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1.5等腰三角形 同步练习 2025-2026学年苏科版数学八年级上册
学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________
一、单选题
1．等腰三角形中，一个底角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A． B． C． D．或
2．如图，点，分别在等边三角形的边，上，，若，则为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD，AB＝6，∠C＝30°，则△ACD的面积为（　　）

A． B． C． D．9
4．在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ）
A． B．
C． D．平分
5．如图，点O是边长为3的等边一边上的一点，分别与两边垂直，则（ ）
A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2
6．如图，在中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则的周长为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
7．如图所示，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长为（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
8．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的结论个数是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．等腰三角形的一边长为cm，另一边长为4cm，则它的第三边长为 cm．
10．在中，若，，则BC边上的高 ．
11．如图，中，为角平分线，若，，则的长度为 ．
12．如图，在中，，平分，垂直平分，，则的长为 ．
13．如图，在中，，，，用图示的尺规作图方法在边上确定一点．则的周长为 ．
14．如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．

15．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
三、解答题
16．如图，在中，，点是上一点，于点，于点，，试说明点是的中点．
17．如图，中，平分，过点A作于E，交于点．求的度数为多少．
18．如图，已知在中，，，，为的中点，设点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上由点向点运动．
（1）若点运动的速度与点相同，且点，同时出发，经过1秒钟后，___________；___________
（2）在（1）的条件下，请说明．
（3）若点同时出发，但运动的速度不相同，当点的运动速度为多少时，与全等？
19．如图①，在中，，，点D在边上，过点C作，垂足为M，交于点E．

（1）小亮通过探究发现，请你帮他说明理由；
（2）如图②，平分交于点N，小明通过度量，猜想有，他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；
（3）如图③，连接，若D是的中点，小刚通过探究得到结论，请你帮他说明理由．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据“等腰三角形两底角相等”，结合三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为，
∴等腰三角形的顶角为．
故选C．
2．【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质得到，则可证明得到，据此根据三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
3．【答案】A
【分析】只要证明△ABD是等边三角形，推出BD=AD=DC，可得S△ADC=S△ABD即可解决问题；
【详解】解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠C=∠DAC=30°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°，
∵AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=DC，
∴S△ADC=S△ABD=×62=9，
故答案为．
故选A．
4．【答案】B
【详解】解：A选项：当时，
∵点在上，
∴，
∴，∴；
B选项：∵，∴，不能得到；
C,D选项：∵，∴当或平分时，.
故选B.
5．【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质得到，，由题意求出，利用直角三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵是边长为3的等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
6．【答案】D
【分析】根据垂直平分线性质可知，根据等腰三角形性质，得出的周长等于AB+BC＝6，选出正确答案．
【详解】∵AB的中垂线交AC于点F，
∴，
∴，
∵在中，AB＝AC，
∴
∵的周长，
∴的周长，
∵AB+BC＝6，
∴的周长＝6．
故选D．
7．【答案】D
【详解】解：过点P作于点D，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故选D．
8．【答案】C
【分析】根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据翻折可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；判断出和不全等，从而得到，判断出④错误．
【详解】解：∵和是的轴对称图形，
∴
∴，故①正确．
∴，
由翻折的性质得，，
又∵，
∴，故②正确．
∵的对称图形和，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故③正确．
在和中，，
∴，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选C．
9．【答案】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：
当第三边为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当第三边为9时，4+9＞9，所以能构成三角形．
∴第三边为9cm．
10．【答案】3.5
【分析】根据含角的直角三角形的性质即可得．
【详解】解：在中，，，，
.
11．【答案】2
【分析】先由及三角形的内角和，得出，从而为等边三角形，再由等腰三角形的“三线合一”性质，得出，而已知，则可得答案．
【详解】解∵，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∵为角平分线，
∴.
12．【答案】
【分析】由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质得到，则可得到，据此可得．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴.
13．【答案】15
【分析】本由含30度角的直角三角形的性质推出，由线段垂直平分线的性质推出，即可得到的周长是．
【详解】解：，，
，
由题意知：D在线段的垂直平分线上，
，
的周长．
14．【答案】或或
【分析】令，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用表示出三个内角的度数，再对等腰进行分类讨论即可解决问题．
【详解】解：，，
．
令，
和关于直线对称，
，，
．
，且平分，
．
，，
．
同理可得，，
．
当时，
，即，
解得：，
．
当时，
．
当时，
．
综上所述，的度数为：或或．
15．【答案】
【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
周长的最小值．
16．【答案】详见详解
【详解】证明 ：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点是的中点．
17．【答案】36度
【分析】由等腰三角形的性质推出．由直角三角形的性质求出，由角平分线定义得到，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，即可得到．
【详解】解：∵于，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
18．【答案】（1）3；3
（2）见详解
（3）
【分析】（1）根据Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后，可得；；
（2）先用t表示出，当时，，，再根据等腰三角形的性质得到，于是可根据“”判断；
（3）设点Q的运动速度为，则，由于，则当，时，根据“”可判断，即，；当，时，根据“”可判断．即，，然后分别解方程可得到的值．
【详解】（1）解：Q点运动的速度与点相同，且点，Q同时出发，经过1秒钟后，；.
（2）证明：由题意得：，
；
当时，，，，
点为的中点，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：设点Q的运动速度，则，
，
当，时，，
即，，
解得，（舍去）；
当，时，，
即，，
解得，，
综上所述，当点的运动速度为时，能够使与全等．
19．【答案】（1）理由见详解；
（2）正确，理由见详解；
（3）理由见详解.
【分析】（1）利用互余和三角形内角和定理进行求解，即可证明猜想；
（2）根据等腰直角三角形的性质和角平分线的性质，证明，即可证明猜想；
（3）根据，得到，，再证明，得到，即可证明猜想．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：猜想正确，理由如下：
，，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图，过点C作平分交于点N，
由（2）可知，，
，，
平分，
，
D是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
即．

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