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22.2二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．（2025九上·衡东期末）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点A的坐标是，与x轴的一个交点B的坐标为，直线经过A，B两点．下列结论错误的是（　　）
A．
B．方程有两个相等的实数根
C．当时，
D．抛物线与x轴的另一个交点是
2．（2024九上·安宁期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；其中正确的结论有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（2024九上·贵阳月考）小星利用表格中的数据，估算一元二次方程的根，
x … 0 1.1 1.2 1.3 1.4 …
… －2 －0.68 －0.32 0.08 0.52 …
由此可以确定，方程的一个根的大致范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·越秀月考）根据下表中的对应值：
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
-1.01 -0.64 -0.25 0.16 0.59
判断方程的一个解的范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·张湾模拟）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2019·邯郸模拟）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
7．（2024九下·东营模拟）二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线．下列结论：①；②；③和在该二次函数的图象上，则当实数时，；④方程（，k为常数）的所有根的和为4，其中正确结论是（　　）．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025九上·湖州期末）小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是（　　）
1 2 3 4
0 5
A．4 B．3 C．2 D．1
9．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·荆州模拟）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④；．其中正确的有（　　）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①④
二、填空题
11．（2023九上·合肥期中）拋物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的两根为　 　.
12．（2024九上·秦淮期中）已知代数式（a，c是常数）中，x与该代数式的部分对应值如下表：
0.0142 0.0832
根据表中数据，可知关于x的方程的一个根约为　 　，另一个根约为　 　．（都精确到0.1）
13．（2024九上·即墨月考）根据下表信息，估计一元二次方程的一个解的范围是　 　．
x … …
… …
14．（2021·江岸模拟）二次函数 ，x与y的部分对应值如下表：当 时，下列结论中一定正确的是　 　.（填序号即可）
x －1 0 3
y n 1 1
① ；② ；③关于x的一元二次方程 的一根在3和4之间；④当 时，y的值随x值的增大而减小.
15．（2024九上·大安期末）如图，若抛物线y= ax2 + bx+c上的P（4，0）， Q两点关于它的对称轴直线x= 1对称，则关于x的一元二次方程ax2+ bx+c=0的解是　 　

16．已知二次函数 的图象如图所示， 对称轴为直线 ， 与 轴的一个交点为 ， 结合图象填空 (填 “ 或 ．
（1） 　 　　 　　 　0
（2） 　 　　 　　 　 0 ；
（3） 　 　 0 ；
（4） 　 　　 　 0 ；
（5） 　 　　 　 0 ；
（6） 　 　　 　 0．
三、计算题
17．（2024·西平模拟）排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．
（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 0 2 4 6 11 12
竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52
①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系；
②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由．
（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．
18．（2024九下·永州模拟）以x为自变量的两个函数y与g，令，我们把函数h称为y与g的“相关函数”例如：以x为自变量的函数与它们的“相关函数”为．恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量x取何值，恒成立．
（1）已知函数与函数相交于点、，求函数y与g的“相关函数”h；
（2）已知以x为自变量的函数与，当时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”恒成立，求t的取值范围；
（3）已知以x为自变量的函数与（a、b、c为常数且，），点，点、是它们的“相关函数”h的图象上的三个点，且满足，求函数h的图象截x轴得到的线段长度的取值范围．
四、解答题
19．（2023九上·路桥月考）已知二次函数图象的顶点坐标为(2，－1)，且过点(0，3)．
（1）求该二次函数解析式．
（2）判断点A(1，1)是否在该函数图象上．
20．（2023九上·凉州月考）二次函数的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点，与y轴交于点，且经过点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将此二次函数的解析式写成的形式，并直接写出顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标；
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是_________．
21．（2024九上·绍兴期中）已知抛物线y=ax2+x+1（）
（1）若抛物线的图象与x轴只有一个交点，求a的值；
（2）若抛物线的顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．
22．（2023九上·襄州期中）某批发商出售一种成本价为10元/件的商品，市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与销售价x(元/件)满足一次函数y=-10x+400．这种商品每周的销售利润为w元
（1）求w与x的函数关系式；
（2）该商品销售价定为每件多少元时，每周的销售利润最大？
（3）商家为了盘活资金，碱少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2000元，则该商品每周的销售量是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
3．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
6．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
8．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
11．【答案】，
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
12．【答案】；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
13．【答案】
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
14．【答案】①②③
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
15．【答案】x1=-2，x2=4
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
16．【答案】（1）＜；＞；＞
（2）=；＜；＜
（3）＞
（4）＞；=
（5）＞；＜
（6）=；＜
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
17．【答案】（1）解：①由表中数据可得抛物线顶点，设 ，
把代入得，
∴所求函数关系为，
②当时，则，
∴能；
（2）解：判断：没有出界令，则，
解得（舍），，
∵，
∴没有出界．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
18．【答案】（1）
（2）
（3）且
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；二次函数与一元二次方程的综合应用
19．【答案】（1）解：设二次函数的图象为y=；
∵ 二次函数图象的顶点坐标为(2，－1)
∴可得二次函数的图象为y=
又∵图像过点（0，3）
将其代入函数，可得3=4a-1，解得a=1；
∴二次函数的解析式为y=(x 2)2 1；
（2）解：将x=1代入（1）中函数解析式中，可得y=1-1=0；
∵y=0≠0
∴点A不在图像上
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
20．【答案】（1）
（2），顶点坐标为
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
21．【答案】（1）解：由题意得方程ax2+x+1=0有两等实数根．
∴△＝b2-4ac＝1-4a＝0，∴a＝．
∴当a＝时函数图象与x轴恰有一个交点；
（2）解：由题意得
当a＞0时，4a-1＞0，解得a＞；
当a＜0时，4a-1＜0，解得a＜．∴a＜0.
∴当a＞或a＜0时，抛物线顶点始终在x轴上方．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
22．【答案】（1）解：根据题意，得w=(x- 10)(-10x+400) =-10x2+ 500x- 4000．
∴w与x之间的函数关系式是w= -10x2 + 500x-4000．
（2）解：根据题意，得w=-10x2+500x-4000=-10(x -25)2+2250．
由题意知x-10≥0，且-10x+400≥0
∴10≤x≤40
∵-10<0，
∴当x=25时，w取最大值．
答：该商品销售价定为每件25元时，每天的销售利润最大．
（3）解：根据题意，得- 10(x-25)2+ 2250=2000．
解这个方程，得x1=30，x2=20．
由y=-10x+400≥180，解得x≤22．
∴x=20．
当x=20时，y=-10x+400= 200．
答：该商品每周的销售量是200件．
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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