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4.1整式 练习
一、单选题
1．已知整式，其中均为整数，为正整数，n为自然数，且满足．则下列说法：
①当时，满足条件的整式M中有1个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M是二次三项式；
③满足条件的整式M共有14个．
其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列单项式按一定规律排列：…，其中第个单项式为（ ）
A． B．
C． D．
3．力旺实验中学校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了33块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（　　）
A．166块 B．164块 C．165块 D．160块
4．下列结论正确的是（ ）
A．单项式的系数是次数是3 B．单项式m的次数是1，没有系数
C．多项式是三次三项式 D．在，，，中，整式有2个
5．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2025次输出的结果是（ ）
A．1 B．4 C．16 D．64
7．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有9个圆点，第③个图中有16个圆点，第④个图中有25个圆点……按照这一规律，则第⑦个图中的圆点个数是（ ）
A．36 B．49 C．64 D．81
8．在代数式中，有（ ）个整式．
A．7 B．6 C．5 D．4
9．多项式按的降幂排列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．多项式是四次三项式，是最高次项的系数，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
二、填空题
11．已知关于x，y的单项式与的次数相同，则 ．
12．观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ．
13．多项式的次数是 ，它的三次项系数是 ．
14．若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ．
15．已知：① ；②；③；④；⑤；⑥．其中整式有 个．
三、解答题
16．观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，…
根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5等式：______________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明其正确性．
17．观察下列各式：
…
…
…
…
探索以上式子的规律：
(1)写出第6个等式；
(2)试写出第n个等式（用含n的式子表示），并说明第n个等式成立；
(3)简便运算：
18．把下列代数式分别填在相应的括号内．

(1)单项式：｛ …｝
(2)多项式：｛ …｝
19．对于多项式（其中是大于的整数）．
(1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值；
(2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？
20．将多项式按下列要求进行排列：
(1)按的降幂排列；
(2)按的升幂排列．
《4.1整式 练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C A B C B C A
1．C
【分析】本题主要考查整式的分类讨论，结合绝对值和非负整数的性质，分情况讨论各n的可能情况，并验证各说法的正确性即可．
【详解】解：∵整式，且满足
∴： （唯一情况），（单项式）．
： ．．
∵为正整数，可能取1、2、3：
时， （2种二项式）．
时， （2种二项式）．
时， （1种单项式）．
共5种，其中仅1个单项式（）．
： ．；
为正整数，可能取1或2：
时，其他系数为0 （1种单项式）．
时，：
，（2种二项式）．
，（2种二项式）．
共5种，无三次项．
： ，其他系数为0 （1种单项式）．
：不满足条件．
验证说法：
①当时，有1个单项式：正确（仅）．
②不存在二次三项式：正确（时，系数绝对值之和为1，无法形成三个非零项）．
③总共有14个整式：错误（实际总数为种）．
综上，正确的说法为①和②，共2个，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了整式的规律．观察给定单项式找出规律即可．
【详解】解：∵第1项正，第2项负，第3项正，…，符号交替变化，
∴第项符号为，
∵指数依次为3，5，7，…，
∴第项指数为，
综上所述，符号部分为，指数部分为，故第个单项式为，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据所给图形，发现六边形及正方形地砖与图案之间的关系即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
每增加一个图案，则六边形地砖的块数增加1，且第一个图案中所含六边形的个数为1，
又因为这条小路共用去33块六边形地砖，
所以这条小路由33个图案组成．
因为每增加一个图案，正方形地砖的块数增加5，且第一个图案中所含的正方形个数为6，
所以33个图案中所含正方形的个数为块，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的次数与项数以及整式的判断．根据单项式系数和次数的定义，多项式次数和项数的定义，以及整式的定义逐一分析各选项即可．
【详解】A、单项式的系数是（π是常数，不是字母），次数是x和y的指数之和（1+1=2），故次数为2，选项A错误；
B、单项式的次数是1，系数为1（系数隐含为1），而非“没有系数”，选项B错误；
C、多项式中，的次数最高（1+2=3），因此是三次多项式，且共有3个项，属于三次三项式，选项C正确；
D、在（分母含字母，非整式）、（整式）、（整式）、（分母为常数π，属于整式）中，整式有3个，选项D错误．
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可．
【详解】解：第1个代数式为，
第2个代数式为，
第3个代数式为，
第4个代数式为，
第5个代数式为，
……，
以此类推，可知，第n个代数式是，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了运算流程图与代数式求值，数字类规律探索，根据流程图正确计算是解题关键．根据流程图依次计算，根据结果发现从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现，即可得到答案．
【详解】解：第一次输入的数是256，输出的数是，
第二次输入的数是64，输出的数是，
第三次输入的数是16，输出的数是，
第四次输入的数是4，输出的数是，
第五次输入的数是1，输出的数是，
第六次输入的数是4，输出的数是，
第七次输入的数是1，输出的数是，
……
观察发现，从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现，
第2025次输出的结果是4，
故选：B
7．C
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可得第个图中有个圆点，据此规律求解即可．
【详解】解：第①个图中有个圆点，
第②个图中有个圆点，
第③个图中有个圆点，
第④个图中有个圆点，
……，
以此类推，可得第个图中有个圆点，
∴第⑦个图中的圆点个数是，
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了整式的概念及单项式与多项式，整式包括单项式和多项式，整式是分母中不能含有字母的式子．根据整式、单项式、多项式的概念即可判断．
【详解】解：是单项式，也是整式；
是多项式，也是整式；
分母含字母，既不是单项式也不是多项式，不是整式；
综上，共有6个整式，
故选B．
9．C
【分析】把一个多项式按照某一字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按照这个字母降幂排列．本题考查多项式的降幂排列，掌握方法并注意符号不变才能正确求解．
【详解】解：依题意，按字母的降幂排列为
故选：C
10．A
【分析】本题考查多项式的定义、绝对值，根据“多项式中，次数最高的项的次数叫做多项式的次数”可得，确定，结合题意得出，再求解即可．
【详解】解：∵多项式是四次三项式，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：A．
11．/
【分析】本题考查了单项式的次数计算，根据题意列出方程计算即可．
【详解】解：由题意可知：，
解得：．
故答案为：．
12．
【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案．
【详解】解：第1个式子：，
第2个式子：，
第3个式子：，
第4个式子：，
……
观察发现，第个式子为，
故答案为：
13． 4
【分析】本题考查了多项式的次数，单项式的系数，掌握单项式、多项式的系数，次数是关键．
在多项式中，最高次项的次数即为多项式的次数，数字因数即为该项的系数，由此即可求解．
【详解】解：多项式中，的次数是次，的次数是次，
∴多项式的次数是，
三次项系数是，
故答案为：①；② ．
14．或
【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键．
根据题意得到，或，求出或，即可得到答案．
【详解】解：多项式是一个关于x，y的三次三项式，
，或，
或，
故答案为：或．
15．5
【分析】本题考查了整式，整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．
根据单项式和多项式统称整式，可得答案．
【详解】解：① ；②；④；⑤；⑥．是整式，共有5个，
故答案为：5．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查有理数混合运算的规律探索，正确理解题意是解题的关键．
根据题目给出的4个等式，找到规律，即可解答．
【详解】（1）解：根据规律，第5等式为，
故答案为．
（2）第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，…
根据以上规律，第n个等式为．
故答案为．
17．(1)
(2)，说明见解析
(3)
【分析】本题主要考查了数字变化的规律、有理数的混合运算及列代数式，能根据所给等式发现是解题的关键．
（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题．
（2）结合（1）中发现的规律，并进行证明即可．
（3）结合上面发现的规律进行计算即可．
【详解】（1）解：由题知，因为，
，
，
…，
所以第n个等式可表示为：
当时，
第6个等式为：
（2）解：由（1）知，第n个等式可表示为：
理由如下：
左边右边，
所以此等式成立．
（3）解：原式
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了单项式、多项式的定义，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据单项式是数与字母的积可得答案；
（2）根据多项式是几个单项式的和可得答案．
【详解】（1）解∶ 单项式：｛…｝
（2）解∶ 多项式：｛，…｝
19．(1)1
(2)且
【分析】本题考查多项式，理解多项式的相关定义是解答的关键．
（1）利用多项式的定义，得出的次数进而得出答案；
（2）利用多项式的定义，得出的次数与系数进而得出答案．
【详解】（1）解：时，原多项式变为，
∵该多项式是关于的三次三项式，
∴，解得，即的值为1；
（2）解：由题意得：且，即且．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查多项式的有关知识，关键是掌握多项式降幂或升幂排列的概念．
（1）把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母降幂排列，由此即可得到答案．
（2）把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母升幂排列，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：多项式按的降幂排列为：
（2）解：多项式按的升幂排列：

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