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2025年河南省高考数学三模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知两个非零向量，的夹角为，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知为等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若，，，则( )
A. B.
C. D.
6.已知椭圆与抛物线：有公共焦点，且与的一个交点为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.闭多面形是指由有限个平面多边形不必为凸多边形，这些平面多边形称为该闭多面形的面，它们的边和顶点分别称为该闭多面形的棱和顶点拼合而成的几何体，其中这些平面多边形的拼合方式满足：每两个顶点可以由几何体的一些棱所组成的折线连接起来；任两个面或没有公共点，或恰有一个公共的顶点，或恰有一条公共的棱；每条棱都恰是几何体两个面的公共棱；每个顶点都是锥形的顶点对于有个顶点，条棱，个面的闭多面形，定义，则可能为( )
A. B. C. D.
8.设函数在区间单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内的一个动点包括边界，且平面，则下列说法正确的有( )
A. 点的轨迹长度为
B. 的最小值为
C. 三棱锥体积的最小值为
D. 当与垂直时，直线与平面所成的角为
10.已知，为抛物线：上两点，的焦点为，且，，则下列结论正确的是( )
A. 的准线为： B. 当时，的值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
11.年，德国著名数学家、哲学家戈特弗里德威廉莱布尼茨发明了二进制，这是一种使用和两个数码的数制，是现代电子计算机技术的基础对于整数可理解为逢二进一，比如：在十进制中的自然数在二进制中就表示为，表示为，表示为，表示为，表示为，，若自然数可表示为二进制表达式，则，其中当时，，或，记，为整数的二进制表达式中的个数，则以下说法中正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且，则该双曲线的离心率为______．
13.一个学校有个学生，他们要么戴红帽子，要么戴蓝帽子，但是帽子可以变色即由红变蓝，或由蓝变红只要他们戴红帽子，就说真话；只要他们戴蓝帽子，就说假话某一天，他们中的每两人都见了一次面，并且都说对方戴蓝帽子，那么这一天他们的帽子总共最少变了______次色．
14.已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点，，满足，则实数 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病某医学研究小组为了解岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表．
性别 健康状况
感冒 不感冒
男
女
在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望；
依据表中数据，在犯错误的概率不超过的前提下，岁年轻人的体质健康与性别是否有关？若把表中所有数据都扩大到原来的倍，此时结论还一样吗？请解释其中原因，并简要说明应如何调整调查可使此研究更具有严谨性．
参考数据：
参考公式：，其中．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且．
求异面直线与所成角的余弦值；
求二面角的正弦值；
设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长．
18.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点在轴上方，的周长为，当时，的面积为．
求的方程；
若的离心率不大于，半径为的圆与的延长线，的延长线及线段均相切．
(ⅰ)当时，求；
(ⅱ)求的最大值．
19.本小题分
已知函数，．
Ⅰ若时，求证：当时，；
Ⅱ若函数有个零点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知，复数，
所以，
所以的虚部为．
故选：．
3.【答案】
【解析】因为 ，
所以，而非零向量，的夹角为，
即，
所以，
所以，
所以．
故选B．
4.【答案】
【解析】由题意，
所以，
故选：．
5.【答案】
【解析】的定义域为，那么导函数，
在区间上单调递增，，那么；
令，导函数，
令，其中，导函数，令，，
导函数，
导函数在上递增，，
在上递增，，函数在上递增，
，，
那么；
构造新函数，
那么导函数，
在区间上递减，，那么，
所以可得，
所以，因此．
故选：．
6.【答案】
【解析】因为抛物线过点，
则，
所以，
因为椭圆与抛物线有公共焦点，
所以，
则椭圆的焦点坐标为，，
由椭圆的定义得，
则，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】根据题目有：每两个顶点要么没有公共点，要么共享一个顶点，要么共享一条棱，
这样排除了面之间共享多个棱或部分边的情况，
每条棱恰好是两个面的公共棱，这和普通多面体的定义一致，
每个顶点都是锥形的顶点，
也就是说每个顶点周围的边和面构成一个锥形结构，
这样可能除了某些复杂的顶结构，
根据这些条件，闭多面形应该满足类似于多面体的欧拉公式，
即，
计算一些样例：
立方体：，，，，故C选项正确；
四面体：，，，，故C选项正确，
闭多面形的欧拉示性数，
对于拓扑同胚球面的多面体，如立方体、四面体，，
所以猜想成立，可以认为．
故选：．
8.【答案】
【解析】函数在区间单调递减，
所以在上单调递减，
所以，即．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：如图，设，中点分别为，，连接，
又为棱的中点，
所以，，，平面，，平面，
所以平面，平面，
又，且，平面，
所以平面平面，
又平面，且平面，平面，
又为正方形内一个动点包括边界，
所以平面平面，
又平面平面，所以，
所以的轨迹为线段，
所以，
所以的轨迹长度，所以选项错误；
如图，将平面和平面展开到一个平面内，
则的最小值即为点和点连线的距离，
由题意易得，所以与全等，
从而取最短距离时，是的中点，且，
又，所以，所以，所以选项正确；
因为三棱锥的体积为三棱锥的体积，
又，
所以的面积最小时，体积最小，
又，易得在处时面积最小，
此时，，
所以体积的最小值为，所以选项正确；
建系如图：
则，，，，
，，，
，，，
易知，平面，又平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
设平面即与的交点为，此时平面，
所以，
又为中点，
所以，，，
在平面中，其一个法向量为，
所以直线与平面所成的角的正弦值为：
，，
所以当与垂直时，直线与平面所成的角为，所以选项错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】已知抛物线方程为：，
则，准线方程为，
又，，
则，
的准线为，
故选项A错误；
当时，，的值为，
故选项B错误；
如图，过点作准线于点，
则由抛物线定义可知：，
则，当、、三点共线时，和最小，最小值为，
C正确；
由题意得：，连接并延长，交抛物线于点，
由三角形的性质可得：此点即为取最大值的点，此时，
故的最大值为，D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】在选项中，，
，故A正确；
在选项中，，
其中共有个，，故B正确；
在选项中，，，，，
当时，，故C错误；
在选项中，，，
，
，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：双曲线的渐近线为，
由对称性可知，取研究即可，
易得的圆心为，半径，
又弦长，
所以圆心到直线的距离为，
所以，
所以双曲线的离心率．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：因他们恰好每两人都见了一次面，且只要他们戴红帽子，就说真话，要他们戴蓝帽子，就说假话，所以见面的两个中一定是一个戴红帽子，一个戴蓝帽子，如三个人不变色，则两人同时红帽子，则同时说真话，红戴红帽，两人同时戴蓝帽，则说假话，同时戴红帽，不成立，所以最多人不变，
，
故答案为：．
14.【答案】或
【解析】由题知，直线与函数的图象相交，
等价于直线与函数的图象相交，
设，，，
所以，
又由得，，
即，
化简得，
由题知点和点的中点坐标为，
当直线与的交点在轴上方时，
，
即，
化简得，，
由联立得，
所以，
即，
解得；
当直线与的交点在轴下方时，
，
即，
化简得，，
由联立得，
所以，
即，
解得，
所以或，
故答案为：或．
15.【解析】在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取人，
再从这人中随机选取人访谈，记参与访谈的男性人数为，
样本中感冒的男性有人，女性有人，比例为：，
按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性人，
随机变量的所有取值为，，，
，
，
，
所以的分布列为：
所以 ；
提出零假设：岁年轻人的体质健康与性别无关，
根据列联表中的数据，得到，
因为，零假设成立，
所以没有的把握认为岁年轻人的体质健康与性别有关，
如果把所有数据都扩大倍后，
，，
即有的把握认为岁年轻人的体质健康与性别有关，
所以扩大倍后，数据改变，结论也会发生变化，
为使此研究更具有严谨性，可以扩大调查的样本容量．
16.【解析】因为，
所以，
由正弦定理得：，即，
由余弦定理得：，
因为，所以；
由知：，
因为，所以由正弦定理得：，
所以，，
因为，，
所以
，
因为，所以，
所以，所以的取值范围为．
17. 【解析】方法一：
如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点．
依题意得
易得，
于是，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
易知．
设平面的法向量，
则即
不妨令，可得，
同样地，设平面的法向量，
则即不妨令，
可得．
于是，
从而．
所以二面角的正弦值为．
由为棱的中点，
得设，
则
由平面，得
即
解得故．
因此，所以线段的长为．
方法二：
由于，故是异面直线与所成的角．
因为平面，又为正方形的中心，，
可得．
因此．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
连接，易知，
又由于，，
所以≌，过点作于点，
连接，于是，故为二面角的平面角．
在中，．
连接，在中，，
从而．
所以二面角的正弦值为．
因为平面，所以．
取中点，连接，由于是棱中点，
所以且．
又平面，
所以平面，故．
又，
所以平面，连接并延长交于点，
则，故．
由，
得，延长交于点，
可得连接．
在中，，故．
所以．
可得．
连接，在中，．
18.【解析】由题意得的周长为，
所以，
设，，
因为当时，的面积为，
所以，即，
又，
所以，
将代入化简得，
联立得或
当时，为的上顶点，
所以，则，
所以的方程为，检验符合题意
当时，，
，
所以，，所以，
所以的方程为，检验符合题意；
故C的方程为或；
因为的离心率不大于，
所以椭圆的方程为，
设圆分别切延长线，延长线和线段于点，，，
则
，
又，所以，
即，故H与重合．
又圆的半径为，
则在中，，，，
所以；
(ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
在中，，，，
所以，
则，
即直线的斜率，
即，所以，
联立，整理得，
则，，
所以
，
又，所以，
所以，
令，，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值为，
当直线的斜率不存在时，易求得，，
所以，
故的最大值为．
19.【解析】Ⅰ当时，有，
令，即，
则
令，则，当时，，
所以在区间上是增函数，，
所以，在区间上是增函数，
所以，故．
Ⅱ因为函数有个零点，所以有个单调区间，即其导函数有个零点，显然是函数的一个零点，
令，则函数有个零点，故．
由于，令，得，故，故．
又，，只需证明，
令，，则，
所以在上单调递增，，所以，即，
所以存在，使得，所以有个零点，，．
递减 极小 递增 极大 递减 极小 递增
所以要有个零点，只需，即，
此时，，，
设，，所以在上，
所以，即，又，
综上，当且仅当时，函数有个零点．
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