资源简介

儋州市第三中学2024-2025学年度高三年级下学期第二次月考卷
数学科
欢迎你参加本次考试，祝你高考一路畅通
考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟；命题人：xxx
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本答题卡由监考人员收回.
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，且，其中i是虚数单位，则（ ）
A．20 B．12 C． D．
3．已知正三角形的边长为2，点满足，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
4．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C．4 D．
6．已知椭圆的左顶点为，上顶点为．若是的焦距的倍，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．在高三某次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为12分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数是这组数据极差，则该组数据的第60百分位数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0
C．常数项为20 D．系数最大的项为第4项
10．已知数列是等差数列，且满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．最小 C． D．
11．已知抛物线，焦点，，动点满足，则（ ）
A．
B．若在上，则是等腰直角三角形
C．
D．的轨迹长度为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知，则 ．
13．从名同学中选择人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有 种安排方法（用数字作答）
14．在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题13分）已知等差数列满足：，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：；
16．（本小题15分）如图，已知三角形的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若，设为三角形的角平分线，求的长.
17．（本小题15分）已知函数（a为实常数）．
(1)若，求证：在上是增函数；
(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值；
(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
18．（本小题17分）（本小题13分）如图，在三棱锥中，，D为上一点，，.
(1)证明：平面平面ABC；
(2)若，，求：
（i）三棱锥的体积；
（ii）平面与平面夹角的余弦值.
19．（本小题17分）已知抛物线W：的焦点为F，直线l：与W相切．
(1)求W的方程．
(2)过点F且与平行的直线与W相交于M，N两点，求．
(3)已知点，直线l与W相交于A，B两点（异于点P），若直线AP，BP分别和以F为圆心的动圆相切，试问直线l是否过定点 若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
儋州市第三中学2024-2025学年度高三年级下学期第二次月考卷参考答案
1．C，由于，故，
2．C因为，所以，所以，解得，，
所以.
3．C因为，所以，
，
4．D，，所以，
所以曲线在点处的切线斜率为，由点斜式可得，化简可得.
即曲线在处的切线方程为.
5．B由题意，又，所以，故，所以，
所以双曲线，故渐近线方程为且焦点为，则焦点到渐近线的距离为.
6．B设椭圆的半焦距为c，而，又，
则，整理得，因此，所以的离心率为.
7．D已知数据，，，，10，12，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数和的平均数，即中位数为.极差是最大值12减去最小值，即极差为.
因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以.可得：.
此时这组数据为，，，10，10，12. 计算，所以第60百分位数是第个数，即10.
8．C由为奇函数有，为偶函数有，
所以有，即，
所以函数的周期为，所以，
又，
9．AB根据的展开式的第公式，
可知所有项的二项式系数和为，所以选项A正确的；
根据展开式，令可得：
，所以选项B是正确的；
易得常数项为：，所以选项C是错误的；
根据该展开式的系数就是正负摆动的二项式系数，所以结合二项式系数的对称性和单调性可知：
，且，可知该展开式的与的系数是最大，所以选项D是错误；
10．ACD对于D，设等差数列公差为d，由题意，知，则，即，故D正确；
对于A，，故A正确；
对于B ，因，则，
故，
当，又离最近整数为4或5，则或最大，由题无法确定符号，故B错误；
对于C，由D分析，，则由等差数列性质可得，
则，故C正确.
11．ABC，A.由题意得，故，抛物线的方程为，A正确．
B.由选项A得抛物线准线为直线，过点向准线作垂线，垂足为，则，故，，
不妨设点在第一象限，则，直线的方程为，与联立得，
∴轴，故是等腰直角三角形，B正确.
C.由得，整理得，
∴，C正确．
D.由得，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故轨迹长度为，D错误．
12．，.
13．第一步，从人中选人，共有种取法，第二步，将人分成三组，共有种分法，
再进行全排有种排法，由分步计算原理知，共有种安排方法，
14．由题意可知三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点，
将三棱锥补成正方体，棱长为1，
故其该正方体的外接球的直径为，
即三棱锥的外接球的直径为，则三棱锥的外接球的半径为，
则球O的表面积为.
15．（1）设数列的公差为d，依题意：成等比数列，
所以，解得：或
当时，，当时，
所以数列的通项公式为或
（2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知
则
所以，故
而随n的增大而增大，则，故成立
16．（1）由得,
又因为，所以,又因为，
所以,又因为,所以.
（2）因为，
所以,
又因为,
所以,所以,
17．（1）由题设，则，
则在上有，故在上是增函数，得证；
（2）由题设，则，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以最小值为时，最大值为时；
（3）由题设在上能成立，则，
对于，则在上恒成立，
故在上单调递增，且时，即在上恒成立，
所以在上能成立，
令且，则，
对于且，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
当，，即在上恒成立，
在上恒成立，则在上单调递增，故，所以.
18．（1）在中，，，所以，所以，
又，所以，即，
又因为，，所以平面，
又平面ABC，所以平面平面.
（2）（i）因为，所以，则，，
所以在中，，
如图，过点P作于，，
由（1）可知，点P到的距离即为点P到平面的距离，所以三棱锥的体积.
（ii）如图，连接，则，，
以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，又，，所以，
，，，
设平面PAD的法向量为，
则令，则，，所以，
设平面PBC的法向量为，
则令，则，，所以，
设平面PAD与平面PBC的夹角为，则，
所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为.
19．（1）联立整理得．
因为与W相切，所以，解得或（舍去），
故W的方程为．
（2）由（1）可知．
因为，所以的方程为．
设，．
联立整理得，则，，
．
（3）设，，则直线l的方程为，①
直线AP的方程为，直线BP的方程为．
设动圆F的半径为r，．因为直线AP和圆F相切，所以，
整理得，
同理可得，
所以a，b是一元二次方程的两个实数根，
则，，代入①式整理得．
由，得，此时，故直线AB恒过定点．儋州市第三中学2024-2025学年度高三年级下学期第二次月考卷
数学科
1．C，由于，故，
2．C因为，所以，所以，解得，，
所以.
3．C因为，所以，
，
4．D，，所以，
所以曲线在点处的切线斜率为，由点斜式可得，化简可得.
即曲线在处的切线方程为.
5．B由题意，又，所以，故，所以，
所以双曲线，故渐近线方程为且焦点为，则焦点到渐近线的距离为.
6．B设椭圆的半焦距为c，而，又，
则，整理得，因此，所以的离心率为.
7．D已知数据，，，，10，12，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数和的平均数，即中位数为.极差是最大值12减去最小值，即极差为.
因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以.可得：.
此时这组数据为，，，10，10，12. 计算，所以第60百分位数是第个数，即10.
8．C由为奇函数有，为偶函数有，
所以有，即，
所以函数的周期为，所以，
又，
9．AB根据的展开式的第公式，
可知所有项的二项式系数和为，所以选项A正确的；
根据展开式，令可得：
，所以选项B是正确的；
易得常数项为：，所以选项C是错误的；
根据该展开式的系数就是正负摆动的二项式系数，所以结合二项式系数的对称性和单调性可知：
，且，可知该展开式的与的系数是最大，所以选项D是错误；
10．ACD对于D，设等差数列公差为d，由题意，知，则，即，故D正确；
对于A，，故A正确；
对于B ，因，则，
故，
当，又离最近整数为4或5，则或最大，由题无法确定符号，故B错误；
对于C，由D分析，，则由等差数列性质可得，
则，故C正确.
11．ABC，A.由题意得，故，抛物线的方程为，A正确．
B.由选项A得抛物线准线为直线，过点向准线作垂线，垂足为，则，故，，
不妨设点在第一象限，则，直线的方程为，与联立得，
∴轴，故是等腰直角三角形，B正确.
C.由得，整理得，
∴，C正确．
D.由得，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故轨迹长度为，D错误．
12．，.
13．第一步，从人中选人，共有种取法，第二步，将人分成三组，共有种分法，
再进行全排有种排法，由分步计算原理知，共有种安排方法，
14．由题意可知三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点，
将三棱锥补成正方体，棱长为1，
故其该正方体的外接球的直径为，
即三棱锥的外接球的直径为，则三棱锥的外接球的半径为，
则球O的表面积为.
15．（1）设数列的公差为d，依题意：成等比数列，
所以，解得：或
当时，，当时，
所以数列的通项公式为或
（2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知
则
所以，故
而随n的增大而增大，则，故成立
16．（1）由得,
又因为，所以,又因为，
所以,又因为,所以.
（2）因为，
所以,
又因为,
所以,所以,
17．（1）由题设，则，
则在上有，故在上是增函数，得证；
（2）由题设，则，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以最小值为时，最大值为时；
（3）由题设在上能成立，则，
对于，则在上恒成立，
故在上单调递增，且时，即在上恒成立，
所以在上能成立，
令且，则，
对于且，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
当，，即在上恒成立，
在上恒成立，则在上单调递增，故，所以.
18．（1）在中，，，所以，所以，
又，所以，即，
又因为，，所以平面，
又平面ABC，所以平面平面.
（2）（i）因为，所以，则，，
所以在中，，
如图，过点P作于，，
由（1）可知，点P到的距离即为点P到平面的距离，所以三棱锥的体积.
（ii）如图，连接，则，，
以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，又，，所以，
，，，
设平面PAD的法向量为，
则令，则，，所以，
设平面PBC的法向量为，
则令，则，，所以，
设平面PAD与平面PBC的夹角为，则，
所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为.
19．（1）联立整理得．
因为与W相切，所以，解得或（舍去），
故W的方程为．
（2）由（1）可知．
因为，所以的方程为．
设，．
联立整理得，则，，
．
（3）设，，则直线l的方程为，①
直线AP的方程为，直线BP的方程为．
设动圆F的半径为r，．因为直线AP和圆F相切，所以，
整理得，
同理可得，
所以a，b是一元二次方程的两个实数根，
则，，代入①式整理得．
由，得，此时，故直线AB恒过定点．儋州市第三中学2024-2025学年度高三年级下学期第二次月考卷·答题卡
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