m2+n2)2,
所以这个三角形是直角三角形.
解题策略
利用三边长判定直角三角形的步骤
(1)“找”:找出三角形三边中的最长边;
(2)“算”:计算其他两边的平方和与最长边的平方;
(3)“判”:若两者相等,则这个三角形是直角三角形;否则不是.
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过教材　要点概览
勾股定理(直角三角形中的三边长度关系)
(1)我国古代把直角三角形中　 　的直角边称为勾,　 　的直角边称为股,　 　称为弦.
(2)勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于　 　的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么　 　.
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
第一章 勾股定理
较短
较长
斜边
斜边
a2+b2=c2
精讲练　新知探究
探究点一　勾股定理
例1　观察下面两幅图(每个小正方形的边长为1):
(1)将表格填写完整:
图 A的面积 (单位面积) B的面积 (单位面积) C的面积
(单位面积)
左图 　　　 　　　 　　　
右图 　　　 　　　 　　　
解:(1)4　9　13　16　9　25
(2)两图中三个正方形A,B,C的面积有什么关系
(3)两图中三个正方形A,B,C围成的直角三角形的三边长有什么关系
(4)假设正方形A,B,C所围成的直角三角形的边长分别为a,b,c,你能用a,b,c表示正方形A,B,C的面积吗
(5)该直角三角形三边长度之间存在什么关系
解:(2)正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积.
(3)正方形A的边长的平方+正方形B的边长的平方=正方形C的边长的平方.
(4)SA=a2,SB=b2,SC=c2.
(5)该直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
方法规律
“勾股树”中的常见结论如图所示.
巩固训练
1.如图所示,以直角三角形的三边分别为边向外作正方形,则字母B所代表的正方形的面积是( )
A.12 B.13 C.144 D.194
C
2.整体思想　如图所示,所有的四边形都是正方形,三角形是直角三角形,且其中最大正方形的面积为6 cm2,则图中所有正方形的面积之和为　 　cm2.
3.如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7 cm,正方形A,B,C的面积分别是8 cm2,10 cm2,14 cm2,则正方形D的面积是　 　 cm2.
12
17
探究点二　利用勾股定理进行计算
例2　如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若a=9,b=12,求c的值.
(2)若AB=25,AC=20,求BC的值.
解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,a=9,b=12,由勾股定理,得a2+b2=c2,所以c2=a2+b2=92+122=225.所以c=15.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=25,AC=20,
由勾股定理,得BC2=AB2-AC2=252-202=225.所以BC=15.
归纳总结
已知一个直角三角形中的两边长分别为m,n(m>n),利用勾股定理求第三边长时,通常分两种情况:①若m为斜边,n为直角边,则有m2-n2=(另一直角边)2;②若m,n都为直角边,则有m2+n2=(斜边)2.
巩固训练
4.(2024郑州期中)桐桐早晨从家出发去上学,先向正南方向走了1.5 km,接着向正东方向走了2 km到达学校,桐桐家到学校的距离为( )
A.2 km B.2.5 km
C.3 km D.3.5 km
5.分类讨论　一个直角三角形的三边长分别为3,4,x,则x2为( )
A.5 B.25
C.7 D.7或25
B
D
6.如图所示,正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36,则以AD为直径的半圆的面积是　 　.
8π
基础巩固练 01
知识点一　勾股定理
1.在直角三角形中,若两条直角边长分别为3,4,则斜边长为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
2.在Rt△ABC中,若斜边AB=3,则AC2+BC2等于( )
A.6 B.9 C.12 D.18
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
第一章 勾股定理
A
B
3.易错题　下列说法中正确的是( )
A.已知a,b,c是三角形的三边,则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中,∠C=90°,则a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中,∠B=90°,则a2+b2=c2
C
4.(2024自贡模拟)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( )
A
5.在Rt△ABC中,∠C=90°.若AB=17,AC=15,则△ABC的周长为　 　;
若△ABC的周长为24,斜边的长与一直角边的长之比为5∶4,则
△ABC的面积为　 　.
40
24
知识点二　利用勾股定理进行计算
6.(2024易县期末)如图所示是由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形,其中阴影部分面积是( )
A.16 B.25 C.144 D.169
7.(2024蒙城期末)在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,则△ABC的面积
为　 　 .
60
B
8.如图所示,在四边形ABCD中,∠BAD=∠DBC=90°.若AD=4 cm,AB=3 cm,
CD=13 cm,求四边形ABCD的面积.
能力提升练 02
9.(2024成都校级期末)如图所示是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是4,6,2,4,则最大正方形E的面积是( )
A.64 B.136 C.72 D.16
C
10.数学文化　(2024芜湖二模)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以各边为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当AC=4,BC=2时,阴影部分的面积为( )
A.4 B.4π
C.8π D.8
A
11.(2024甘孜)如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,折叠△ABC,使点A与点B重合,折痕DE与AB交于点D,与AC交于点E,则CE的长为　 　.
3
题组　利用勾股定理解决正方形拼图问题
12.(日照中考)已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正方形,把两个较小的正方形放置在最大正方形内,如图所示.设三个正方形无重叠部分的面积为S1,均重叠部分的面积为S2,则( )
A.S1>S2
B.S1C.S1=S2
D.S1,S2的大小关系无法确定
C
13.数学文化　勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.勾股定理描述:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如图所示,分别以直角三角形的各边为边向外作正方形,再把较小的两个正方形按右图的方式放置在最大正方形内,则图中阴影部分的面积为( )
C
14.如图所示,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
作AD⊥BC于D,设BD = x,用含x的代数式表示CD.
根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”,建立方程模型求出x.
利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形面积.
→
→
素养培优练 03
15.分类讨论　如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,AC=6 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度运动,设运动时间为t s.
(1)求BC边的长;
(2)连接PA,当△ABP为等腰三角形时,t的值为　　　　.
解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,AC=6 cm,
所以BC2=AB2-AC2=102-62=82,所以BC=8 cm.
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勾股定理及其逆定理的实际应用
勾股定理是直角三角形的性质定理,已知三角形是直角三角形,可得到三边长的数量关系,是由形到数的转化,可以已知两边求第三边;而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,已知三角形三边的数量关系满足a2+b2=c2,得到三角形是直角三角形,且最长边所对的角为　 　,是由数到形的转
化,可以用来判定直角三角形或两条线段互相垂直.
3　勾股定理的应用
直角
精讲练　新知探究
探究点　勾股定理及其逆定理的实际应用
例题　如图所示,在一条东西走向的河流一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点D(A,D,B在同一条直线上),并新修一条路CD,测得CB=6.5 km,CD=6 km,BD=2.5 km.
(1)说明:CD⊥AB;
解:(1)因为CB=6.5 km,CD=6 km,BD=2.5 km,62+2.52=6.52,
所以CD2+BD2=CB2.
所以△CDB为直角三角形且∠BDC=90°.
所以CD⊥AB.
(2)求原来的路线AC的长.
解:(2)设AC=x km,则AD=(x-2.5)km.
因为CD⊥AB,
所以∠ADC=90°.
所以CD2+AD2=AC2,
即62+(x-2.5)2=x2,解得x=8.45.
答:原来的路线AC的长为8.45 km.
巩固训练
1.(2025淄博期末)如图所示,已知钓鱼竿AC的长为10 m,露在水面上的鱼线BC长为6 m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC′的位置,此时露在水面上的鱼线B′C′为8 m,则BB′的长为( )
A.1 m B.2 m
C.3 m D.4 m
B
2.一块木板如图所示,已知AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,∠B=90°,则此木板的面积为　 　.
24
3.如果只给你一把带刻度的直尺,你能否检验∠MPN是不是直角 简述你的作法.
解:能.作法如下(如图所示):
①在射线PM上截取PA=3 cm,确定A点,在射线PN上截取PB=4 cm,确定B点.
②连接AB得△PAB.
③用刻度尺量取AB的长度,若AB恰为5 cm,则说明
∠MPN是直角,否则∠MPN不是直角.(答案不唯一)
知识点一　勾股定理的实际应用
1.如图所示,有两棵树,一棵高8 m,另一棵高2 m,两树相距8 m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行( )
A.7 m B.8 m
C.9 m D.10 m
基础巩固练 01
3　勾股定理的应用
D
2.如图所示,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地的高度AB为2.1米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门,缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米),感应门自动打开,则此时人头顶离感应器的距离AD为( )
A.1.2米 B.1.3米 C.1.5米 D.2米
B
3.如图所示是一透明圆柱状玻璃杯,从内部测得底面半径为6 cm,高为
16 cm,今有一根长22 cm的吸管任意放入杯中,若不计吸管粗细,则吸管露在杯口外的长度最少为　 　cm.
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4.如图所示,AB为一棵大树,在树上距地面10 m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上的C处有一筐水果,一只猴子从D处上爬到树顶A处,利用拉在A处的滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D处滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15 m,求树高AB.
解:设AD=x m,则AB=(10+x)m,AC=(15-x)m,BC=5 m.
在Rt△ABC中,根据勾股定理,得(x+10)2+52=(15-x)2,
解得x=2.所以树高AB=10+2=12(m).
知识点二　勾股定理及其逆定理的实际应用
5.两艘轮船从同一港口同时出发,甲船时速40海里,乙船时速30海里,两个小时后,两船相距100海里,已知甲船的航向为北偏东46°,则乙船的航向为( )
A.南偏东44°
B.北偏西44°
C.南偏东44°或北偏西44°
D.无法确定
C
6.如图所示,南北方向的领海线PQ以东为我国领海区域,以西为公海.某日22时30分,我边防巡逻艇A发现其正西方向有一可疑船只C向我国的领海靠近,便立即通知正处于PQ上的巡逻艇B注意其动向.经观测,发现A艇与可疑船只C之间的距离为10海里,A,B两艇之间的距离为6海里,B艇与可疑船只C之间的距离为8海里.若该可疑船只的航行速度为12.8海里/时,则它最早可在何时进入我国的领海区域
能力提升练 02
7.如图所示,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙脚的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.若保持梯子底端位置不变,将梯子斜靠在右墙,顶端距离地面2米.则小巷的宽度为( )
A.0.7米 B.1.5米
C.2.2米 D.2.4米
C
8.如图所示,在离水面高度为8 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17 m,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10 m,则船向岸边移动了　 　m.
9
9.如图所示,一架25 m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为24 m.
(1)求这架梯子的底端到墙的距离OB;
解:(1)由题意可知∠O=90°,
在Rt△AOB中,
因为AB=25 m,AO=24 m,
所以OB2=AB2-AO2=252-242=49,
所以OB=7 m.
(2)当BD=8 m时,AC的长是多少米
解:(2)因为OB=7 m,BD=8 m,所以OD=15 m.
又因为CD=25 m,
所以OC2=252-152=400,
所以OC=20 m.
因为AO=24 m,
所以AC=AO-OC=4 m.
素养培优练 03
10.如图所示,铁路MN和公路PQ在点O处交会.公路PQ上A处距离O点240 m,距离MN这条铁路120 m.如果火车行驶时,周围200 m以内会受到噪声的影响,那么火车在铁路MN上沿ON方向以72 km/h的速度行驶时:
(1)A处受噪声影响吗 请说明理由.
解:(1)A处受噪声影响.理由如下:
因为火车行驶时,周围200 m以内会受到噪声的影响,A处到MN的距离为120 m,
120<200,
所以A处会受到噪声的影响.
(2)若受影响,受影响的时间是多少
解:(2)如图所示,过点A作AC⊥MN,AB=AD=200 m.
因为AB=200 m,AC=120 m,
所以BC2=AB2-AC2=2002-1202=1602.
所以BC=160 m.
因为AB=AD,AC⊥ON,
所以CD=BC=160 m,所以BD=320 m.
因为火车在铁路MN上沿ON方向以72 km/h=20 m/s的速度行驶,
所以A处受影响时间=320÷20=16(s),
所以A处受噪声影响的时间是16 s.
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