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5.3实际问题与一元一次方程 练习
一、单选题
1．某商场促销，小颖将促销信息告诉了同学小兰，现假设某一商品的定价为元，小兰根据信息列出了不等式，那么小颖告诉小兰的信息是（ ）
A．买两件该商品可减200元，再打九折，最后不超过1500元
B．买两件该商品可打九折，再减200元，最后不超过1500元
C．买两件该商品可打九折，再减200元，最后不到1500元
D．买两件该商品可减200元，再打九折，最后不到1500元
2．在人教（2024年）版义务教育教科书七年级数学下册第33页数学活动2设计窗格图案中，各式各样的图案设计精巧、样式繁多．体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内柄，给人以明朗、匀称、简洁的感觉．其口有一种窗格（最外面是大正方形，最里面是小正方形）是由4个完全相同的大长方形和4个完全相同的小长方形横、竖方向交错构成的，且大长方形与小长方形的宽度相等（如图所示）．若最外面大正方形的边长为16分米，最里面小正方形的边长为4分米，则大长方形的面积为（ ）
A．39 B．55 C．39或55 D．16
3．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论：
①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多；
②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少；
③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
5．某村去年玉米的产量为20万吨，比前年减产二成，前年玉米的产量是（ ）
A．25万吨 B．24万吨 C．16万吨 D．20万吨
6．《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，2025年6月的月历，现用一个正方形在月历中框出4个数，它们的和为56，不改变正方形的大小，将正方形在该月历上移动，所得4个数的和不可能是（ ）
A．64 B．76 C．88 D．100
8．甲班有书32本，乙班有书40本，从乙班拿一些书给甲班，使甲班增加（ ）后，两个班的本数同样多．
A． B． C． D．
9．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．加密规则如下：明文，，对应的密文分别为，，．例如明文1，，3对应的密文为，，18．若接收方收到密文4，，9，则解密得到的明文为（ ）
A．3，0， B．3，，0 C．5，，36 D．4，，3
10．“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某班37名学生给班级捐赠图书活动中共捐92本书，其中女生平均每人捐3本，男生平均每人捐2本，设该班女生有人，男生有人．根据题意，所列方程组为（　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．某车间有30名工人，平均每人每天可制作5个茶壶或15个茶杯．已知1个茶壶与6个茶杯配成一套，如果要使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，那么应该安排多少名工人制作茶壶？设安排名工人制作茶壶，则可列方程 ．
12．某条地下管线由甲工程队单独铺设需要20天，由乙工程队单独铺设需要30天，现计划由乙工程队先从一端铺设5天，然后增加甲工程队从另一端和乙工程队同时铺设．则完成这条地下管线的铺设任务时，甲、乙两个工程队合作铺设的天数为 ．
13．商场为了促销某种商品，将其价格先提高，并在此基础上执行第二件半价，小明同学购买了两件该商品，经过计算实际到手价格平均为18元/件，则该商品的原价是 元/件．
14．活动大促期间，某商店推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过部分享受7折优惠．一次性购物满 元时，两种方案最终付款金额相等．
15．某地居民每月用水收费标准如图：李阿姨家11月份用水5立方米，交水费16元．若李阿姨12月份交水费39.6元，则李阿姨12月份的用水量是 立方米
用水量/立方米 单价/元
a
超过10的部分
三、解答题
16．某次足球联赛的积分规则是：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．本次联赛中，已知A队在前25场比赛中共积52分，且胜的场数是负的场数的5倍．
(1)设A队在前25场比赛中负x场，请用含x的式子将下表填写完整；
A队 场数（单位：场） 积分（单位：分）
胜 _______ _______
平 _______ _______
负 0
总计 25 52
(2)求A队在前25场比赛中，胜、平、负的场数各是多少？
17．游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳元会员费，每次游泳另外收费元（一年内有效）．
(1)爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次．他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程．
(2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程．
18．如图，点表示的数是，点表示的数是，满足．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)_______________，________________．
(2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发．
①问点运动多少秒时追上点？
②问点运动多少秒时使得？
(3)若为的中点，在点到达点之前，试说明的值为定值．
19．个人所得税征收标准：个人收入不超过5000元的不纳税；个人收入超过5000元的，超过部分按下面的标准征税：
级数 金额 税率
1 不超过3000元部分
2 超过3000元至12000元部分
3 超过12000元至25000元部分
(1)王阿姨的月收入是7000元，她每月应缴纳个人所得税多少元？
(2)某月李叔叔缴纳个人所得税810元，李叔叔的税后收入是多少元？
20．甲、乙两车分别从，两地出发同向而行，乙车在甲车前面．甲车每小时行驶，乙车每小时行驶，已知，两地相距．
(1)若两车同时开出，则甲车经过多少小时追上乙车？
(2)若两车同时开出，经过多少小时两车相距？
《5.3实际问题与一元一次方程 练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B B A A D D B A
1．D
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解不等式的意义是解题关键．
根据，可以理解为买两件减200元，再打9折得出总价不到1500元，据此即可解答．
【详解】解：由关系式可知：，
由，得出两件商品减200元，以及由得出买两件打9折，
故可以理解为：买两件该商品可减200元，再打九折，最后不到1500元．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，大长方形与小长方形的宽度相等，设宽度为分米，可得，再进一步求解即可．
【详解】解：∵大长方形与小长方形的宽度相等，设宽度为分米，
∴，
解得：，
∴大长方形的面积为（平方分米）；
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
通过建立方程比较两种付费方式在不同条件下的总费用或次数，逐一验证各结论的正确性即可．
【详解】解：结论①：设方式一的游泳次数为，则总费用为，解得．方式二的次数为．因，结论①错误．
结论②：游泳25次时，方式一总费用为元，方式二为元．因，结论②错误．
结论③：设游泳次数为，由，解得．此时两种方式费用相等，结论③正确．
综上，正确结论仅1个，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了一元一次方程解实际问题，理解数量关系，正确列式是解题的关键．
根据总人数不变，分别表示出每3人乘一车，每2人共乘一车时的总人数即可求解．
【详解】解：根据题意列方程得，
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查 一元一次方程的应用，设前年产量为x吨，去年产量比前年减产二成，即去年产量为前年的，根据去年玉米的产量为20万吨，列方程求解即可．
【详解】解：设前年产量为x万吨，根据题意得：
，
解得：，
即前年玉米的产量是25万吨，
故选：A．
6．A
【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系．
设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可．
【详解】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得：
．
故选：A
7．D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设上方两个数为、，下方两个数为、，得出4个数的和为，再结合各选项逐一列方程判断即可．
【详解】解：设上方两个数为、，下方两个数为、，
所以这五个数的和为，
若，解得，不符合题意；
若，解得，不符合题意；
若，解得，不符合题意；
若，解得，根据日历，右边无数据，符合题意；
故选：D．
8．D
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设乙班给甲班x本书，则甲班现有书数为，乙班剩余书数为，再建立方程求解即可．
【详解】解：设乙班给甲班x本书，则甲班现有书数为，乙班剩余书数为，
根据题意：，
解得：，
则甲班增加了原来的．
故选：D．
9．B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据加密规则，将密文通过逆运算转换为明文．分别解方程求出对应的a、b、c值．
【详解】解：接收方收到的密文为4，，9，对应加密规则：
第一个密文4对应明文a：由，解得．
第二个密文对应明文b：由，解得，即．
第三个密文9对应明文c：由，解得，即．
因此，解密得到的明文为3，，0，
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了列二元一次方程组，列出正确的二元一次方程组是解题的关键．
根据题意列出方程组即可．
【详解】解：根据题意，男女生总人数为人，
∴，
又∵女生平均每人捐本，男生平均每人捐本，共捐本书，
则有：，
∴可列方程组：．
故选：A．
11．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设安排名工人制作茶壶，则安排名工人制作茶杯，根据1个茶壶与6个茶杯配成一套，可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论．
【详解】解：设安排名工人制作茶壶，则安排名工人制作茶杯，
根据题意得： ，
故答案为：．
12．10
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙两个工程队合作铺设的天数为天，利用甲工程队完成的工程量乙工程队完成工程量工程总量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设甲、乙两个工程队合作铺设的天数为天，
根据题意得：，
解得：，
甲、乙两个工程队合作铺设的天数为10天．
故答案为：10．
13．20
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该商品的原价是元/件，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键．
【详解】解：设该商品的原价是元/件，
由题意可得：，
解得：，
故该商品的原价是元/件，
故答案为：．
14．450
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设一次性购物满x元时，两种方案最终付款金额相等，则分别用x表示出两种方案付款金额，即可建立方程求解．
【详解】解：设一次性购物满元时，两种方案最终付款金额相等
根据题意，得，
解得，
故答案为：450．
15．12
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．根据李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，可知，根据李阿姨12月份交水费38.8元，可知李阿姨12月份用水量大于10立方米，设李阿姨家12月份用水量为立方米，列出方程并求解，即可得到答案．
【详解】解：因为李阿姨家11月份用水5立方米，交水费16元，
所以，
解得，
∴李阿姨家12月份用水量大于10立方米，
设李阿姨家12月份用水量为立方米，
则，
解得，
所以李阿姨家12月份用水量是12立方米．
故答案为：12．
16．(1)填表见解析
(2)胜15场，平7场，负3场
【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的列出代数式，是解题的关键：
（1）根据胜的场数是负的场数的5倍，得到胜场数，再用总数减去胜场数减去负场数，得到平场数，再根据胜一场得3分，平一场得1分，求出胜场积分和平场积分即可；
（2）根据A队在前25场比赛中共积52分，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，填表如下：
A队 场数（单位：场） 积分（单位：分）
胜
平
负 0
总计 25 52
（2）解：根据题意，得
解这个方程，得
，．
因此，A队胜15场，平7场，负3场．
17．(1)年卡；过程见详解
(2)次
【分析】本题考查了购票问题及列方程解决问题，找到等量关系是解题的关键．
（1）已知爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次，则一年游泳次．方式一：单次卡，每次收费30元；根据“单价×数量=总价”，求出办单次卡爸爸游泳一年所需的费用；方式二：办理会员年卡，每次游泳另外收费元，那么游泳次需另收费元，再加上年卡的费用，即是办年卡爸爸游泳一年所需的费用；再比较两种方式所需的费用，得出哪种方式更划算．
（2）根据题意，设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等，等量关系为：单次卡每次的费用次数年卡的费用每次游泳另外的收费次数，据此列出方程，并求解．
【详解】（1）解：爸爸一年游泳：（次），
单次卡：（元），
年卡：（元），
，
答：他选择年卡更划算．
（2）设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等，
答：一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等．
18．(1)10，
(2)①9秒；②7秒或11秒
(3)定值为2，理由见解析
【分析】本题考查了数轴与一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离公式，非负数的性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）①由题意得：，，得到点P表示的数是，点Q表示的数是，根据点P追上点Q时两点在数轴上表示的数相同列方程即可求解；②由点P表示的数是，点Q表示的数是，可得，根据列方程即可求；
（3）分别表示出、、，再求的值即可．
【详解】（1）解：，，，
，，
解得，，
故答案为：10，；
（2）解：由题意得：，，
则运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是，
①点追上点时，，
解得，
即点运动9秒时追上点；
②由题意，可得，
即或，
解得或，
即点运动7秒或11秒时；
（3）解：（秒），
当运动时间为时，点P表示的数是，
为的中点，
表示的数是，
，，，
，
的值为定值2．
19．(1)60元
(2)14390元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）利用王阿姨每月应缴纳的个人所得税（王阿姨的月收入，即可求出结论；
（2）设李叔叔的月收入是元，根据李叔叔缴纳个人所得税810元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：
（元）．
答：她每月应缴纳个人所得税60元；
（2）解：设李叔叔的月收入是元，
（元），（元），，
，即．
根据题意得：，
解得：，
（元）．
答：李叔叔的税后收入是14390元．
20．(1)甲列车经过5小时追上乙列车
(2)经过2小时或8小时两车相距72千米
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程求解，需要注意进行分类讨论．
（1）设甲列车经过小时追上乙列车，根据甲列车行驶的路程等于乙列车行驶的路程加上120千米，列出方程求解；
（2）设经过小时两车相距72千米，分情况讨论，甲追上乙之前和甲追上乙之后，列出方程求解．
【详解】（1）解：设甲列车经过小时追上乙列车，根据题意得，
，
解得，
答：甲列车经过5小时追上乙列车；
（2）设经过小时两车相距72千米，
甲追上乙之前，
，解得；
甲追上乙之后，
，解得，
答：经过2小时或8小时两车相距72千米．

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