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广西钦州市第十三中学2024-2025学年高一下学期期末热身考试数学试卷（三）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A．B．C． D．
3．已知向量满足与的夹角为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知非零向量，的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知光通过一块玻璃，强度要损失10%.那么要使光的强度减弱到原来的以下，则至少需要通过这样的玻璃（参考数据：）（ ）
A．12块 B．13块 C．14块 D．15块
6．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，每小题5分，共15分）
9．若复数，则下列命题是真命题的是（ ）
A．B．
C．D．若z是关于x的方程的根，则
10．设、为不重合的两平面，、为不重合的两直线，则下列说法正确的是（ ）
A．，，则B．，，，，，则
C．，，则D．，，则
11．如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ）
A．球的表面积为 B．圆锥的侧面积为
C．四面体的体积的取值范围是D．若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知是虚数单位， .
13．底面边长为2，高为的正四棱锥的侧面积为 ．
14．在中，角的对边分别为，已知，则 .
四、解答题（共6小题，共70分）
15．已知函数，，其图象相邻的两个对称中心间的距离为.
(1)求，的值；
(2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.
16．已知复数（其中为实数）为纯虚数.
(1)求实数的值；
(2)若复数在复平面内所对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.
17．如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，E为的中点，侧棱长为6.
(1)证明：平面；
(2)求该正四棱台的表面积.
18．已知的内角，，的对边分别为，，.且满足.
(1)求角；
(2)已知的外接圆的圆心为，半径.
（i）作角的平分线交于，，求的面积；
（ii）若，求的取值范围.
19．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)求在上的值域．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B D C B D B ACD BD
题号 11
答案 ACD
12． 13．8 14．
15．(1) (2)
16．(1) (2)
17．（1）连接，交于点，连接，如图所示.
在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点.
又为的中点，.
又平面，平面，平面.
（2）由题可知：在梯形中，，，，
过作交于点，，，
所以，
正四棱台的表面积为
.
18．(1) (2)（i）；（ii）
19．(1) (2) (3)

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