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13.3　三角形的内角与外角
13.3.1　三角形的内角
第2课时　直角三角形的性质与判定
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为(　　)
A. 34° B. 44° C. 124° D. 134°
2．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A＝(　　)
A. 15° B. 30°
C. 45° D. 60°
3．已知∠A＝40°，∠B＝50°，则△ABC为(　　)
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都不对
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为(　　)
A. 39° B. 51° C. 38° D. 52°
5．如图，某同学在课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则∠1＋∠2等于(　　)
6．在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③∠A＝90°－∠B，能确定△ABC是直角三角形的条件有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论错误的是(　　)
A．图中有3个直角三角形 B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2＝∠A
8．脊柱侧弯如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是(　　)
A. ∠BEA
B. ∠DEB
C. ∠ECA
D. ∠ADO
二、填空题
9．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是________．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC与∠ABC的平分线交于点D，则∠ADB＝________.
11．若△ABC中，∠A＝90°，且∠B－∠C＝30°，那么∠B的度数为________．
12．如图，△ABC中，点E是边AC上的一点，过E作ED⊥AB于点D，若∠1＝∠2，则△ABC是________三角形．
13．如图，点D为△ABC内一点，∠BCD＝10°，∠B＝60°，CD⊥AD，则∠BAD的度数为________.
14．在下列条件：①∠A＋∠B＋∠C＝180°；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠B＝∠C；⑤∠A＝∠B＝∠C中．能确定△ABC为直角三角形的条件有____________．
三、解答题
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，且∠CAD＝∠CBD，求证：△ABD是直角三角形．
16．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，求证：△ACE为直角三角形.
17．如图，在中，是高， .
（1）试判断 的形状，并说明理由；
（2）若是的角平分线，，相交于点 ，求证： .
18．问题情景：如图，将三角尺(△PMN，∠MPN＝90°)放置在△ABC上(点P在△ABC内)，三角尺的两边PM，PN恰好经过点B和点C.
(1)特例探索：若∠A＝50°，则∠ABC＋∠ACB＝________°，∠PBC＋∠PCB＝________°，∠ABP＋∠ACP＝________°；
(2)类比探究：请猜想∠ABP＋∠ACP与∠A的关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为(　　)
A. 34° B. 44° C. 124° D. 134°
【答案】A
2．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A＝(　　)
A. 15° B. 30°
C. 45° D. 60°
【答案】B
3．已知∠A＝40°，∠B＝50°，则△ABC为(　　)
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都不对
【答案】C
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为(　　)
A. 39° B. 51° C. 38° D. 52°
【答案】B
5．如图，某同学在课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则∠1＋∠2等于(　　)
【答案】B
6．在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③∠A＝90°－∠B，能确定△ABC是直角三角形的条件有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
【答案】C
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论错误的是(　　)
A．图中有3个直角三角形 B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2＝∠A
【答案】B
8．脊柱侧弯如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是(　　)
A. ∠BEA
B. ∠DEB
C. ∠ECA
D. ∠ADO
【答案】B
二、填空题
9．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是________．
【答案】30°
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC与∠ABC的平分线交于点D，则∠ADB＝________.
【答案】135°
11．若△ABC中，∠A＝90°，且∠B－∠C＝30°，那么∠B的度数为________．
【答案】60°
12．如图，△ABC中，点E是边AC上的一点，过E作ED⊥AB于点D，若∠1＝∠2，则△ABC是________三角形．
【答案】直角
13．如图，点D为△ABC内一点，∠BCD＝10°，∠B＝60°，CD⊥AD，则∠BAD的度数为________.
【答案】20°
14．在下列条件：①∠A＋∠B＋∠C＝180°；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠B＝∠C；⑤∠A＝∠B＝∠C中．能确定△ABC为直角三角形的条件有____________．
【答案】②④⑤
三、解答题
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，且∠CAD＝∠CBD，求证：△ABD是直角三角形．
证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAD＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠CAD，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∴△ABD是直角三角形
16．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，求证：△ACE为直角三角形.
证明：∵AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，
∴∠1＝ ∠ACD，∠2＝ ∠CAB.
∵AB∥CD，∴∠CAB＋∠ACD＝180°.
∴∠1＋∠2＝ (∠ACD＋∠CAB)＝90°.
∴∠E＝90°.
∴△ACE为直角三角形.
17．如图，在中，是高， .
（1）试判断 的形状，并说明理由；
【解】 是直角三角形.理由如下：
是高，
, .
, .
.
是直角三角形.
（2）若是的角平分线，，相交于点 ，求证： .
【证明】是 的角平分线,
.
,易知 ,
,
,
.
又, .
18．问题情景：如图，将三角尺(△PMN，∠MPN＝90°)放置在△ABC上(点P在△ABC内)，三角尺的两边PM，PN恰好经过点B和点C.
(1)特例探索：若∠A＝50°，则∠ABC＋∠ACB＝________°，∠PBC＋∠PCB＝________°，∠ABP＋∠ACP＝________°；
(2)类比探究：请猜想∠ABP＋∠ACP与∠A的关系，并说明理由．
解：(1)130，90，40　
(2)∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.理由：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，在△PBC中，∠PBC＋∠PCB＝90°，∴∠ABP＋∠ACP＝∠ABC＋∠ACB－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－∠A－90°＝90°－∠A，∴∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A

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