资源简介

/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
浙教版2025年九年级上第1章《二次函数》单元测试卷
满分120分 时间120分钟
一、选择题(共10题；共30分)
1．下列函数中， y 关于 x 的二次函数是（　　）
A． B．y＝2x（x＋1）
C． D．y＝（x 2）2 x2
2．已知二次函数（）的图象经过点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．抛物线的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
4．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　）
A． B．
C． D．
8．二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，下列说法正确的是（　　）
0 1 2 4
2 4.5 5 0
A． B．
C． D．
9．如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为
10．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，以下结论：①abc＞0； ②方程x2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3； ③抛物线上有三点（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3），则y1＞y3＞y2；④若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是﹣4≤y＜0；其中正确的有（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题(共6题；共18分)
11．如果是二次函数，则的值为　 　．
12．抛物线与y轴的交点坐标是　 　．
13．已知，在二次函数的图象上，比较　 　．（填、或）
14．已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，它的顶点坐标为，则此抛物线的解析式　 　．
15．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是　 　．
16．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”.在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“二倍点”，则的取值范围是　 　．
三、解答题(共8题；共72分)
17．已知二次函数的图象经过点．
（1）求c的值；
（2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由．
18．已知二次函数的图象经过和．
（1）求该二次函数的表达式和对称轴；
（2）当时，求该二次函数的最大值和最小值．
19．已知二次函数．
（1）请直接写出该二次函数的顶点式：_____________；
（2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）根据图像回答问题：当时，的取值范围是___________．
20．如图，在直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和点B（5，0），点A先向上平移m（m＞0）个单位，再向右平移n（n＞0）个单位得点C；点B先向上平移m单位，再向左平移3n个单位也得点C，且点C恰好落在该抛物线上．
（1）求b的值及该抛物线的对称轴．
（2）求点C的坐标．
21．某商场购进单价40元的毛绒玩具．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每个月可销售100个，而当销售单价每降低10元时，平均每个月就多销售20个．其中按物价部门的有关规定，该商品的销售单价不能高于70元，也不能低于40元．
（1）当销售单价定为多少元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到2000元？
（2）当单价定价为多少时，销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大？最大利润是多少？
22．下表是九年级某数学兴趣小组的一份调查报告，请阅读报告并完成任务．
课题 用数学的眼光观察现实世界
调查方式 实地查看、查阅资料
调查对象 大发渠特大桥
相关资料 大发渠特大桥，如图1，位于贵州省遵义市播州区境内，是连续T型梁及上承式钢管混凝土拱桥，为仁怀至遵义高速公路的控制性工程之一．大桥工程立项时叫团结大桥，位于“七一勋章”获得者、时代楷模黄大发的家乡——团结村半坎组，并与“大发渠”相交，故命名为大发渠特大桥．
实物图、模型图
数学眼光 小组成员受到该桥的启示，设计了一座桥的模型如图2，桥面在一些立柱的支撑下承重，立柱、之间的曲线是抛物线，，，抛物线上最高点E到桥面的距离为（点A，E，B在同一平面内），若以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
任务（1） 求出抛物线的函数表达式．
任务（2） 在图2中，对拱桥段施工时，需用塔吊将B点正上方的材料水平向左运送到抛物线上点P的正上方，再垂直放下进行安装，若点P到桥面的距离为，则需将材料水平向左移动多少？
任务（3） 兴趣小组在模型中设计了17根间距相等的立柱，若某相邻两根立柱的高度差为，求这相邻的两根立柱分别是左起第几根？（为左起第一根立柱）
23．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．
（1）求三角形的面积；
（2）点P为直线上方的抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交线段于H，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）把抛物线向右平移三个单位得到新抛物线，若点N为新抛物线对称轴上一点，点M为平面内任意一点，请直接写出当以B，C，M，为顶点的四边形是菱形时点的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、y＝2x＋1是一次函数，故A不符合题意；
B、y＝2x（x＋1）是二次函数，故B符合题意；
C、 不是二次函数，故C不符合题意；
D、y＝（x 2）2 x2是一次函数，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点，
∴
∴
故答案为：D．
【分析】把点代入计算a的值即可．
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由抛物线可知对称轴是直线；
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的顶点式直接求出对称轴即可。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：C
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，，
则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项；
∵，，
∴，
∴抛物线的对称轴直线，
即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据一次函数的图象，可先确定a和b的符号；再根据二次函数与y轴的交点和抛物线开口方向，可确定a和b的符号，进而确定ab的符号；最后再根据二次函数的对称轴公式：，确定对称轴的位置，从而即可判断。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为，
即，
故答案为：C．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，y=（60-x）（300+20x），
故答案为：B.【分析】根据降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可求解.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：设二次函数解析式为
根据题意得，
解得
∴
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，配方成顶点式求出对称轴即可解题．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：A、由图象可知，弹簧压缩后小球开始减速，故此选项不符合题意；
B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最小，速度为0，故此选项不符合题意；
C、由图象可知，当小球的速度最大时，弹簧压缩，此时弹簧的长度为，故此选项符合题意；
D、由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为，此时弹簧的长度为，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】此图象反应的是小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系，根据图象给出的信息可得小球速度v在接触弹簧后先增加后减少，说明小球在接触弹簧的初期，由于重力大于弹簧的弹力，小球继续加速，直到弹力等于重力时，小球速度达到最大，之后弹力大于重力，小球开始减速，据此可判断A选项； 小球速度v在弹簧压缩至最短时为0，说明此时小球速度最小，而非最大，据此可判断B选项；小球速度最大时，弹簧压缩长度Δl约为2cm，因此弹簧的长度为初始长度12cm减去压缩长度2cm，据此可判断C选项；小球下落至最低点时，弹簧压缩长度Δl约6为6cm，因此弹簧的长度为初始长度12cm减去压缩长度，据此可判断D.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得：
解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴abc＝1×（﹣2）×（﹣3）＞0，故①正确；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；
把（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）分别代入y＝x2﹣2x﹣3得：y1＝0，y2＝﹣4，y3＝5，
∴y3＞y1＞y2，故③错误；
∵﹣1＜x＜2，对称轴为x＝1，
∴y的最小值为﹣4，
当x＝﹣1时，y＝0，当x＝2时，y＝﹣3，
∴y的取值范围为﹣4≤y＜0，故，④正确；
故答案为：C．
【分析】先利用二次函数的图象与系数的关系求出a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项分析判断即可.
11．【答案】
【解析】【解答】解：函数是二次函数，
，，
解得：或，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】根据二次函数的定义即可求出答案.
12．【答案】
【解析】【解答】解：令抛物线中，
即，
解得，
故与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【分析】根据在y轴上的点的横坐标等于0，将x=0代入解析式，求出y的值，即可求解.
13．【答案】
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
∴．
故答案为：.
【分析】将和代入二次函数解析式，求出、的值即可解题．
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（-2，1），抛物线的形状、开口方向与抛物线y=-3x2相同，
∴所求抛物线的解析式为．
故答案为：．
【分析】二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）中a决定抛物线的开口方向和开口大小，a＞0开口方向向上，a＜0，开口方向向下，据此结合题意可知所求抛物线解析式中二次项系数小于零，此题又给出了抛物线的顶点坐标，故利用顶点式可直接写出所求解析式.
15．【答案】
【解析】【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，
由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0），
∴0=a（6-2）2+5，解得：，
∴抛物线解析式为：
当x=0时，
∴水管的长度OA是m．
故答案为：．
【分析】设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，根据待定系数法将（2，5）与（6，0）代入解析式，可得抛物线解析式为：，再根据y轴上点的坐标特征求出OS长，即可求出答案.
16．【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，二倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
∴，
解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得：，
综上，c的取值范围为：．
故答案为：．
【分析】由题意得，二倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求解．
17．【答案】（1）解：把代入得
，
；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，
当时，，
在这个二次函数的图象上．
【解析】【分析】（1）将代入可得，求出c值即可；
（2）把x=-2代入求出y值判断即可．
（1）解：把代入得
，
；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，
当时，，
在这个二次函数的图象上．
18．【答案】（1）解：∵经过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
∴对称轴为直线
（2）解：由（1）可知的开口向上，
∵二次函数的对称轴为直线在内，
∴当时，有最小值；
∵直线距直线最远，
∴当时，有最大值
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后根据对称轴公式计算即可；
（2）先根据开口向下，即可得到顶点处是最小值，然后根据离对称轴远的函数值大求出最大值即可．
（1）解：∵经过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
∴对称轴为直线；
（2）解：由（1）可知的开口向上，
∵二次函数的对称轴为直线在内，
∴当时，有最小值；
∵直线距直线最远，
∴当时，有最大值．
19．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
x ..． ﹣1 0 1 2 3 ..．
y ..． 0 3 4 3 0 ..．
描点、连线，如图所示：
（3）
【解析】（1）解：
，
该二次函数的顶点式为；
解：由函数图象可知，二次函数对称轴为，
当时，；
当时，；
当时，．
【分析】（1）根据配方法将二次函数一般式化为顶点式即可求出答案.
（2）根据描点法：列表、描点、连线即可得到二次函数图象。
（3）根据二次函数图象与性质，求出当时，；当时，；即可求出答案.
（1）解：
，
该二次函数的顶点式为；
（2）解：列表如下：
x ..． ﹣1 0 1 2 3 ..．
y ..． 0 3 4 3 0 ..．
描点、连线，如图所示：
（3）解：由函数图象可知，二次函数对称轴为，
当时，；
当时，；
当时，．
20．【答案】（1）解：∵抛物线交x轴于点A和点B（5，0），
∴，
解得：b=1；
∴抛物线为，
∴抛物线的对称轴为直线：；
（2）解：由题意设A（x，0）
∵点B（5，0），对称轴为直线x=1，
∴，
解得：x=-3，
∴A（-3，0），
∴点A先向上平移m（m＞0）个单位，再向右平移n（n＞0）个单位得点C（-3+n，m），点B先向上平移m单位，再向左平移3n个单位也得点C（5-3n，m），
∴-3+n=5-3n，
∴n=2，
∴C的横坐标为-1，
把x=-1代入得，，
∴C（-1，6）．
点C的坐标为（-1，6）.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得b的值，根据对称轴为直线x=即可求得抛物线的对称轴；
（2）由题意设A（x，0）根据抛物线的对称性可得关于x的方程，解方程求得x的值，于是可求得A的坐标，根据题意得到-3+n=5-3n，解得n=2，从而求得点C的横坐标为x=-1，代入抛物线解析式即可求得C的纵坐标．
（1）解：∵抛物线交x轴于点A和点B（5，0），
∴，
∴b=1，
∴抛物线为，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵点B（5，0），对称轴为直线x=1，
∴A（-3，0），
∴点A先向上平移m（m＞0）个单位，再向右平移n（n＞0）个单位得点C（-3+n，m），点B先向上平移m单位，再向左平移3n个单位也得点C（5-3n，m），
∴-3+n=5-3n，
∴n=2，
∴C的横坐标为-1，
把x=-1代入得，，
∴C（-1，6）．
21．【答案】（1）解：设销售单价为元，由题意得，解得，，
∵该商品的销售单价不能高于元，
∴，
答：当销售单价定为元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到元；
（2）解：设每月获得的利润为元，由题意得：
∵，
∴当时，随的增大而增大
∵，
∴当时，，
答：当销售单价为元时，销售销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大．
【解析】【分析】（1）设销售单价为元，根据利润=单利润×销售量列一元二次方程求解即可；
（2）设每月获得的利润为元，根据利润=单利润×销售量列二次函数关系式，根据二次函数的增减性解答即可．
（1）解：设销售单价为元，由题意得，
解得，，
∵该商品的销售单价不能高于元，
∴，
答：当销售单价定为元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到元；
（2）设每月获得的利润为元，由题意得：
∵，
∴当时，随的增大而增大
∵，
∴当时，，
答：当销售单价为元时，销售销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大．
22．【答案】解：任务1：
以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图：
设抛物线的表达式为，
由题意可知，此抛物线经过，
∴可得三元一次方程组，得：，
解方程组，得，，
因此，此抛物线的函数表达式为：；
任务2：
由（1）可得：此抛物线的函数表达式为：，
根据题意可知，点P的纵坐标为：，
代入函数表达式，得：，
解得，，（不合题意，舍去），
∴点P的坐标为（12，3），
∴需将材料水平向左移动；
任务3：设相邻两根立柱分别是左起第m根和第根，
第m根立柱的高度为，
第（m+1）根立柱的高度为，
①-=，
解得n=4，
②-=，
解得n=13，
答：这两根相等的立柱分别为第4根和第5根或者第13根和第14根.
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意得点P的纵坐标并代入函数解析式，求出点P的坐标，再进行判断即可；
（3）依据题意，某相邻两根立柱的高度差为，设相邻两根立柱分别是左起第m根和第根，求出每根立柱的高度，再分情况列出方程求解即可.
23．【答案】（1）解：设二次函数的解析式为，
∵ 二次函数（b，c为常数）的图象经过点，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：∵点B平移后的点的坐标为，
∴，
解得：或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
【解析】【分析】（1）先根据对称轴设出二次函数关系式，再将A点坐标代入求出二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，可得到关于m的方程求解；
（3）分""，""，“”，分别建立方程求解，求出n的 取值范围 ．
（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，解得或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
24．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴令，得，
∴，
∴，
令，得，
解得：，
∴，
∴，
∴三角形的面积为：；
（2）解：设直线的解析式为：，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为，此时；
（3）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵把抛物线向右平移三个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的对称轴为：直线，
设，由（1）得、，
∵以为顶点的四边形是菱形，
∴当为菱形对角线，且时，有，
解得：
∴N；
当为菱形对角线，且时，有，
解得：或，
∴N或；
当为菱形对角线，且时，有，
此时方程组无实数解；
综上所述，的坐标为或或.
【解析】【分析】（1）先令，，求出的坐标，得的值，然后利用三角形面积公式即可求解；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，然后设点，从而可得点坐标，进而可表示出的值，最后利用二次函数的最值知识即可求解；
（3）先求出原抛物线的对称轴，得新抛物线的对称轴，然后设，由（1）得、，接下来进行分类讨论：当为菱形对角线，且时；当为菱形对角线，且时；当为菱形对角线，且时；利用菱形的性质得关于的方程组，解方程组即可求解.
（1）解：令，得，
∴；
令，得，
解得：
∴
∴，
∴三角形的面积为：
（2）解：设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点，则
∴
∴当，即点时，有最大值，且最大值为；
（3）解：抛物线的对称轴为：直线，
∴新抛物线的对称轴为：直线
设，由（1）得、
当为对角线时，且
∴
解得：
∴N
当为对角线时，且
∴
解得：或
∴N或
当为对角线时，且
∴，
此时方程组无实数解；
综上所述，N的坐标为或或

展开更多......

收起↑