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河南省洛阳市 2025年九年级中考一模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在数轴上点表示的实数可能是（ ）
A． B． C．2.4 D．1.6
2．《实景三维河南建设总体实施方案（2023－2025年）》提出到2025年实现地形级实景三维全省域覆盖．截至目前，全省已建成万平方公里的三维地理场景．数据“万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是由六个大小相同的正方体搭成的几何体，现将小正方体A移到B的正上方后，这个几何体三视图发生改变的是（ ）
A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．主视图和左视图
4．如图，是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知A，B，C，D是同一圆上的点，相交于点，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙两人在相同条件下各射击10次．两人的成绩（单位：环）如图所示．下列结论正确的是（ ）
①甲的成绩更稳定 ②乙的成绩更稳定
③乙的平均成绩更高 ④每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
8．图1是两个完全相同的含角的直角三角板拼成的图形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜边向右上方移动，当四边形是菱形（如图2），且长直角边时，平移距离的长是（ ）
A． B．1 C． D．
9．在中，，点是上一点，且，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，相关信息见下表，则下列说法正确的是（ ）
信息窗1．溶质质量溶剂质量溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液．
A．甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度
B．当温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而增大
C．将时乙的饱和溶液降温至时，乙仍是饱和溶液
D．当温度高于时，用等质量的甲、乙分别配制成饱和溶液，乙需要的水的质量更多
二、填空题
11．方程组的解是 ．
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是 （写出一个即可）．
13．学校开展红色歌曲演唱活动，提供了《映山红》、《红梅赞》、《十送红苹》、《保卫黄河》这4首歌曲．要求每个班从中随机抽取2首进行排练，则某班抽到《映山红》和《保卫黄河》的概率是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在轴上，点的坐标为，点在边上，其坐标为，连接AC，BD相交于点，点在上，且，则点的坐标为 ．
15．如图，，点为上一定点，，，点为射线上一动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，则的长为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)化简：
17．某校为了解七年级学生跳绳情况，从七年级甲、乙两个班级随机抽取部分学生进行测试，两班抽取的人数相同，测试成绩分为，，，四个等级，其中各等级的得分分别记为分、分、分、分．现将甲、乙两班级的测试成绩整理并绘制成如下统计图表：
班级 平均数 中位数 众数
甲班
乙班
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中的值为_____，的值为_____，的值为_____；
(2)学校要组织一个跳绳展示活动，需要从甲、乙两个班级中选择一个班级参加，你会推荐哪个班级参加？请说明理由；
(3)从甲班抽取的数据中选取个，与乙班抽取的全部数据组成一组新数据，若这组新数据的中位数大于原乙班数据的中位数，则的最小值为_____．
18．如图，在四边形中，为对角线，．
(1)用无刻度直尺和圆规在线段上求作一点，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，请证明（1）中得到的四边形是平行四边形．
19．数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为1的正方形组成的教具（图1），将它放入如图2的平面直角坐标系中．顶点A，O，B分别落在坐标轴上，点恰好落在反比例函数图象上．
(1)求反比例函数表达式；
(2)将此教具沿轴正方向平移个单位，在平移的过程中，若此教具边与反比例函数图象始终有交点，求的取值范围．
20．在某游乐场中，矗立着一座摩天轮，如图，其座舱围绕摩天轮的轴心做圆周运动．当座舱从最低点处开始转动，转动到位置时，过作于点，此时测得，；当座舱继续转动到位置时，过作于点，此时（所有点都在同一平面内，忽略座舱大小）．求的长（结果精确到，参考数据：，，，）．

21．随着端午节的临近，，两超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：
超市 超市
优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满元返元
(1)当购物金额为元时，选择_____超市（填“”或“”）更省钱；当购物金额为元时，选择_超市（填“”或“”）更省钱；
(2)若购物金额为元时，请分别写出在，两超市购物时的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱．
22．学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）．
(1)设自行车车棚的面积为平方米，车棚的宽度为米，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)若车棚面积需达到108平方米，求此时自行车车棚的长和宽；
(3)学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度为8米时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求．已知此时停车区的宽度（）是充电区宽度（）的倍，停车区和充电区的面积各是多少？
23．综合与实践
(1)【提出问题】
如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为_____；
(2)【类比探究】
如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．
①求的度数；
②当时，求的长；
(3)【迁移运用】
如图3，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，请直接写出的长．
《河南省洛阳市 2025年九年级中考一模数学试卷》参考答案
1．B
解：由数轴可得，
故符合题意的只有B，
故选：B．
2．B
解：万，
故选：B．
3．C
解：三视图画图如下：
改变只有左视图，
故A，B，D都不符合题意，C符合题意，
故选：C．
4．C
解：由题意得，，
，
，
．
故选：C．
5．A
解：A选项，，运算正确，符合题意；
B选项，，运算错误，不符合题意；
C选项，，运算错误，不符合题意；
D选项，、不是同类项，运算错误，不符合题意．
故选：A．
6．C
解：∵A，B，C，D是同一圆上的点，相交于点，，
∴，
∴，故A，B不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，故D不符合题意；
如图，记圆心为，连接，
∵不一定相等，
∴不一定相等；故C符合题意；
故选：C
7．A
解：根据折线统计图可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确，②错误；
又根据折线统计图可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故③正确；
如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故④错误；
故选：A．
8．D
解：由题意得，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即平移距离，
故选：D．
9．B
解：设交于点，连接、、，则，
以点为圆心，为半径的圆与相切于点，
，
，
，且，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
10．D
解：A．当温度小于时，甲种物质的溶解度小于乙种物质的溶解度，则原说法错误，故该选项不符合题意；
B．当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度先随着温度的升高而减小，后又随着温度的升高而增大，则原说法错误，故该选项不符合题意；
C．将时乙的饱和溶液降温至时，乙的溶解度变大，则乙不是饱和溶液，则原说法错误，故该选项不符合题意；
D．当温度高于时，用等质量的甲、乙分别配制成饱和溶液，因为甲的溶解度比乙大，所以乙需要的水的质量更多，说法正确，符合题意．
故选：D．
11．
解：
用方程①+方程②可得x=1，
代入方程x+y=1可得y=0，
解得方程组的解为．
故答案为：．
12．0（答案不唯一）
解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴符合题意的m的值可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
13．
解：设分别用A、B、C、D表示《映山红》、《红梅赞》、《十送红苹》、《保卫黄河》这4首歌曲，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中某班抽到《映山红》和《保卫黄河》的结果数有2种，
∴某班抽到《映山红》和《保卫黄河》的概率为，
故答案为：．
14．
解：如图，连接，交于点，过点作交于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵点的坐标为，点坐标为，
∴，，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴，
∵,
∴
∴
∴
∴
∴
∵，，
∴，即
故答案为：．
15．2或12
解：∵关于对称的图形为，，，，
∴，，，
若是直角三角形，
分为和
当时，如图，
则，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴；
当时，如图
过点作，
∴，
∴四边形 是矩形，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，
即，
∴，
综上，则的长为2或12；
故答案为：2或12．
16．(1)
(2)
（1）解：
（2）解：
．
17．(1)，，
(2)推荐甲班，理由见解析
(3)
（1）解：，
甲班人数为：人
甲班的成绩的中位数为第和个的平均数，即，
根据扇形统计图可得：乙班级的人数最多，即众数为，则
故答案为：，，．
（2）解：推荐甲班，
理由是：甲班成绩的中位数和众数都高于乙班，
（3）解：乙原来的中位数为，乙班全部数据中分的有人，分的有人，少于分的有人
中位数为第和个的平均数即，
新数据的中位数大于原乙班数据的中位数，则新数据中的中位数最少应为，
设甲班抽取的数据中选取个分，
∴，解得：
故答案为：．
18．(1)见解析
(2)见解析
1）解：如图，点为所作；
（2）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是平行四边形．
19．(1)
(2)
（1）解：由题意得，
∵点恰好落在反比例函数图象上
∴将代入得：，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：由题意得：，
∵将此教具沿轴正方向平移个单位，
∴平移后点对应点记为点，
当点恰好落在反比例函数图象上时，
将代入得：，
解得：，
∴此教具边与反比例函数图象始终有交点，则．
20．
∵，，
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∵，
∴
∴．
21．(1)；
(2)当时，选择超市更省钱
当时，超市函数表达式为，超市函数表达式为；当时，选择超市更省钱；当时，、两超市花费一样多；当时，选择超市更省钱
（1）解：，
超市八折优惠，超市不优惠，
选择超市更省钱；
，
超市应付：（元），超市应付：（元），
，
选择超市更省钱；
故答案为：；．
（2）解：当时，由（1）得选择超市更省钱
当时，超市函数表达式为：，超市函数表达式为：，
当，即时，选择超市更省钱；
当，即时，、两超市花费一样多；
当，即时，选择超市更省钱．
22．(1)S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围
(2)自行车车棚的长为，宽为．
(3)停车区面积为，充电区的面积是．
（1）解：∵车棚宽度为，
∴，
∴．
由，
解得：．
∴S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵，
∴不符合题意，舍去，
∴，
．
答：自行车车棚的长为，宽为．
（3）解：∵车棚的宽度为，
∴，
∵此时停车区的宽度（）是充电区宽度（）的倍，
∴，，
∴停车区面积为，充电区的面积是．
23．(1)
(2)① ②
(3)或
（1）解：∵菱形中，，
∴，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）①解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
②当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线．
过点作于点G，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上所述，的长为或．

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