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广西钦州市第十三中学2024-2025学年高一下学期第十九周考试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.四答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在签题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结来后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．、为两条不同的直线，、、为三个不同的平面.下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
2．已知平面与平面相交于直线，二面角的大小为，点是平面上的一点，点是直线上的一点，直线与平面所成角的大小为，则直线与直线所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．30°
3．在正方体中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．平面 D．平面
4．在正方体中，，为侧面上一动点．若，则的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方体中，为的中点，点为四边形及其内部的动点，平面.则与平面所成角正切值的范围（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且二面角的平面角等于，则直线与平面所成的角为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的球心O到平面的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题（共3小题，每小题5分，共15分）
9．如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点，，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 B．平面 C．平面 D．
10．在边长为4的菱形中，为边的中点，，沿将折起，形成如图所示的四棱锥（翻折过程中点始终位于平面上方），为的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）.
A．平面B．平面平面
C．异面直线与所成的角始终为D．点的轨迹的长度为
11．如图，在正四棱锥（底面为正方形，在底面的投影是正方形的中心）中，下列说法正确的是（ ）
A． B．与所成角等于与所成角
C．若平面平面，则 D．点在平面的射影一定在内部
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知二面角的大小为，棱上有两个不同的点，，，，，，若，则直线与平面所成角的正弦值为 .
13．在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为 .
14．在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为 .
四、解答题（共5小题，共70分）
15．如图，在正方体中，，点为棱AB上的动点（不含端点），点为上一点，直线DH交平面于点.
(1)求证平面；
(2)若，
（i）求证平面；
（ii）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为.
16．如图，在三棱柱中，平面，，是棱AB上的一点，且满足与相交于点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求直线与平面所成的角的正弦值.
17．如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点．
(1)求的长；
(2)求与所成角的余弦值；
(3)求证：平面．
18．如图，在三棱锥P-ABC中，，，，棱的中点分别为.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
19．（用坐标法不给分）如图，在矩形中，已知，，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥.
(1)若，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求证：；
(3)在翻折过程中，记二面角的大小为，求二面角的最大值及此时的值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C D A B B AC ABD
题号 11
答案 ABC
12． 13．/ 14．/
15．（1）证明：四点共面，
平面平面ABCD，平面平面，平面平面，
平面平面平面.
（2）（i）证明：如图所示，
连接平面平面，，
又平面平面平面，
又平面平面.
（ii）如图所示，在平面内作直线垂足为，
连接，设.
平面，
平面即为直线与平面所成角.
平面，
平面平面，
，
当时，直线与平面所成角的正弦值为.
16．（1），
，则
，
则，故，
由平面，，则平面，
又平面、平面，故，，
又，则，故四边形为正方形，则，
又，、平面，故平面，
又平面，故，
又、平面，且，故平面；
（2）过点作于点，过点作，交于点，
则即为二面角的平面角，
由，则，
则，则有，
，则有，
，则有，
，则有，
，
则，
故，
即二面角的余弦值为；
（3）取线段上靠近点的三等分点，连接，连接，
由，则，由（1）知平面，
故等于直线与平面所成角，
由平面，则，
，
，
则，
则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
17．(1) (2)
（3）连接，如下图所示：
由勾股定理可得，，
又因为，故，即，同理可证，
因为，、平面，故平面.
18．（1）
因为棱的中点分别为，
所以，，所以，
又因为平面ADO，平面ADO，所以平面ADO.
（2）因为，，O是BC的中点，
所以，且.
因为，所以，
所以，所以.
又因为，平面ABC，所以平面ABC.
又平面ABC，所以.
如图，连接OF，则，从而，且，
所以，得，
所以，所以.
由，，，平面，得平面，
又平面，所以平面平面.
19．(1)
（2）连结，交于，连结，
因为，且，所以，
所以，即，所以，，
又平面，所以平面，平面，所以.
(3)，.

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