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江阴市第二中学2024级高一数学阶段性检测2025.3.15
一．选择题
1．①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；③若非零向量与满足+＝0，则、为相反向量．其中正确的有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知平面向量满足，且，则＝（　　）
A． B． C． D．
4．已知＝（1，2），＝（2，﹣2），＝（λ，﹣1），，则λ等于（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．﹣ D．
5．已知向量与的夹角为30°，，，若，则实数λ＝（　　）
A． B．1 C． D．2
6．设，为单位向量，在方向上的投影向量为﹣，则|﹣2|＝（　　）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccosB+bcosC＝asinA，△ABC的面积S＝（b2+a2﹣c2），则B＝（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝3，b＝2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的高线AH的长等于（　　）
A． B． C．2 D．
二．多选题
（多选）9．下列说法中错误的为（　　）
A．已知，且与夹角为锐角，则
B．已知，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若且，则
D．若非零，满足，则与的夹角是60°
（多选）10．对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是（　　）
A．若cosA＝cosB，则△ABC为等腰三角形
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是锐角三角形
（多选）11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列选项正确的是（　　）
A．若，，则△ABC有两解
B．若，，则△ABC无解
C．若△ABC为锐角三角形，且B＝2C，则
D．若A+B＝2C，则a+b的最大值为
三．填空题（共10小题）
12．在△ABC中，，P是直线BD上一点，若，则实数m的值为 　 　．
13．在矩形ABCD中AB＝4，，点E为边AB的中点，点F为线段BC上的动点，则的取值范围是 　 　．
14．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 　 　分钟．（注：）
四．解答题
15．已知向量，满足||＝1，||＝2，且（2﹣） （+3）＝﹣5．
（1）若（﹣k）⊥（k+），求实数k的值；
（2）求与2+的夹角．
16．在△ABC中，BC＝6，∠ACB＝60°，边AB，BC上的点M，N满足，，P为AC中点．
（1）设，求实数λ，μ的值；
（2）若，求边AC的长．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为
.
（1）求角C；
（2）若的面积为，求△ABC的周长．
18．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，连接AD并延长到点E，使AE＝3DE．
（1）若DE＝1，求∠BAC的余弦值；
（2）若∠ABC＝，求线段BE的长．
19．如图所示，在△ABD的边BD外侧作△BCD，使得四点A，B，C，D在同一平面内．
（1）若证明：为一个定值；
（2）若锐角△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b（b﹣a）＝4，c＝2，求a﹣b的取值范围．
江阴市第二中学2024级高一数学阶段性检测2025.3.15参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D A A D D B
一．选择题
1．①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；③若非零向量与满足+＝0，则、为相反向量．其中正确的有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：对于①：由共线向量定义可知，①正确；
对于②：若向量与是共线向量，则表示向量与的线段有可能平行或重合，故②错误；
对于③：若非零向量与满足，则，所以、互为相反向量，故③正确．
故选：C．
2．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得：，又，，
所以．故选：D．
3．已知平面向量满足，且，则＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为平面向量，满足，且，，
所以，所以，解得，
所以，．故选：D．
4．已知＝（1，2），＝（2，﹣2），＝（λ，﹣1），，则λ等于（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．﹣ D．
【解答】解：∵＝（1，2），＝（2，﹣2），∴2+＝2（1，2）+（2，﹣2）＝（4，2），
∵＝（λ，﹣1），，∴（λ，﹣1）＝（4，2），∴2λ＝﹣4，解得λ＝﹣2，
故选：A．
5．已知向量与的夹角为30°，，，若，则实数λ＝（　　）
A． B．1 C． D．2
【解答】解：若，则 （λ﹣）＝λ﹣ ＝4λ﹣2××cos30°＝0，
即4λ﹣3＝0，解得实数λ＝．故选：A．
6．设，为单位向量，在方向上的投影向量为﹣，则|﹣2|＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为在方向上的投影向量为﹣，所以＝﹣，则＝﹣，
又因为，为单位向量，所以，所以cos＜，＞＝﹣，
所以|﹣2|＝＝＝＝．故选：D．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccosB+bcosC＝asinA，△ABC的面积S＝（b2+a2﹣c2），则B＝（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【解答】解：由正弦定理及ccosB+bcosC＝asinA，得sinCcosB+sinBcosC＝sin2A，
所以sin（C+B）＝sinA＝sin2A，
因为0＜A＜180°，所以sinA＝1，即A＝90°，
因为S＝（b2+a2﹣c2）＝absinC，且c2＝b2+a2﹣2abcosC，
所以 2abcosC＝absinC，化简得tanC＝＝，
又0＜C＜90°，所以C＝60°，所以B＝30°．故选：D．
8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝3，b＝2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的高线AH的长等于（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：由题意知，设∠BAD＝∠CAD＝α，则∠BAC＝2α，如图所示，
由S△ABC＝S△ABD+S△ACD，可得，
整理得，即，又因为sinα≠0，所以，
所以，所以，
在△ABC中，由余弦定理得a2＝32+22﹣2×3×2cos2α＝13﹣4＝9，所以a＝3，
由，可得，解得．
故选：B．
二．多选题
（多选）9．下列说法中错误的为（　　）
A．已知，且与夹角为锐角，则
B．已知，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若且，则
D．若非零，满足，则与的夹角是60°
【解答】解：对于A选项，已知，且与夹角为锐角，
则，解得，
当与共线时，即（1，2）∥（1+λ，2+λ），可得2+λ﹣2（1+λ）＝0，解得λ＝0，
由于当λ＝0时，与相等，夹角为零度，不符合题意，所以且λ≠0，故A选项错误；
对于B选项，因为，所以与共线，
则，不能作为平面内所有向量的一组基底，
故B选项正确；
对于C选项，由可得：，
因为，所以有可能或，故C选项错误；
对于D选项，若非零，满足，
由可得：
，
，解得，
根据两向量的夹角公式可得
，再利用，代入得：
，
因为，所以，
则与的夹角是60°是错误的，故D选项错误．
故选：ACD．
（多选）10．对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是（　　）
A．若cosA＝cosB，则△ABC为等腰三角形
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是锐角三角形
【解答】解：A，在三角形内，若cosA＝cosB，则A＝B，∴△ABC为等腰三角形，故A正确，
B，若A＞B，由a＞b，所以2rsinA＞2rsinB，则sinA＞sinB，故B正确；
C，由余弦定理可得b2＝82+102﹣2×8×10×cos60°，b唯一，只有一解，故C错误；
D，若sin2A+sin2B＞sin2C，则根据正弦定理得a2+b2＞c2，cos＝＞0，∴C为锐角，但角A，B无法判断，故D不正确；
故选：AB．
（多选）11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列选项正确的是（　　）
A．若，，则△ABC有两解
B．若，，则△ABC无解
C．若△ABC为锐角三角形，且B＝2C，则
D．若A+B＝2C，则a+b的最大值为
【解答】解：对于A，因为，所以csinB＜b＜c，则△ABC有两解，故A正确；
对于B，因为，所以△ABC有且仅有一解，故B错误；
对于C，由，得，故C正确．
对于D，因为A+B＝2C，所以，又因为，
所以，
则
＝，
因为，所以，
所以当，即时，a+b取得最大值，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题
12．在△ABC中，，P是直线BD上一点，若，则实数m的值为 　﹣　．
【解答】解：在△ABC中，，P是直线BD上一点，且，
故可设，
所以，
又，所以，
所以，所以，所以，．故答案为：．
13．在矩形ABCD中AB＝4，，点E为边AB的中点，点F为线段BC上的动点，则的取值范围是 　[8，20]　．
【解答】解：以A为坐标原点，AB，AD分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则D（0，2），E（2，0），F（4，t），其中t∈[0，2]，
所以＝（2，﹣2），＝（4，t﹣2），
所以＝8﹣2（t﹣2）＝20﹣2t∈[8，20]．
故答案为：[8，20]．
14．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 　15　分钟．（注：）
【解答】解：设缉私艇最快在D处追上走私船，追上走私船需t小时，则BD＝10t，，
∴在△ABC中，已知，AC＝2，
∵∠BAC＝45°+75°＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2+AC2﹣2AB AC cos∠BAC
＝，即，
由正弦定理得，则，
∴∠ABC＝45°，∴BC为东西走向，∴∠CBD＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得，
则，且∠BCD为锐角，
∴∠BCD＝30°，∴∠BDC＝30°∴，
即，∴小时，即15分钟．故答案为：15．
四．解答题
15．已知向量，满足||＝1，||＝2，且（2﹣）（+3）＝﹣5．
（1）若（﹣k）⊥（k+），求实数k的值；
（2）求与2+的夹角．
【解答】解：（1）根据题意，向量，满足||＝1，||＝2，且（2﹣） （+3）＝﹣5，
则有（2﹣） （+3）＝22﹣32+5 ＝2﹣12+5 ＝﹣5，变形可得 ＝1，
若（﹣k）⊥（k+），则（﹣k）⊥（k+）＝k2﹣k2+（1﹣k2） ＝﹣3k+1﹣k2＝0，
解可得：k＝或；
（2）根据题意，设与2+的夹角为θ，
则（2+）2＝42+2+4 ＝12，则|2+|＝2，
（2+）＝22+ ＝3，
故cosθ＝＝＝，
又由0≤θ≤π，则θ＝，即与2+的夹角为．
16．在△ABC中，BC＝6，∠ACB＝60°，边AB，BC上的点M，N满足，，P为AC中点．
（1）设，求实数λ，μ的值；
（2）若，求边AC的长．
【解答】解：（1）因为，，所以，，
所以＝，
又，且、不共线，所以，；
（2）因为，
所以
＝，
解得或（舍去），即边AC的长为8．
17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为
，且．
（1）求角C；
（2）若的面积为，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵，＝（a，c﹣b），＝（sinC+sinB，sinA+sinB），
∴a（sinA+sinB）＝（c﹣b）（sinC+sinB），∴由正弦定理得a（a﹣b）＝（c﹣b）（c+b），
即a2+b2﹣c2＝﹣ab，由余弦定理得，又C∈（0，π），则；
（2）由（1）得a2+b2﹣c2＝﹣ab，∴（a+b）2﹣ab＝c2＝18，
又，则ab＝6，∴（a+b）2＝18+ab＝24，即，
∴△ABC的周长为．
18．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，连接AD并延长到点E，使AE＝3DE．
（1）若DE＝1，求∠BAC的余弦值；
（2）若∠ABC＝，求线段BE的长．
【解答】解：（1）∵DE＝1，AE＝3DE，∴AD＝2，
∵∠ADB+∠ADC＝π，∴cos∠ADB+cos∠ADC＝0，
由题意设BD＝DC＝x，AB＝4，AC＝2，
则在△ADB中，由余弦定理得cos∠ADB＝＝＝，
在△ADC中，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝，
∴+＝0，解得x＝2，∴BC＝2BD＝4，
在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝﹣；
（2）∵AB＝4，AC＝2，∠ABC＝，
∴在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB BCcos∠ABC，即8＝16+BC2﹣2×4×BC，解得BC＝2，∵点D为BC的中点，∴BD＝BC＝，
在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB BDcos∠ABC＝16+2﹣2××4×＝10，即AD＝，∵AE＝3DE，∴AE＝AD＝，
在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAE＝＝＝，
在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2+AE2﹣2AB AEcos∠BAE＝16+（）2﹣2×4××＝，即BE＝．
19．如图所示，在△ABD的边BD外侧作△BCD，使得四点A，B，C，D在同一平面内．
（1）若，证明：为一个定值；
（2）若锐角△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b（b﹣a）＝4，c＝2，求a﹣b的取值范围．
【解答】（1）证明：在△ABD中，因为，
由余弦定理得BD2＝AB2+AD2﹣2AB ADcos∠BAD
＝＝，①
在△BCD中，BC＝CD＝m，由余弦定理得BD2＝BC2+CD2﹣2BC CDcos∠BCD
＝m2+m2﹣2×m×mcos∠BCD＝2m2﹣2m2cos∠BCD，②
由①②可得，
化简得，即证得为一个定值1；
（2）解：由a2+b（b﹣a）＝4，c＝2，可知a2+b2﹣ab＝c2，
由余弦定理可得a2+b2﹣2abcosC＝c2，所以cosC＝，又0°＜∠ACB＜180°，则∠ACB＝60°，
由正弦定理可得：＝，
所以，
所以＝[sin∠BAC﹣sin（∠BAC+∠ACB）]
＝
＝＝，
在锐角△ABC中，则，
则30°＜∠BAC＜90°，得﹣30°＜∠BAC﹣60°＜30°，可得sin（∠BAC﹣60°）∈（﹣，），
所以，故，
即a﹣b的取值范围为．

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