4.1整式 练习(含解析) 2025-2026学年人教版(2024)数学七年级上册

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4.1整式 练习(含解析) 2025-2026学年人教版(2024)数学七年级上册

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4.1整式 练习
一、单选题
1.已知整式,其中均为整数,为正整数,n为自然数,且满足.则下列说法:
①当时,满足条件的整式M中有1个单项式;
②不存在任何一个n,使得满足条件的整式M是二次三项式;
③满足条件的整式M共有14个.
其中正确的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.下列单项式按一定规律排列:…,其中第个单项式为( )
A. B.
C. D.
3.力旺实验中学校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设.若这条小路共用了33块正六边形地砖,则正方形地砖的数量为(  )
A.166块 B.164块 C.165块 D.160块
4.下列结论正确的是( )
A.单项式的系数是次数是3 B.单项式m的次数是1,没有系数
C.多项式是三次三项式 D.在,,,中,整式有2个
5.按一定规律排列的代数式:,,,,,…,第个代数式是( )
A. B. C. D.
6.如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序,若第一次输入的数是256,则第2025次输出的结果是( )
A.1 B.4 C.16 D.64
7.按如图所示的规律拼图案,其中第①个图中有4个圆点,第②个图中有9个圆点,第③个图中有16个圆点,第④个图中有25个圆点……按照这一规律,则第⑦个图中的圆点个数是( )
A.36 B.49 C.64 D.81
8.在代数式中,有( )个整式.
A.7 B.6 C.5 D.4
9.多项式按的降幂排列正确的是( )
A. B.
C. D.
10.多项式是四次三项式,是最高次项的系数,则的值为( )
A.1 B. C.3 D.
二、填空题
11.已知关于x,y的单项式与的次数相同,则 .
12.观察,根据这些式子的变化规律,可得第个式子为 .
13.多项式的次数是 ,它的三次项系数是 .
14.若多项式是一个关于x,y的三次三项式,则m的值为 .
15.已知:① ;②;③;④;⑤;⑥.其中整式有 个.
三、解答题
16.观察以下等式:
第1个等式:,
第2个等式:,
第3个等式:,
第4个等式:,…
根据以上规律,解决下列问题:
(1)写出第5等式:______________;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并说明其正确性.
17.观察下列各式:




探索以上式子的规律:
(1)写出第6个等式;
(2)试写出第n个等式(用含n的式子表示),并说明第n个等式成立;
(3)简便运算:
18.把下列代数式分别填在相应的括号内.

(1)单项式:{ …}
(2)多项式:{ …}
19.对于多项式(其中是大于的整数).
(1)若,且该多项式是关于的三次三项式,求的值;
(2)若该多项式是关于的五次三项式,则、要满足什么条件?
20.将多项式按下列要求进行排列:
(1)按的降幂排列;
(2)按的升幂排列.
《4.1整式 练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C A B C B C A
1.C
【分析】本题主要考查整式的分类讨论,结合绝对值和非负整数的性质,分情况讨论各n的可能情况,并验证各说法的正确性即可.
【详解】解:∵整式,且满足
∴: (唯一情况),(单项式).
: ..
∵为正整数,可能取1、2、3:
时, (2种二项式).
时, (2种二项式).
时, (1种单项式).
共5种,其中仅1个单项式().
: .;
为正整数,可能取1或2:
时,其他系数为0 (1种单项式).
时,:
,(2种二项式).
,(2种二项式).
共5种,无三次项.
: ,其他系数为0 (1种单项式).
:不满足条件.
验证说法:
①当时,有1个单项式:正确(仅).
②不存在二次三项式:正确(时,系数绝对值之和为1,无法形成三个非零项).
③总共有14个整式:错误(实际总数为种).
综上,正确的说法为①和②,共2个,
故选:C.
2.C
【分析】本题考查了整式的规律.观察给定单项式找出规律即可.
【详解】解:∵第1项正,第2项负,第3项正,…,符号交替变化,
∴第项符号为,
∵指数依次为3,5,7,…,
∴第项指数为,
综上所述,符号部分为,指数部分为,故第个单项式为,
故选:C.
3.A
【分析】本题考查平面镶嵌(密铺),根据所给图形,发现六边形及正方形地砖与图案之间的关系即可解决问题.
【详解】解:由所给图形可知,
每增加一个图案,则六边形地砖的块数增加1,且第一个图案中所含六边形的个数为1,
又因为这条小路共用去33块六边形地砖,
所以这条小路由33个图案组成.
因为每增加一个图案,正方形地砖的块数增加5,且第一个图案中所含的正方形个数为6,
所以33个图案中所含正方形的个数为块,
故选:A.
4.C
【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的次数与项数以及整式的判断.根据单项式系数和次数的定义,多项式次数和项数的定义,以及整式的定义逐一分析各选项即可.
【详解】A、单项式的系数是(π是常数,不是字母),次数是x和y的指数之和(1+1=2),故次数为2,选项A错误;
B、单项式的次数是1,系数为1(系数隐含为1),而非“没有系数”,选项B错误;
C、多项式中,的次数最高(1+2=3),因此是三次多项式,且共有3个项,属于三次三项式,选项C正确;
D、在(分母含字母,非整式)、(整式)、(整式)、(分母为常数π,属于整式)中,整式有3个,选项D错误.
故选:C.
5.A
【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索,观察可知,每一个代数式都是只含有字母a的单项式,其中系数是从1开始的连续的奇数,据此规律求解即可.
【详解】解:第1个代数式为,
第2个代数式为,
第3个代数式为,
第4个代数式为,
第5个代数式为,
……,
以此类推,可知,第n个代数式是,
故选:A.
6.B
【分析】本题考查了运算流程图与代数式求值,数字类规律探索,根据流程图正确计算是解题关键.根据流程图依次计算,根据结果发现从第三次开始,输出的结果按4、1循环出现,即可得到答案.
【详解】解:第一次输入的数是256,输出的数是,
第二次输入的数是64,输出的数是,
第三次输入的数是16,输出的数是,
第四次输入的数是4,输出的数是,
第五次输入的数是1,输出的数是,
第六次输入的数是4,输出的数是,
第七次输入的数是1,输出的数是,
……
观察发现,从第三次开始,输出的结果按4、1循环出现,
第2025次输出的结果是4,
故选:B
7.C
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索,观察可得第个图中有个圆点,据此规律求解即可.
【详解】解:第①个图中有个圆点,
第②个图中有个圆点,
第③个图中有个圆点,
第④个图中有个圆点,
……,
以此类推,可得第个图中有个圆点,
∴第⑦个图中的圆点个数是,
故选:C.
8.B
【分析】本题考查了整式的概念及单项式与多项式,整式包括单项式和多项式,整式是分母中不能含有字母的式子.根据整式、单项式、多项式的概念即可判断.
【详解】解:是单项式,也是整式;
是多项式,也是整式;
分母含字母,既不是单项式也不是多项式,不是整式;
综上,共有6个整式,
故选B.
9.C
【分析】把一个多项式按照某一字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按照这个字母降幂排列.本题考查多项式的降幂排列,掌握方法并注意符号不变才能正确求解.
【详解】解:依题意,按字母的降幂排列为
故选:C
10.A
【分析】本题考查多项式的定义、绝对值,根据“多项式中,次数最高的项的次数叫做多项式的次数”可得,确定,结合题意得出,再求解即可.
【详解】解:∵多项式是四次三项式,
∴,
即,
∴,
∵,
∴,

故选:A.
11./
【分析】本题考查了单项式的次数计算,根据题意列出方程计算即可.
【详解】解:由题意可知:,
解得:.
故答案为:.
12.
【分析】本题是单项式规律题,根据给出的单项式发现一般规律是解题关键.分析已知式子,得到第个式子为,即可得到答案.
【详解】解:第1个式子:,
第2个式子:,
第3个式子:,
第4个式子:,
……
观察发现,第个式子为,
故答案为:
13. 4
【分析】本题考查了多项式的次数,单项式的系数,掌握单项式、多项式的系数,次数是关键.
在多项式中,最高次项的次数即为多项式的次数,数字因数即为该项的系数,由此即可求解.
【详解】解:多项式中,的次数是次,的次数是次,
∴多项式的次数是,
三次项系数是,
故答案为:①;② .
14.或
【分析】本题主要考查了多项式,熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式,次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键.
根据题意得到,或,求出或,即可得到答案.
【详解】解:多项式是一个关于x,y的三次三项式,
,或,
或,
故答案为:或.
15.5
【分析】本题考查了整式,整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除四种运算,但在整式中除式不能含有字母.单项式和多项式统称为整式.单项式是字母和数的乘积,只有乘法,没有加减法.多项式是若干个单项式的和,有加减法.
根据单项式和多项式统称整式,可得答案.
【详解】解:① ;②;④;⑤;⑥.是整式,共有5个,
故答案为:5.
16.(1)
(2)
【分析】本题考查有理数混合运算的规律探索,正确理解题意是解题的关键.
根据题目给出的4个等式,找到规律,即可解答.
【详解】(1)解:根据规律,第5等式为,
故答案为.
(2)第1个等式:,
第2个等式:,
第3个等式:,
第4个等式:,…
根据以上规律,第n个等式为.
故答案为.
17.(1)
(2),说明见解析
(3)
【分析】本题主要考查了数字变化的规律、有理数的混合运算及列代数式,能根据所给等式发现是解题的关键.
(1)根据所给等式,观察各部分的变化,发现规律即可解决问题.
(2)结合(1)中发现的规律,并进行证明即可.
(3)结合上面发现的规律进行计算即可.
【详解】(1)解:由题知,因为,


…,
所以第n个等式可表示为:
当时,
第6个等式为:
(2)解:由(1)知,第n个等式可表示为:
理由如下:
左边右边,
所以此等式成立.
(3)解:原式
18.(1)
(2)
【分析】本题考查了单项式、多项式的定义,熟练掌握相关知识是解题关键.
(1)根据单项式是数与字母的积可得答案;
(2)根据多项式是几个单项式的和可得答案.
【详解】(1)解∶ 单项式:{…}
(2)解∶ 多项式:{,…}
19.(1)1
(2)且
【分析】本题考查多项式,理解多项式的相关定义是解答的关键.
(1)利用多项式的定义,得出的次数进而得出答案;
(2)利用多项式的定义,得出的次数与系数进而得出答案.
【详解】(1)解:时,原多项式变为,
∵该多项式是关于的三次三项式,
∴,解得,即的值为1;
(2)解:由题意得:且,即且.
20.(1)
(2)
【分析】本题考查多项式的有关知识,关键是掌握多项式降幂或升幂排列的概念.
(1)把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做多项式按照这个字母降幂排列,由此即可得到答案.
(2)把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做多项式按照这个字母升幂排列,由此即可得到答案.
【详解】(1)解:多项式按的降幂排列为:
(2)解:多项式按的升幂排列:

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