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1.4线段垂直平分线与角平分线 同步练习 2025-2026学年苏科版数学八年级上册
学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________
一、单选题
1．如图,用尺规作已知角的平分线的理论依据是 （ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
2．如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=12,则PD等于 （ ）
A．12 B．6 C．5 D．4
3．如图,在 中,AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D．若BC=6 cm,△BCD的周长为14 cm,则AC的长为 （ ）
A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
4．关于线段的垂直平分线有以下说法:①一条线段的垂直平分线的垂足,也是这条线段的中点;②线段的垂直平分线是一条直线;③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴.
其中,正确的说法有 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
5．已知△ABC(ABA． B．
C． D．
6．如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图,在 中,∠ABC和 的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D,下列四个结论:
①EF=BE+CF;② ;③点O到 各边的距离都相等;④设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn.
其中正确结论的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图,P是△ABC的三条角平分线的交点,连接PA,PB,PC,若△PAB,△PBC,△PAC的面积分别为S1,S2,S3,则 (　　)
A．S1B．S1=S2+S3
C．S1>S2+S3
D．无法确定S1与(S2+S3)的大小
二、填空题
9．已知C,D两点在线段AB的垂直平分线上,且∠ACB=50°,∠ADB=86°,则∠CAD的度数是　　　　.
10．如图,∠A=80°,点O是AB,AC的垂直平分线DO,EO的交点,则 的度数是______________.
11．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB=3.7，AC=2.3，则△ADC的周长是　　　　.
12．如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=6 cm，则△DEB的周长为　　　　.
13．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺的一边与射线重合，且另一边与射线交于点，另一把直尺的一个直角顶点在射线上，且与第一把直尺交于点，作射线，已知 ，则的度数是________．
14．如图，已知平分，于点E，于点F，，，那么的长度为 ．
三、解答题
15．一犯罪分子正在两交叉公路间沿到两公路距离相等的一条小路逃跑，埋伏在，两处的两名公安人员想在距，相等的距离处同时抓住这一罪犯．请你帮助公安人员在图中设计出抓捕点．
16．如图，在中，的外角平分线与的外角平分线交于点.试说明：点到三边,,所在直线的距离相等.
17．如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于D,E,垂足分别为M,N,连接AD,AE.
(1)若BC=5,求△ADE的周长.
(2)若∠BAD+∠CAE=60°,求∠BAC的度数.
18．如图，在中，,的平分线，相交于点.
（1） 求证：点在的平分线上；
（2） 连接，若，，，求点到三角形三条边的距离.
19．如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O,这两条垂直平分线分别交BC于点D,E.已知△ADE的周长为13 cm.
(1)求线段BC的长;
(2)分别连接OA,OB,OC,若△OBC的周长为27 cm,则OA的长为　　　　cm.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由作图得OM=ON,CM=CN,而OC为公共边,所以根据“SSS”可判断 ≌ ,所以 ,即OC平分 故选C.
2．【答案】
B
【详解】
过点P作PE⊥OB于E,如图.∵ ,∴OP平分 ∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PE=PD.∵PC∥OA,∴ ,∴ ,∴PD=6.故选B.
【添加辅助线】
题干中出现了角平分线及角的一边的垂线时,想到过该垂线与角平分线的交点作另一边的垂线,然后利用角平分线的性质进行求解.
3．【答案】B
【详解】∵DE是边AB的垂直平分线,∴AD=BD.∵ 的周长为BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=14 cm,BC=6 cm,∴AC=8 cm.故选B.
4．【答案】B
【详解】①一条线段的垂直平分线的垂足,也是这条线段的中点,正确;②线段的垂直平分线是一条直线,正确;③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴,错误,线段有2条对称轴,垂直平分线和它本身所在的直线.故选B.
5．【答案】B
【详解】∵PB+PC=BC,而PA+PC=BC,∴PA=PB,∴点P在AB的垂直平分线上,即点P为AB的垂直平分线与BC的交点.故选B.
6．【答案】C
【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．
【详解】解：由作图可知，垂直平分线段，
，，
，，
，
，
，
，
故选项A，B，D正确，
故选C．
7．【答案】C
【详解】∵在 中,∠ABC和 的平分线相交于点O,∴ ∵EF∥BC,∴ ,∴ ,∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF,故①正确.∵ ,∴ ,∴ ,故②正确.过点O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于N,连接OA,
如图.∵在 中,∠ABC和 的平分线相交于点O,∴ON=OD=OM,故③正确 ,故④错误.故选C.
8．【答案】A
【详解】过点P作PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,如图.
∵P是△ABC的三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC,∴PD=PE=PF.∵S1=·AB·PD,S2=·BC·PF,S3=·AC·PE,∴S2+S3=·(AC+BC)·PD.∵AB【添加辅助线】
已知三角形三条角平分线的交点,通常过这个交点作三边的垂线段,根据角平分线的性质得到线段相等.
9．【答案】18°或112°
【详解】如图,
∵C,D两点在线段AB的垂直平分线上,∴CA=CB,DA=DB,CD⊥AB,∴易知∠ACD=∠ACB=×50°=25°,∠ADO=∠ADB=×86°=43°.当点C与点D在线段AB两侧时,∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-25°-43°=112°;当点C与点D'在线段AB同侧时,∠CAD'=∠AD'O-∠ACD'=43°-25°=18°.故答案为18°或112°.
【易错警示】
注意C和D的位置没有确定,分点C与点D在线段AB两侧、点C与点D在线段AB同侧两种情况讨论.
10．【答案】
10°
【详解】
连接OA,OB.∵ ,∴ ∵O是AB,AC的垂直平分线的交点,∴OA=OB,OA=OC,∴ ,∴ ,∴ ∵OB=OC,∴ 故答案为10°.
11．【答案】6
【详解】∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，
∴BD=CD．
∵AB=3.7，AC=2.3，
∴△ADC的周长为AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC=6．
【命题角度拓展】在中考中也会根据周长求线段的长度.
12．【答案】6 cm
【详解】∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE.
∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC=AE.
∵AC=BC，
∴AE=BC，
∴△DEB的周长为BE+BD+DE=BE+BD+DC=BE+BC=BE+AE=AB=6 cm.
13．【答案】
【解析】由题意，得平分， .由长方形直尺可知， .故答案为 ．
14．【答案】3
【详解】根据平分，，得出，根据直角三角形全等的判定得出，，再结合其性质求解即可．
【解答】解：∵平分，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
即，
解得：
15．【答案】见详解
【解析】如图，点为抓捕点．
16．【答案】见详解
【解析】如图，过点分别作，，边所在直线的垂线，垂足分别为，，.
因为平分，，，所以.因为平分，，，所以,所以,即点到三边,,所在直线的距离相等.
17．【答案】见解析
【解析】(1)因为边AB,AC的垂直平分线分别交BC于D,E,所以DA=DB,EA=EC．所以△ADE的周长为AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=5．(2)由(1)知DA=DB,EA=EC,所以∠B=∠BAD,∠C=∠EAC．又因为∠BAD+∠CAE=60°,所以∠B+∠C=60°,所以∠BAC=180°-(∠B+∠C)=180°-60°=120°．
18．【答案】见详解
【解析】（1）如图（1），过点作，，，垂足分别为，，.
，的平分线，相交于点，，,, 点在的平分线上.
（2） 如图（2）,延长交于.
，点在的平分线上，，，，.又 点到三角形三条边的距离相等, 点到三角形三条边的距离是.
【归纳总结】角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.在遇到角平分线的交点问题时，可以利用这两个结论解题.
19．【答案】见详解
【详解】(1)∵OM是线段AB的垂直平分线,∴DA=DB,同理,EA=EC.
∵△ADE的周长为13 cm,∴AD+DE+EA=13 cm,∴BC=DB+DE+EC=AD+DE+EA=13 cm.
(2)∵△OBC的周长为27 cm,∴OB+OC+BC=27 cm.∵BC=13 cm,∴OB+OC=14 cm.
∵OM垂直平分AB,∴OA=OB,同理,OA=OC,∴OA=OB=OC=14÷2=7(cm).故答案为7.
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