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(共24张PPT)
15.1.2　线段的垂直平分线
第1课时　线段的垂直平分线的性质及判定
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
2.线段的对称轴是什么
知识关联
1.线段是轴对称图形吗
3.什么叫作线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
【回顾思考】
【探究1】线段的垂直平分线的性质
【操作尝试】
探究与应用
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，分别量一量点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离，你有发现什么吗？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
【探究1】线段的垂直平分线的性质
探究与应用
点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
【猜想交流】
【探究1】线段的垂直平分线的性质
探究与应用
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB．
　证明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB=90°．
　　又 AC =CB，PC =PC，
　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
　　∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
【验证证明】
【探究1】线段的垂直平分线的性质
【概括新知】
探究与应用
用几何语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB，
（点P在线段AB的垂直平分线上）
∴ PA =PB．
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
P
A
B
l
C
线段垂直平分线的性质
【理解应用】
探究与应用
例1 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE，△BCE的周长为16，△ABC的周长为24，求AD的长度．
解：(1)∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EA＝EB，AD＝DB.
∵△BCE的周长为16，
∴BC＋CE＋EB＝BC＋CE＋EA＝BC＋AC＝16.
∵△ABC的周长为24，∴BC＋AC＋AB＝24.
∴AB＝8.∴AD＝DB＝4.
【理解应用】
【变式】
如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则△ADE的周长为 ( )
A.8　　　B.4　　　C.12　　　D.16
探究与应用
A
【探究2】 线段的垂直平分线的判定
【思考交流】
把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢
探究与应用
P
A
B
【探究2】 线段的垂直平分线的判定
探究与应用
验证结论
已知：如图，PA =PB
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵　PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上
P
A
B
C
【概况归纳】
探究与应用
【探究2】 线段的垂直平分线的判定
线段垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
【概况归纳】
探究与应用
【探究2】 线段的垂直平分线的判定
　这些点能组成什么几何图形？
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
　与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点 的距离相等的所有点的集合.
P
A
B
C
l
【验证证明】
探究与应用
【探究2】 线段的垂直平分线的判定
应用格式：
∵　AB =AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上.
∵MB =MC
∴点M在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AM 是线段BC 的垂直平分线．
A
B
C
D
M
这是判断一条直线是线段的垂直平分线的证明过程.
探究与应用
【理解应用】
例2 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB
∴DE=CE.∠EDO=∠ECO=90°
∴OC=OD.
在Rt△OED 和Rt△OEC中，
∵DE=CE OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).
∴点E在线段CD的垂直平分线上.
∴点O在线段CD的垂直平分线上.
∴OE垂直平分CD
探究与应用
【探究3】 互逆命题
1.下面两个命题的题设和结论有什么关系
①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;
②与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
【尝试交流】
这两个命题的题设和结论正好相反.
【概况归纳】
探究与应用
【探究3】 互逆命题
2.你还学习过其他具有类似关系的命题吗
【尝试交流】
如果把其中一个叫作原命题,那么另一个叫作它的逆命题.
互逆命题： 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题。
角平分线的性质与判定、平行线的性质与判定等.
探究与应用
例3 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立
(1)两直线平行，同位角相等;
【理解应用】
逆命题 : 如果两个实数的绝对值相等，那么这两个数相等.逆命题不成立.
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等:
(3)全等三角形的对应角相等.
逆命题 : 同位角相等,两直线平行.逆命题成立.
逆命题 : 如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等.逆命题不成立.
【概况归纳】
探究与应用
【探究3】 互逆命题
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理。这两个定理叫作互逆定理.
其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。
在几何中,有许多互逆的定理.
例如,上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理,“两直线平行,内错角相等”和“内错角相等,两直线平行”也是互逆定理.
探究 : 三角形的三条边的垂直平分线的性质.
我们已经证明三角形的三条角平分线能够交于一点，那么三角形的三条边的垂直平分线也能交于一点吗？如果能交于一点,这一点又有什么性质呢？
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
【概况归纳】
探究与应用
已知 : 如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点O.
求证 : 点O在边BC的垂直平分线上.
三角形的三条垂直平分线交于一点,该点到三角形三个顶点的距离相等.
【拓展提升】
【小结】
课堂小结与检测
线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
互逆命题
【检测】
课堂小结与检测
1．如图所示，AB垂直平分CD.若AC＝1.6，BC＝2.3，则四边形ACBD的周长是(　　)
A. 3.9 B. 7.8
C. 4 D. 4.6
B
【 检测】
课堂小结与检测
2.如图，AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交BC于点E，连接AE。若AD=6 cm，△ACE的周长为16 cm，则△ABC的周长为　　 cm.
28
【 检测】
课堂小结与检测
3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
逆命题 : 如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等. 逆命题成立.
(1)同旁内角互补，两直线平行;
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等;
(3)全等三角形的对应边相等.
逆命题 : 两直线平行,同旁内角互补. 逆命题成立.
逆命题 : 如果两个实数的平方相等,那么这两个实数也相等. 逆命题不成立.

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