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广西钦州市第十三中学2024-2025学年高一下学期期末热身考试数学试卷（四）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，函数有三个相邻的零点，，，且，，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．在中，已知，用表示，则（ ）
A． B． C． D．
4．设，为单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在两种设备上加工，生产一件甲产品需用设备2小时，设备6小时；生产一件乙产品需用设备3小时，设备1小时. 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为
A．320千元 B．360千元 C．400千元 D．440千元
6．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）,那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是（　　）
A．在时刻，两车的位置相同B．时刻后，甲车在乙车后面
C．在时刻，两车的位置相同D．在时刻，甲车在乙车前面
7．设，，为函数的3个相邻零点，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，每小题5分，共15分）
9．在复平面内，为坐标原点，已知向量对应的复数分别为，则以下正确的是（ ）
A．点位于第二象限 B． C．向量对应的复数为 D．
10．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ）

A． B．过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为
C．点到平面的距离为定值 D．当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为 ．

13．已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为3，点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，若，则的轨迹长度为 .
14．已知复数，满足且，则对于任意的复数， 的最小值为 ．
四、解答题（共6小题，共70分）
15．已知是虚数单位，复数．
(1)若，求实数的值；
(2)若在复平面内对应的点在直线的左上方，求的取值范围．
16．如图，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，且，，平面.
(1)证明：平面平面；
(2)求四棱锥体积的最大值；
(3)当时，求直线与平面所成角的余弦值的最大值.
17．如图，在平面四边形中，交于点，且为的中点.，，，.
(1)求的长；
(2)求.
18．在中，，，，在边上，的面积为.
(1)求：
(2)求的周长.
19．如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．

(1)求S关于的函数表达式；
(2)当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D B D B A AD BC
题号 11
答案 AC
12． 13．.14．
15．(1) (2)．
16．（1）由题，四边形在球的一个截面的圆周上，故，
又，故，故，
由平面，平面，得，
又，平面，平面，故平面，
又平面，故平面平面.
（2）过点在平面内作，垂足为点，
由平面平面，平面平面，平面，
可得平面，记四棱锥的体积为，
则，
因为，所以，
由平面，平面，得，故，
于是，当且仅当时取等号，
由，得，
，由，得，
故，当且仅当时取等号，于是，
故.
故四棱锥体积的最大值为.
（3）取线段的中点，连接、，
因为，为的中点，故，
因为，，，由等面积法可得，
由，设，则，
所以，整理得，
解得，即，
因为，，所以，故，
在中，，，
由余弦定理可得，
当时，，
此时，此时；
当时，，
此时，此时.
综上所述，，
所以，当且仅当、、三点共线时，等号成立，
即长的最大值为，
设与平面所成角为，当取最大值时，最小，此时取最小值，
所以，
此时，即，
故当时，直线与平面所成角的余弦值的最大值为.
17．(1)(2)
18．(1) (2)
19．(1)，；
（2）由（1）及题设知，
故，
令，，所以，且，
，
在区间上严格减，在区间上严格增，且，
当，即时，取得最小值，
此时，则，故，
当，即时，取得最大值，
此时，则，故或．

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