浙教版2025年九年级上第1章《二次函数》单元测试卷(含解析)

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浙教版2025年九年级上第1章《二次函数》单元测试卷(含解析)

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浙教版2025年九年级上第1章《二次函数》单元测试卷
满分120分 时间120分钟
一、选择题(共10题;共30分)
1.下列函数中, y 关于 x 的二次函数是(  )
A. B.y=2x(x+1)
C. D.y=(x 2)2 x2
2.已知二次函数()的图象经过点,则的值为(  )
A. B. C. D.
3.抛物线的对称轴是(  )
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
4.抛物线的顶点坐标是(  )
A. B. C. D.
5.直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是( )
A. B.
C. D.
6.将抛物线向左平移2个单位,再向上平移3个单位,平移后所得抛物线的解析式为(  )
A. B.
C. D.
7.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映,如果调整商品售价,每降价1元,每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后,每星期售出商品的总销售额为y元,则y与x的关系式为(  )
A. B.
C. D.
8.二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表,下列说法正确的是(  )
0 1 2 4
2 4.5 5 0
A. B.
C. D.
9.如图1,质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧(已知自然状态下,弹簧的初始长度为).从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中(不计空气阻力,弹簧在整个过程中始终发生弹性形变),得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示.根据图象,下列说法正确的是(  )
A.小球从刚接触弹簧就开始减速
B.当弹簧被压缩至最短时,小球的速度最大
C.当小球的速度最大时,弹簧的长度为
D.当小球下落至最低点时,弹簧的长度为
10.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示,以下结论:①abc>0; ②方程x2+bx+c=0的根是x1=﹣1,x2=3; ③抛物线上有三点(﹣1,y1),(1,y2),(4,y3),则y1>y3>y2;④若﹣1<x<2,则y的取值范围是﹣4≤y<0;其中正确的有(  )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
二、填空题(共6题;共18分)
11.如果是二次函数,则的值为   .
12.抛物线与y轴的交点坐标是   .
13.已知,在二次函数的图象上,比较   .(填、或)
14.已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同,它的顶点坐标为,则此抛物线的解析式   .
15.如图,要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端点安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高,高度为,水柱落地处离池中心距离为,则水管的长度是   .
16.若一个点的纵坐标是横坐标的2倍,则称这个点为“二倍点”,如:,,等都是“二倍点”.在的范围内,若二次函数的图像上至少存在一个“二倍点”,则的取值范围是   .
三、解答题(共8题;共72分)
17.已知二次函数的图象经过点.
(1)求c的值;
(2)判断点是否在该函数的图象上,并说明理由.
18.已知二次函数的图象经过和.
(1)求该二次函数的表达式和对称轴;
(2)当时,求该二次函数的最大值和最小值.
19.已知二次函数.
(1)请直接写出该二次函数的顶点式:_____________;
(2)请你在所给的平面直角坐标系中,画出二次函数的图象;
(3)根据图像回答问题:当时,的取值范围是___________.
20.如图,在直角坐标系中,抛物线交x轴于点A和点B(5,0),点A先向上平移m(m>0)个单位,再向右平移n(n>0)个单位得点C;点B先向上平移m单位,再向左平移3n个单位也得点C,且点C恰好落在该抛物线上.
(1)求b的值及该抛物线的对称轴.
(2)求点C的坐标.
21.某商场购进单价40元的毛绒玩具.销售一段时间后发现:当销售单价为60元时,平均每个月可销售100个,而当销售单价每降低10元时,平均每个月就多销售20个.其中按物价部门的有关规定,该商品的销售单价不能高于70元,也不能低于40元.
(1)当销售单价定为多少元时,该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到2000元?
(2)当单价定价为多少时,销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大?最大利润是多少?
22.下表是九年级某数学兴趣小组的一份调查报告,请阅读报告并完成任务.
课题 用数学的眼光观察现实世界
调查方式 实地查看、查阅资料
调查对象 大发渠特大桥
相关资料 大发渠特大桥,如图1,位于贵州省遵义市播州区境内,是连续T型梁及上承式钢管混凝土拱桥,为仁怀至遵义高速公路的控制性工程之一.大桥工程立项时叫团结大桥,位于“七一勋章”获得者、时代楷模黄大发的家乡——团结村半坎组,并与“大发渠”相交,故命名为大发渠特大桥.
实物图、模型图
数学眼光 小组成员受到该桥的启示,设计了一座桥的模型如图2,桥面在一些立柱的支撑下承重,立柱、之间的曲线是抛物线,,,抛物线上最高点E到桥面的距离为(点A,E,B在同一平面内),若以点A为坐标原点,所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.
任务(1) 求出抛物线的函数表达式.
任务(2) 在图2中,对拱桥段施工时,需用塔吊将B点正上方的材料水平向左运送到抛物线上点P的正上方,再垂直放下进行安装,若点P到桥面的距离为,则需将材料水平向左移动多少?
任务(3) 兴趣小组在模型中设计了17根间距相等的立柱,若某相邻两根立柱的高度差为,求这相邻的两根立柱分别是左起第几根?(为左起第一根立柱)
23.已知二次函数(b,c为常数)的图象经过点,对称轴为直线.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点向上平移2个单位长度,向左平移m()个单位长度后,恰好落在的图象上,求m的值;
(3)当时,二次函数的最大值与最小值的差为,求n的取值范围.
24.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于A,B两点,与y轴交于点C,.
(1)求三角形的面积;
(2)点P为直线上方的抛物线上一点,过点P作x轴的垂线交线段于H,求的最大值及此时点P的坐标;
(3)把抛物线向右平移三个单位得到新抛物线,若点N为新抛物线对称轴上一点,点M为平面内任意一点,请直接写出当以B,C,M,为顶点的四边形是菱形时点的坐标,并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.
答案解析部分
1.【答案】B
【解析】【解答】解:A、y=2x+1是一次函数,故A不符合题意;
B、y=2x(x+1)是二次函数,故B符合题意;
C、 不是二次函数,故C不符合题意;
D、y=(x 2)2 x2是一次函数,故D不符合题意;
故答案为:B.
【分析】根据二次函数的定义,可得答案.
2.【答案】D
【解析】【解答】解:∵二次函数的图象经过点,


故答案为:D.
【分析】把点代入计算a的值即可.
3.【答案】A
【解析】【解答】解:由抛物线可知对称轴是直线;
故答案为:A.
【分析】根据二次函数的顶点式直接求出对称轴即可。
4.【答案】C
【解析】【解答】解:抛物线的顶点坐标是,
故答案为:C
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
5.【答案】D
【解析】【解答】解:由一次函数的图象可知,,
则抛物线与轴的交点在原点上方,故排除AB选项;
∵,,
∴,
∴抛物线的对称轴直线,
即对称轴位于轴左侧,故C选项不符合题意,D选项符合题意;
故答案为:D。
【分析】根据一次函数的图象,可先确定a和b的符号;再根据二次函数与y轴的交点和抛物线开口方向,可确定a和b的符号,进而确定ab的符号;最后再根据二次函数的对称轴公式:,确定对称轴的位置,从而即可判断。
6.【答案】C
【解析】【解答】解:将抛物线向左平移2个单位,再向上平移3个单位,平移后所得抛物线的解析式为,
即,
故答案为:C.
【分析】根据函数解析式平移的特征:左加右减,上加下减求解即可。
7.【答案】B
【解析】【解答】解:降价x元,则售价为(60-x)元,销售量为(300+20x)件,
根据题意得,y=(60-x)(300+20x),
故答案为:B.【分析】根据降价x元,则售价为(60-x)元,销售量为(300+20x)件,由题意可得等量关系:总销售额为y=销量×售价,根据等量关系列出函数解析式即可求解.
8.【答案】C
【解析】【解答】解:设二次函数解析式为
根据题意得,
解得


∴.
故答案为:C.
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式,配方成顶点式求出对称轴即可解题.
9.【答案】C
【解析】【解答】解:A、由图象可知,弹簧压缩后小球开始减速,故此选项不符合题意;
B、由图象可知,当弹簧被压缩至最短,即弹簧被压缩的长度为时,小球的速度最小,速度为0,故此选项不符合题意;
C、由图象可知,当小球的速度最大时,弹簧压缩,此时弹簧的长度为,故此选项符合题意;
D、由图象可知,当小球下落至最低点时,弹簧被压缩的长度为,此时弹簧的长度为,故此选项不符合题意.
故答案为:C.
【分析】此图象反应的是小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系,根据图象给出的信息可得小球速度v在接触弹簧后先增加后减少,说明小球在接触弹簧的初期,由于重力大于弹簧的弹力,小球继续加速,直到弹力等于重力时,小球速度达到最大,之后弹力大于重力,小球开始减速,据此可判断A选项; 小球速度v在弹簧压缩至最短时为0,说明此时小球速度最小,而非最大,据此可判断B选项;小球速度最大时,弹簧压缩长度Δl约为2cm,因此弹簧的长度为初始长度12cm减去压缩长度2cm,据此可判断C选项;小球下落至最低点时,弹簧压缩长度Δl约6为6cm,因此弹簧的长度为初始长度12cm减去压缩长度,据此可判断D.
10.【答案】C
【解析】【解答】解:把(﹣1,0)和(0,﹣3)代入y=x2+bx+c,
得:
解得:,
∴y=x2﹣2x﹣3,
∴a=1,b=﹣2,c=﹣3,
∴abc=1×(﹣2)×(﹣3)>0,故①正确;
令y=0,则x2﹣2x﹣3=0,
解得:x1=﹣1,x2=3,故②正确;
把(﹣1,y1),(1,y2),(4,y3)分别代入y=x2﹣2x﹣3得:y1=0,y2=﹣4,y3=5,
∴y3>y1>y2,故③错误;
∵﹣1<x<2,对称轴为x=1,
∴y的最小值为﹣4,
当x=﹣1时,y=0,当x=2时,y=﹣3,
∴y的取值范围为﹣4≤y<0,故,④正确;
故答案为:C.
【分析】先利用二次函数的图象与系数的关系求出a、b、c的正负,再利用二次函数的性质逐项分析判断即可.
11.【答案】
【解析】【解答】解:函数是二次函数,
,,
解得:或,
解得:,

故答案为:.
【分析】根据二次函数的定义即可求出答案.
12.【答案】
【解析】【解答】解:令抛物线中,
即,
解得,
故与轴的交点坐标为,
故答案为:.
【分析】根据在y轴上的点的横坐标等于0,将x=0代入解析式,求出y的值,即可求解.
13.【答案】
【解析】【解答】解:当时,,
当时,,
∴.
故答案为:.
【分析】将和代入二次函数解析式,求出、的值即可解题.
14.【答案】
【解析】【解答】解:∵抛物线的顶点坐标为(-2,1),抛物线的形状、开口方向与抛物线y=-3x2相同,
∴所求抛物线的解析式为.
故答案为:.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)中a决定抛物线的开口方向和开口大小,a>0开口方向向上,a<0,开口方向向下,据此结合题意可知所求抛物线解析式中二次项系数小于零,此题又给出了抛物线的顶点坐标,故利用顶点式可直接写出所求解析式.
15.【答案】
【解析】【解答】解:设抛物线解析式为y=a(x-h)2+k,
由题意可知抛物线的顶点为(2,5),与x轴的一个交点为(6,0),
∴0=a(6-2)2+5,解得:,
∴抛物线解析式为:
当x=0时,
∴水管的长度OA是m.
故答案为:.
【分析】设抛物线解析式为y=a(x-h)2+k,根据待定系数法将(2,5)与(6,0)代入解析式,可得抛物线解析式为:,再根据y轴上点的坐标特征求出OS长,即可求出答案.
16.【答案】
【解析】【解答】解:由题意得,二倍点所在的直线为,
在的范围内,二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”,
即在的范围内,二次函数和至少有一个交点,
令,整理得,,
∴,
解得,
把代入得,代入得,
,解得;
把代入得,代入得,
,解得:,
综上,c的取值范围为:.
故答案为:.
【分析】由题意得,二倍点所在的直线为,根据二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”转化为和至少有一个交点,求,再根据和时两个函数值大小即可求解.
17.【答案】(1)解:把代入得


(2)解:由(1)得二次函数的解析式为,
当时,,
在这个二次函数的图象上.
【解析】【分析】(1)将代入可得,求出c值即可;
(2)把x=-2代入求出y值判断即可.
(1)解:把代入得


(2)解:由(1)得二次函数的解析式为,
当时,,
在这个二次函数的图象上.
18.【答案】(1)解:∵经过和,
∴,
解得,
∴二次函数的表达式为;
∴对称轴为直线
(2)解:由(1)可知的开口向上,
∵二次函数的对称轴为直线在内,
∴当时,有最小值;
∵直线距直线最远,
∴当时,有最大值
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式,然后根据对称轴公式计算即可;
(2)先根据开口向下,即可得到顶点处是最小值,然后根据离对称轴远的函数值大求出最大值即可.
(1)解:∵经过和,
∴,
解得,
∴二次函数的表达式为;
∴对称轴为直线;
(2)解:由(1)可知的开口向上,
∵二次函数的对称轴为直线在内,
∴当时,有最小值;
∵直线距直线最远,
∴当时,有最大值.
19.【答案】(1)
(2)解:列表如下:
x ... ﹣1 0 1 2 3 ...
y ... 0 3 4 3 0 ...
描点、连线,如图所示:
(3)
【解析】(1)解:

该二次函数的顶点式为;
解:由函数图象可知,二次函数对称轴为,
当时,;
当时,;
当时,.
【分析】(1)根据配方法将二次函数一般式化为顶点式即可求出答案.
(2)根据描点法:列表、描点、连线即可得到二次函数图象。
(3)根据二次函数图象与性质,求出当时,;当时,;即可求出答案.
(1)解:

该二次函数的顶点式为;
(2)解:列表如下:
x ... ﹣1 0 1 2 3 ...
y ... 0 3 4 3 0 ...
描点、连线,如图所示:
(3)解:由函数图象可知,二次函数对称轴为,
当时,;
当时,;
当时,.
20.【答案】(1)解:∵抛物线交x轴于点A和点B(5,0),
∴,
解得:b=1;
∴抛物线为,
∴抛物线的对称轴为直线:;
(2)解:由题意设A(x,0)
∵点B(5,0),对称轴为直线x=1,
∴,
解得:x=-3,
∴A(-3,0),
∴点A先向上平移m(m>0)个单位,再向右平移n(n>0)个单位得点C(-3+n,m),点B先向上平移m单位,再向左平移3n个单位也得点C(5-3n,m),
∴-3+n=5-3n,
∴n=2,
∴C的横坐标为-1,
把x=-1代入得,,
∴C(-1,6).
点C的坐标为(-1,6).
【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求得b的值,根据对称轴为直线x=即可求得抛物线的对称轴;
(2)由题意设A(x,0)根据抛物线的对称性可得关于x的方程,解方程求得x的值,于是可求得A的坐标,根据题意得到-3+n=5-3n,解得n=2,从而求得点C的横坐标为x=-1,代入抛物线解析式即可求得C的纵坐标.
(1)解:∵抛物线交x轴于点A和点B(5,0),
∴,
∴b=1,
∴抛物线为,
∴抛物线的对称轴为直线;
(2)解:∵点B(5,0),对称轴为直线x=1,
∴A(-3,0),
∴点A先向上平移m(m>0)个单位,再向右平移n(n>0)个单位得点C(-3+n,m),点B先向上平移m单位,再向左平移3n个单位也得点C(5-3n,m),
∴-3+n=5-3n,
∴n=2,
∴C的横坐标为-1,
把x=-1代入得,,
∴C(-1,6).
21.【答案】(1)解:设销售单价为元,由题意得,解得,,
∵该商品的销售单价不能高于元,
∴,
答:当销售单价定为元时,该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到元;
(2)解:设每月获得的利润为元,由题意得:
∵,
∴当时,随的增大而增大
∵,
∴当时,,
答:当销售单价为元时,销售销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大.
【解析】【分析】(1)设销售单价为元,根据利润=单利润×销售量列一元二次方程求解即可;
(2)设每月获得的利润为元,根据利润=单利润×销售量列二次函数关系式,根据二次函数的增减性解答即可.
(1)解:设销售单价为元,由题意得,
解得,,
∵该商品的销售单价不能高于元,
∴,
答:当销售单价定为元时,该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到元;
(2)设每月获得的利润为元,由题意得:
∵,
∴当时,随的增大而增大
∵,
∴当时,,
答:当销售单价为元时,销售销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大.
22.【答案】解:任务1:
以点A为坐标原点,所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图:
设抛物线的表达式为,
由题意可知,此抛物线经过,
∴可得三元一次方程组,得:,
解方程组,得,,
因此,此抛物线的函数表达式为:;
任务2:
由(1)可得:此抛物线的函数表达式为:,
根据题意可知,点P的纵坐标为:,
代入函数表达式,得:,
解得,,(不合题意,舍去),
∴点P的坐标为(12,3),
∴需将材料水平向左移动;
任务3:设相邻两根立柱分别是左起第m根和第根,
第m根立柱的高度为,
第(m+1)根立柱的高度为,
①-=,
解得n=4,
②-=,
解得n=13,
答:这两根相等的立柱分别为第4根和第5根或者第13根和第14根.
【解析】【分析】(1)根据待定系数法求函数解析式即可;
(2)根据题意得点P的纵坐标并代入函数解析式,求出点P的坐标,再进行判断即可;
(3)依据题意,某相邻两根立柱的高度差为,设相邻两根立柱分别是左起第m根和第根,求出每根立柱的高度,再分情况列出方程求解即可.
23.【答案】(1)解:设二次函数的解析式为,
∵ 二次函数(b,c为常数)的图象经过点,
∴,
解得:,
∴;
(2)解:∵点B平移后的点的坐标为,
∴,
解得:或(舍),
∴m的值为;
(3)解:当时,
∴最大值与最小值的差为,解得:不符合题意,舍去;
当时,
∴最大值与最小值的差为,符合题意;
当时,
最大值与最小值的差为,解得或,不符合题意;
综上所述,n的取值范围为.
【解析】【分析】(1)先根据对称轴设出二次函数关系式,再将A点坐标代入求出二次函数关系式;
(2)先求出平移后点B的坐标,可得到关于m的方程求解;
(3)分"","",“”,分别建立方程求解,求出n的 取值范围 .
(1)解:设二次函数的解析式为,把代入得,
解得,
∴;
(2)解:点B平移后的点的坐标为,
则,解得或(舍),
∴m的值为;
(3)解:当时,
∴最大值与最小值的差为,解得:不符合题意,舍去;
当时,
∴最大值与最小值的差为,符合题意;
当时,
最大值与最小值的差为,解得或,不符合题意;
综上所述,n的取值范围为.
24.【答案】(1)解:∵抛物线与轴交于两点,
∴令,得,
∴,
∴,
令,得,
解得:,
∴,
∴,
∴三角形的面积为:;
(2)解:设直线的解析式为:,
将,代入解析式,得,
解得:,
∴直线的解析式为:,
设点,则,
∴,
∵,
∴当时,有最大值为,此时;
(3)解:∵抛物线,
∴抛物线的对称轴为直线,
∵把抛物线向右平移三个单位得到新抛物线,
∴新抛物线的对称轴为:直线,
设,由(1)得、,
∵以为顶点的四边形是菱形,
∴当为菱形对角线,且时,有,
解得:
∴N;
当为菱形对角线,且时,有,
解得:或,
∴N或;
当为菱形对角线,且时,有,
此时方程组无实数解;
综上所述,的坐标为或或.
【解析】【分析】(1)先令,,求出的坐标,得的值,然后利用三角形面积公式即可求解;
(2)利用待定系数法求出直线的解析式,然后设点,从而可得点坐标,进而可表示出的值,最后利用二次函数的最值知识即可求解;
(3)先求出原抛物线的对称轴,得新抛物线的对称轴,然后设,由(1)得、,接下来进行分类讨论:当为菱形对角线,且时;当为菱形对角线,且时;当为菱形对角线,且时;利用菱形的性质得关于的方程组,解方程组即可求解.
(1)解:令,得,
∴;
令,得,
解得:

∴,
∴三角形的面积为:
(2)解:设直线的解析式为:,
则,
解得:,
∴直线的解析式为:,
设点,则

∴当,即点时,有最大值,且最大值为;
(3)解:抛物线的对称轴为:直线,
∴新抛物线的对称轴为:直线
设,由(1)得、
当为对角线时,且

解得:
∴N
当为对角线时,且

解得:或
∴N或
当为对角线时,且
∴,
此时方程组无实数解;
综上所述,N的坐标为或或

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