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第一章
§1.1集合的概念
The concept of collections
课时目标
1. 通过具体实例，抽象出集合的概念，能说出集合与元素的含义及理解元素与集合的“属于”关系；
2. 通过具体情境概括分析集合的三个特征并能解决简单问题，能说出常用数集的专用符号；
3. 通过对具体数学的探讨，能说出列举法和描述法的含义，对不同的问题可以分辨选择适当的方法表示集合。
问题引入
通过大家讨论我们达成共识：方程 在有理数范围内无解，但在实数范围内有解．在二维平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在三维空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面．因此，明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础.
结合以往学习的知识，你认为集合是什么？
集合的概念
看下面几个例子，观察并讨论他们的研究对象和研究范围，有什么共同特征？
结合上述例子，你能否从具体的实例中抽象出集合的概念？
提示　以上例子中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等.
1.元素：一般地，我们把研究对象统称为 .元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；
2.集合：把一些元素组成的总体叫做 (简称为 ).集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
集合
元素
集
知识梳理
元素特征
情境1：高一二班较高的学生能构成一个集合吗？
确定性
元素和集合之间的关系
知识点　 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果a是集合A的元素 _____ a属于集合A
不属于 如果a不是集合A的元素 _____ a不属于集合A
a∈A
a A
元素特征
情境2：高一二班会存在两个相同的同学吗？
情境3：高一二班的同学们在期中考试后重新换了位置，构成的集合和原来高一六班同学们构成的集合相同吗？
无序性
互异性
集合间的相等关系：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
做一做
(1)下列说法中正确的是
A.与定点A，B等距离的点不能构成集合
B.由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5
C.一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c 是△ABC 的三边长，则 △ABC不可能是等腰三角形
D.高中学生中的游泳能手可以构成集合
做一做
(2)设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B相等，则a＋2b＝___.
由题意知 a＋b＝0，所以 ＝－1，所以b＝1，a＝－1，所以a＋2b＝1.
1
反思感悟
(1)判断一组对象能构成集合的条件
①能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素；
②任何两个对象都是不同的；
③对元素出现的顺序没有要求.
(2)判断两个集合相等的注意点
若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.
你知道数学中一些常用的数集吗？
常用数集
名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ___ ________ ___ ___ ___
N
N*或N＋
Z
Q
R
做一做
用符号“∈”或 “ ”填空
0 ______ N
-3______ N
0.5______ Z
______ Z
______Q
______R
∈
∈
∈



从上面的例子看到，我们可以用文字语言描述一个集合．除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？
集合表示
例：用 A 表示“小于10的所有自然数”组成的集合，还可以用什么方式表示集合呢？
一 一 列举
列举法
列举法
注意：(1)元素间用“，”隔开．
(2)集合中的元素是确定的，元素不重复，且无顺序．
(3)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可．
(4)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5…}．
(5)这里集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼．
列举法
用列举法表示集合：
（1）大于1且小于6的整数；
（2）方程 所有实数根组成的集合.
反思感悟
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来．
集合表示
问题2　你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？
提示　不等式x－7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x－7<3的解集无法用列举法表示．
追问：当集合中元素个数有无数个或者难以一一列举时，我们如何表示呢？
我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}．
描述法
追问：当集合中元素个数有无数个或者难以一一列举时，我们如何表示呢？
一般地，设A 是一个集合，我们把集合A 中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法．
{x∈A|P(x)}
描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法．
{x∈A|P(x)}
注意：(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}．
(2)不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的．
(3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N＋”不符合要求，应将“m∈N＋”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N＋}．
描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法．
{x∈A|P(x)}
注意：(4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}．
(5)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1或x>1}．
(6)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的，因为“{　}”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全体”的意思，此处是初学者容易犯的错误，要注意领会．
做一做
描述法
整数集Z可以分为奇数集和偶数集．我们如何用描述法表示奇数集？
你能用这样的方法表示偶数集吗？
反思感悟
(1)用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性，即它是数集、点集还是其他的类型，一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对代表其元素．
(2)若描述部分出现代表元素以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
做一做
　　 试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1)方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A；
(2)由小于8的所有自然数组成的集合B.
做一做
　　 试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1)方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A；
(2)由小于8的所有自然数组成的集合B.
解：⑴代表元素各不相同，它们是互不相同的集合。
知识梳理
二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开、如{(2,3)，(5，-1)}.
思考
用自然语言、列举法和描述法表示集合各自的特点。
自然语言：最基本的语言形式，适用性广，但有时难以表达。
列举法：直观明了，适用于在元素较少或者元素较多但有显著规律的情况下。
描述法：能清晰表达集合元素的共同特征。
课堂小结
⑴你能说出集合中元素的基本性质吗？
⑵你能举例说明用自然语言、列举法和描述法表示集合时的各自的特点吗？
⑶你能说出列举法和描述法表示集合时它们各自的适用条件？
学后反思
THANK YOU
谢谢大家

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