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广西钦州市第十三中学2024-2025学年高一下学期期末热身考试数学试卷（五）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．设函数是以π为最小正周期的周期函数，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若函数有且仅有一个零点，则实数m的值为（ ）
A． B． C．3 D．
3．某市圆形花圃，现要均分成块，种植种不同花卉，工匠计划将花圃按左图方式分割.先将花圃均分成块，在按照右图将每个角花圃近似的均分成三块（三部分面积近似均等），从弧的中点出发，左右对称分割，已知右图中，，，则的长度最接近（ ）（，）
A． B． C． D．
4．如图，在中，已知，，，边上的两条中线，相交于点，则的正切值是（ ）
A．B．C． D．
5．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（ ）
A． B． C． D．
8．复数，则复数的虚部是（ ）
A． B．2 C． D．1
二、多选题（共3小题，每小题5分，共15分）
9．已知复数，，则下列命题正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则或 D．若，则且
10．设，在复平面内z对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（ ）．
A．若，则点Z的集合是圆 B．若，则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界）
C．若，则点Z的集合是y轴所在的直线D．若，则点Z的集合是一、三象限角平分线
11．在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（ ）
A．该几何体为圆台B．该几何体的母线长为5C．该几何体的体积为93π D．该几何体的表面积为56π
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小为原来的，则其体积是原来的 倍.
13．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一开为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为 平方分米．
14．设复数满足，则（i为虚数单位）的最大值为 .
四、解答题（共6小题，共70分）
15．设，复数.
(1)若复数是纯虚数，求实数m的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
16．如图，在三棱柱中，，，，点在面内的投影为点O，若点O在线段上运动，.
(1)证明：面面；
(2)求二面角余弦的最大值；
(3)求四面体内切球半径的最大值.
17．如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
(1)已知向量的“完美坐标”分别为，，求；
(2)已知向量的“完美坐标”分别为，，证明：；
(3)已知向量的“完美坐标”分别为，，设函数，求的值域.
18．已知向量，满足，.
(1)若向量与的夹角为，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求向量，的夹角.
19．已知函数在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最值及对应的的取值；
(3)当时，写出函数的单调递增区间.
=参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B D C D A A AC ABC
题号 11
答案 ABD
12．2 13． 14．
15．(1) (2)
16．（1）由题意知平面，
因为平面，所以，
由:，则，
则，则，
因为，平面，则平面，
又因为平面，则平面平面.
（2）过点作，垂足为，交于点，再连接，
因为平面，平面，则，又因为，
平面，，所以平面，
因为平面，则，
设，所以二面角的平面角为，
则，
当时，，
当时，，
则当时，最大值为.
（3）平行四边形，，
因为三棱柱，则，
因为平面，平面，则平面，
点到平面的距离相等，
，
所以四面体的体积为定值，
由（2）知，因为平面，，则平面，
因为平面，则，
设四面体内切球半径为，四面体表面积，
设三角形，的面积依次为，
四面体表面积S可以转化为四棱锥的侧面面积，
四棱锥底面平面图如图所示：
设，则，
，
，
，要求r的最大值，即求和的最小值；
方法一：已知，
，
令，由均值不等式可知：，则，
当且仅当时等号成立，则，
原式，
因为均在上单调递减，
所以在上单调递减，
的最小值为，所以的最小值为，当且仅当且仅当时等号成立，
同理可知的最小值为，当且仅当时等号成立，
所以当且仅当时，两个式子同时取得最小值，
所以面积的最小值为：.
方法二：如图，画出的平面展开图，过作的平行线，构造矩形，
再在上方构造一个全等矩形，我们需要求的最小值，
由对称性可知，其中，
所以由三角不等式有：
，
即，当且仅当时等号成立，
同理可得：，当且仅当时等号成立，
所以当且仅当时，两个式子同时取得最小值，
所以面积的最小值为：，
所以半径的最大值为：.
方法三：琴生不等式：设，
由于为下凸函数，所以有，
所以，当且仅当时等号成立，
同理有：，当且仅当时等号成立，
所以当且仅当时，两个式子同时取得最小值，所以，
所以半径的最大值为：.
17．(1)
（2）证明：由（1）知，
所以
，即.
（3）因为向量的“完美坐标”分别为，，
由（2）得.
令，则，
因为，所以，即，
令，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的值域为.
18．(1)1(2)(3)
19．(1)
(2)的最大值为，此时，的小值为，此时 (3)

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