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2025年四川省凉山州西昌市九年级诊断性考试数学试题（一模）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的倒数是（　　）
A． B． C．-5 D．5
2．学校利用“创文明城市”的契机，校团委招募志愿者到六个社区开展全民卫生活动，各社区报名人数分别为：38，43，40，40，38，35，则这组数据的中位数是（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
3．榫卯是中国传统建筑的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”，通过榫和卯的精密配合，实现了构造的稳固性和可持续性，展现了人与自然的和谐关系．如下图是其中一种卯，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
B．相等的弦所对的圆周角相等
C．若，则或
D．若，则
6．2025年1月29日《哪吒2》正式上映，一上映就获得全国人民的追捧，第四天票房约亿元，若以后两天每天票房按相同的增长率增长，第六天票房收入约亿元．把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
8．如图，在矩形中，对角线、交于点O，若，，则矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，线段，，于点P，平分交于点M，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于x的分式方程的解为正数，则非正整数m的和为（ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系中，将一个的直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数的图象上，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．二次函数的图象如图所示，下列结论：① ② ③若，则 ④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题
13．函数的自变量x的取值范围是 ．
14．若最简二次根式与可以合并，则 ．
15．已知点P的坐标为，且，则点P关于原点的对称点坐标为
16．小明去商店购买甲、乙两种玩具，共用了20元钱，甲种玩具每件2元，乙种玩具每件4元．若每种玩具至少买一件，且甲种玩具的数量多于乙种玩具的数量．则小明购买甲种玩具最少的件数是 ．
17．如图，点D，E分别在线段，上，连接，相交于点F，若，，，则的度数为 ．
18．是等腰直角三角形，正方形绕点A逆时针旋转后，连接，如图所示，再延长交于G，以下结论中：①；②；③当，时，，正确的是 （填序号）．
三、解答题
19．计算：；
20．（1）解方程．
（2）先化简，再求值：，其中．
21．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．海南省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目，某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方米的点处测得点的俯角为．
(1)填空： ；
(2)求点到地面的距离；
(3)求该风力发电机塔杆的高度（结果精确到米）．
（参考数据：）
22．为落实教育部关于印发《义务教育课程方案（2022年版）》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》通知精神，为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与．九年级（5）班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图信息，回答下列问题：
(1)九年级（5）班学生共有________人；扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为________；若该校共有初中学生1500人，则可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有________人；
(2)补全条形统计图．
(3)九年级（5）班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．
23．如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点E，边在x轴上，，，点C在反比例函数的图象上．
(1)直接写出C，D，E的坐标及k的值；
(2)将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边与反比例函数图象交于点F，求点F到x轴的距离．
24．如图，为的直径，点C是的中点，过点C作交于点E，交于点F，连接交于点G．
(1)连接，求证；
(2)若，求的半径；
(3)连接，若，求的长．
25．已知：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．
(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)如图1，点P在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求出P点坐标及的周长；
(3)如图2，连接，E为线段上一动点，求的最小值．
《2025年四川省凉山州西昌市九年级诊断性考试数学试题（一模）》参考答案
1．B
解：的倒数是．
故选B．
2．B
解：将所给数据按照从小到大的顺序排列：35，38，38，40，40，43，
故中位数为：，
故选：B．
3．D
解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线．2条实线在2条虚线之间，即
故选：D．
4．D
解：A. 不是同类项，无法计算，本选项错误；
B. ，本选项错误；
C. ，本选项错误；
D. ，本选项正确，
故选：D．
5．C
解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原命题是假命题，本选项不符合题意；
B、相等的弦所对的圆周角不一定相等，原命题是假命题，本选项不符合题意；
C、若，则或，是真命题，本选项符合题意；
D、若，且时，则，原命题是假命题，本选项不符合题意；
故选：C．
6．B
解：设平均增长率为x，根据题意，得，
故选：B．
7．D
解：根据题意，得是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故选：D．
8．A
解：∵矩形，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故矩形的面积为：．
故选：A．
9．A
解：∵
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A.
10．A
解：，
方程两边同乘，得，
解得：，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴且，
∴且，
∴符合条件的非正整数为0，，
和为．
故选：A．
11．C
解：过A作轴于C，过B作轴于D，
则，
又，
∴，
∴，
∴，
∵顶点A、B恰好分别落在函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
12．A
解：∵抛物线的开口向上，
∴，
∵对称轴在原点的右侧，
∴对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，
∴，
∴，
故①正确；
∵抛物线的对称轴在直线的右侧，
∴对称轴为直线，
∴，
故②正确；
∵抛物线的对称轴在直线的右侧，
∴对称轴为直线，
∴；
∵，
∴
故
故③正确；
根据题意，得，，
∴，
根据题意，当时，，
又，
∴，
∴，
∴，
故④正确．
故选：A．
13．
解：有意义，
故，
故，
故答案为：.
14．
解：∵最简二次根式与可以合并
∴最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
15．/
解：∵，
∴，
∴，，
解得：，，
∴的坐标为，
∴点关于原点的对称点坐标为．
故答案为：．
16．4
解：设小明购买甲种玩具的件数是x件，乙种玩具的数量为件，
根据题意，得，
解得，
又件数是正整数，
故x的最小值为4．
故答案为：4．
17．
解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
18．①②
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设与交于点M，则，
∴，
∴，
∴，
故①②均正确；
如图，取的中点O，连接，
∵，，
∴分别是、斜边上的中线，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
则点G在以O为圆心为半径的一段圆弧上运动，其中点A为此弧的一个端点，
所以的长变化的，不可能是定值，
故③不正确，
故答案为：①②．
19．0
解：
．
20．（1）；（2），
解：（1）∵，
去分母得，
去括号，
移项合并得，
解得；
（2）
，
当时，原式．
21．(1)；
(2)米；
(3)米．
（1）解：过点作，
由题意可得，，，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：延长交于点，则，
在中，，，
∴，
∴点到地面的距离为米；
（3）解：过点作于，则，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵米，
∴，
解得，
∴米，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，
∴米，
答：该风力发电机塔杆的高度是米．
22．(1)50，108，150
(2)见解析
(3)
（1）解：根据题意，得 (人)，
扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为，
做饭的人数为： (人)，
故可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有人
故答案为：50，108，150．
（2）做饭的人数为： (人)，
补图如下：
．
（3）解：根据题意，有女生3名，男生1名．
画树状图如图，共有12种等可能情况，有男的可能性有6种，
故有男生的概率是
23．(1)，，，
(2)
（1）解：过点C作轴于点Q，过点D作轴于点G，
∵菱形的边长是4，，，
∴，，，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
根据中点坐标公式，得即，
∵点C在反比例函数的图象上．
∴．
（2）解：∵点C在反比例函数的图象上．
∴．
∴反比例函数的表达式为．
设菱形 向右平移m个单位长度，此时，
∴，
解得．
∵，，
∴平移后的坐标为，，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴．
根据题意，得，
解得，（舍去），
∴时，，
∴点F到x轴的距离．
24．(1)见解析
(2)
(3)
（1）证明：根据题意，为的直径， ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵为的直径，点C是的中点， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
连接，设，
∴，
∴，
解得，
故圆的半径为．
（3）解：∵为的直径，点C是的中点， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据题意，，
故，
故，
故，
故．
25．(1)，
(2)，
(3)8
（1）解：根据，
∴，
∵在上，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设点，
∵，
∴的对称轴为直线，
∴，
解得，
∴点，
∴，
∴，
∵A，B是对称点，
∴连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，且，
，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
当时，，
故，
∴的周长最小时，，的周长为．
（3）解：过点E作轴于点G，
根据，
∴，
∴，
∴
，
∴，
故当D，E，G三点共线时，取得最小值，根据垂线段最短，最小值为，
故，
故的最小值为8．

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