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广西钦州市第十三中学2024-2025学年高一下学期期末热身考试数学试卷（一）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
2．已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③在区间上单调递减．其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知为四边形所在平面内一点，满足，若，且为的中点，是中点，则（ ）
A．1 B． C． D．3
4．在平行四边形中，，，则（ ）
A．-6 B．6 C． D．
5．近日，吉林市丰满区东山顶上新建了一处打卡地朱雀云顶观景塔，引来广大市民参观,某同学在与塔底水平的A处利用无人机在距离地面21的C处观测塔顶的俯角为，在无人机正下方距离地面1的B处观测塔顶仰角为，则该塔的高度为（ ）
A．15 B．16 C． D．
6．向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示，则杯子的形状为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”.已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，每小题5分，共15分）
9．若复数，则（ ）
A． B．z的实部为 C．z的共轭复数为 D．z在复平面内对应的点位于第二象限
10．在棱长为4的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线，是异面直线B．直线与所成角的余弦值为
C．三棱锥的内切球的体积为D．平面截正方体所得截面的面积为18
11．已知正方体的棱长为1，点为线段（含端点）上的动点，由点，，确定的平面为，则下列说法正确的是（ ）
A．平面截正方体的截面可能为等腰梯形B．平面截正方体的截面可能为菱形
C．点运动过程中，三棱锥的体积为定值D．三棱锥的外接球表面积的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为则正八面体外接球的体积为
13．若向量，分别表示复数，，则 ．
14．已知复数为方程的根，则 .
四、解答题（共6小题，共70分）
15．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉创立，该公式联系了指数函数与三角函数，被誉为“数学中的天骄”，广泛应用于高等数学和初等数学，如把它与复数的三角形式联系，就可以利用该公式轻松解决“1的次方根问题”.
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)请结合幂的运算，利用欧拉公式证明：；
(3)已知，求.
16．已知斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱与底面所成角的大小为，，且侧面底面．
(1)求二面角的正切值；
(2)求点到平面的距离．
17．在中，角的对边分别为，已知.
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若的面积为，且，求的周长.
18．一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的．
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
19．已知的内角、、的对边分别为、、，.
(1)求角；
(2)若，的面积为，求的周长.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C A B B D B BC ABD
题号 11
答案 ACD
12． 13． 14．
15．(1)
（2）由于，得：
所以；
（3）由得：，
所以.
16．(1)． (2)．
17．(1) (2) (3)
18．（1）；（2）5；（3）15．
19．(1) (2)

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