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浙教版九年级数学上册第4章《相似三角形》单元检测试卷
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．已知，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．
2．下列线段成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．5，6，7，8 C．1，2，2，4 D．3，5，6，9
3.如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝2，BD＝3，则BF的长为（ ）
A．6 B．5.5 C．4 D．4.5
4．如图，和是以点为位似中心的位似三角形，
若为的中点，，则的面积为（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
5 .大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，
如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．个 B．个 C．个 D．个
6．如图，在中有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的表达式为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，是的中点，是的中点，连接并延长交于，则（ ）
A． B． C． D．
8 .现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．
现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，
则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；
动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，
那么经过（ ）秒时与相似．
A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒
如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝CD；④S四边形CDEF＝S△ABF．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③
C．①②③④ D．①
二、填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
11．已知，则的值为___________．
12．如图，D是的边上一点，若，要使，
只需添加条件_____________（只添一个即可）．
13 .如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上，
则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为 m．
如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，
若AB＝6，则△DEF移动的距离AD ＝ ．
如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，
且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，
若正方形的边长为，则点的坐标为 ．
如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，
连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：
①定是直角三角形； ②；
③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，
在以上5个结论中，正确的有 ．

三、解答题：（本大题共10个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知，且，求值．
18．已知：如图，、分别是的边、上的点，，，，．
求的长度．
如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点．
(1)当点恰好为中点时，______．
(2)若矩形的周长为，求出的长度．
20．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF．
(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)求AF长度的最小值．
21. 已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；
点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．
如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
(1)用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
(2)当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
(3)当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，
他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上．
测量示意图
(1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度．
(2)第二小组测得米，则______．
(3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗
如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
23．已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时、猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
（2）若BC＝6，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点O，
当三角板的边DF与边DM重合时（如图2），若OF＝，求出DF和DN的长．
24．【发现问题】
如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，
易得线段和的数量关系是______．
将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．
① 判断线段和的数量关系，并证明你的结论；
② 图2中的度数是______．
(3) 【探究拓展】
如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，
直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．
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浙教版九年级数学上册第4章《相似三角形》单元检测试卷解答
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．已知，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】将变形为，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，故C正确．
故选：C．
2．下列线段成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．5，6，7，8 C．1，2，2，4 D．3，5，6，9
【答案】C
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】A、1×4≠2×3，故四条线段不成比例；
B、5×8≠7×6，故四条线段不成比例；
C、1×4＝2×2，故四条线段成比例；
D、3×9≠5×6，故四条线段不成比例；
故选：C．
3.如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝2，BD＝3，则BF的长为（ ）
A．6 B．5.5 C．4 D．4.5
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例的性质求BF．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
∴BF＝4．
故选：C．
4．如图，和是以点为位似中心的位似三角形，
若为的中点，，则的面积为（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
【答案】B
【分析】根据为的中点，则位似比为，再根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方便可求解．
【详解】∵和是以点为位似中心的位似三角形，为的中点，
面积是3，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故选B．
5 .大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，
如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．
由黄金分割的定义分别进行判断．
【详解】解：∵为的黄金分割点，
∴， ，
①、②、③错误，④正确，不符合题意，
故选：A．
6．如图，在中有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据在中有边长分别为a，b，c的三个正方形，得出图中三角形都相似，且与a、b、c关系密切的是和，只要它们相似即可得出所求的结论．
【详解】解：∵图中四个四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，，
又∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
7．如图，在中，是的中点，是的中点，连接并延长交于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】考查了平行线的性质及相似三角形的判定及性质．
过作，交于，证明和，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：如图，过作，交于，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
故选A．
8 .现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．
现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，
则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】C
【分析】截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的比等于相似比即可求解．
【详解】
设这张正方形纸条是第n张.
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
解得：n=6.
故答案选：C.
如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；
动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，
那么经过（ ）秒时与相似．
A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒
【答案】C
【分析】设经过秒时, 与相似,则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,即 然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过秒时, 与相似,
则
,
当 时, ,
即
解得：
当 时, ,
即
解得：
综上所述：经过或秒时,与相似
故选：C
如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝CD；④S四边形CDEF＝S△ABF．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③
C．①②③④ D．①
【答案】C
【分析】由矩形ABCD和BE⊥AC，可得∠ABC＝∠AFB＝90°，进而可得△AEF∽△CAB；由E是AD边的中点，可得AE＝DE＝AD＝BC，根据AD∥BC，可得，则CF＝2AF；过D作DMBE交AC于N，则四边形BMDE是平行四边形，则BM＝DE＝BC，可得CN＝NF，进而可得DF＝CD；根据△AEF∽△CBF，得到，求得S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，即可求得S四边形CDEF＝S△ABF．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵BE⊥AC，
∴∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵E是AD边的中点，
∴AE＝DE＝AD＝BC，
∵ADBC，
∴∠FAE＝∠FCB，∠EAF＝∠BCF，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∴CF＝2AF，故②正确，
如图，过D作DMBE交AC于N，
∵DEBM，BEDM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC，DMBE，
∴DN⊥CF，
∴ DN垂直平分CF，
∴DF＝CD，故③正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴，
∴S△AEF＝S△ABF，，
∴S△ABF＝2 S△AEF，S△CBF＝4 S△AEF，
∴ S△ABC＝6S△AEF＝3 S△ABF＝S矩形ABCD
∴ S△ABF＝S矩形ABCD，
∴S△AEF＝S矩形ABCD，
∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，
∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确；
综上，正确的结论有①②③④，
故选：C．
二、填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
11．已知，则的值为___________．
【答案】
12．如图，D是的边上一点，若，要使，
只需添加条件_____________（只添一个即可）．
【答案】
【分析】因为，则，所以只要再找到另一组对应角相等即可．
【详解】解：只需添加条件使，证明如下：
因为，则，
当，则（两组对应角相等的三角形相似），
故答案为：．
13 .如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上，
则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为 m．
【答案】
【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即可知，根据其相似比即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
（米，
故答案为：1.6．
如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，
若AB＝6，则△DEF移动的距离AD ＝ ．
【答案】2
【分析】如图，根据平移的性质得到，则可判断，利用相似三角形的性质可计算出，则AE，然后计算DE﹣AE即可．
【详解】解：如图所示，AC与EF的交于点G，
∵△DEF沿DE平移到△ABC的位置，
∴，，
∴△AEG∽△DEF，
，
，
，
．
故答案为：2．
如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，
且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，
若正方形的边长为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了图形的位似变换，相似三角形的判定以及性质，由正方性的性质和位似图形的性质可得出，，进而得出， 由相似三角形的性质可得出，进而可求出，进一步即可得出答案．
【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，，
∴，，
∴，
，即，
解得：，
∴，
故答案为：．
如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，
连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：
①定是直角三角形； ②；
③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，
在以上5个结论中，正确的有 ．

【答案】①②③⑤
【分析】由折叠的性质可得°，由“”可证，可得，由平角的性质可求，故①和②正确；通过证明，可得，可得，故⑤正确；如图1，设．则，通过证明，可得，可求，可得，故③正确；当点F与点D重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴是直角三角形，
故①②正确，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴，故⑤正确，
如图1中，当M与C重合时，

设．则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴，故③正确，
如图2中，

当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，
综上所述，正确的有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤
三、解答题：（本大题共10个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知，且，求值．
【答案】12
【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案．
【详解】解：设，
，，，
，
，
，
，
的值为．
18．已知：如图，、分别是的边、上的点，，，，．
求的长度．
【答案】6
【分析】由∠AED＝∠B，∠A＝∠A，得△ADE∽△ACB，再根据相似比列出比例式即可得出结果．
【详解】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，
∴，
∴AC＝6．
如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点．
(1)当点恰好为中点时，______．
(2)若矩形的周长为，求出的长度．
【答案】(1)60
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比；
（1）由，得到，代入即可求解，
（2）根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长，
【详解】（1）解：∵为中点，
∴，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
∴四边形为矩形，
∴，，
∵矩形的周长为
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF．
(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)求AF长度的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】(1)先利用等角的余角相等，证得∠BAE＝∠CEF，再结合∠B＝∠C＝90°，即可证得△ABE∽△ECF．
(2) 由勾股定理得，在Rt△ADF中，∠D＝90°，．
要求AF长度的最小值，即求DF长度的最小值，也就是求CF长度的最大值即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE＋∠BEA＝90°．
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BEA＋∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF．
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF．
（2）∵△ABE∽△ECF，
∴＝，
即CF＝．
设CE＝x，则BE＝4－x．
∴CF＝＝－（x－2）2＋1，
当x＝2时，CF取最大值1；
此时，DF取最小值3．
当DF＝3时，AF取最小值，．
∴AF长度的最小值为5．
21. 已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；
点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．
如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
(1)用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
(2)当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
(3)当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
【答案】(1)2t，（5﹣t）
(2)当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2；
(3)当t=或1时，△POQ与△AOB相似．
【分析】（1）由运动知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，得出结论；
（2）根据△POQ的面积为6cm2，建立方程6=×2t×（5-t），解方程即可求出答案；
（3）分△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，
∴OQ=（5-t）cm，
故答案为：2t，（5-t）；
（2）解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，
∵△POQ的面积为6cm2，
∴6=×2t×（5-t），
∴t=2或3，
∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2；
（3）（3）∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°，
∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA，
∴或，
当，则，
∴t=；
当时，则，
∴t=1，
∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似．
为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，
他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上．
测量示意图
(1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度．
(2)第二小组测得米，则______．
(3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗 如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
【答案】(1)
(2)30米
(3)可行，理由见解析
【分析】（1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答；
（2）由题意得为等腰三角形，即可解答；
（3）由题意得，即可解答．
【详解】（1）解：∵点C恰好在点A东南方向，
∴为等腰直角三角形，
∴要知道河宽，只需要知道线段的长度，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴ ，
∴，
∴米，
故答案为：30米；
（3）解：可行，理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∴只要测得就能得到河宽，
故第三小组的方案可行．
23．已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时、猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
（2）若BC＝6，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点O，
当三角板的边DF与边DM重合时（如图2），若OF＝，求出DF和DN的长．
【答案】（1）CE＝AF，见解析；（2）DN＝，DF＝
【分析】（1）由正方形和等腰直角三角形的性质判断出△ADF≌△CDE即可；
（2）证△MAO∽△DCO得 ，由勾股定理得DM＝3 ，据此求得DO＝2，结合OF＝ 知DF＝ ，再证△DFN∽△DCO得 ，据此计算可得．
【详解】解：（1）CE＝AF，
理由如下：在正方形ABCD和等腰直角三角形CEF中，FD＝DE，CD＝CA，∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴CE＝AF；
（2）∵M是AB的中点，
∴MA＝ AB＝AD，
∵AB∥CD，
∴△MAO∽△DCO，
∴，
在Rt△DAM中，AD＝6，AM＝3，
∴DM＝3，
∴DO＝2，
∵OF＝，
∴DF＝，
∵∠DFN＝∠DCO＝45°，∠FDN＝∠CDO，
∴△DFN∽△DCO，
∴ ，
∴ ，
∴DN＝．
24．【发现问题】
如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，
易得线段和的数量关系是______．
将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．
① 判断线段和的数量关系，并证明你的结论；
② 图2中的度数是______．
(3) 【探究拓展】
如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，
直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①，证明见解析；②；
(3)度，，理由见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质可求解；
（2）①由“SAS”可证，可得；
②由全等三角形的性质可得，即可解决问题．
（3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）如图2中，
①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴（SAS），
∴；
②∵，
∴，
设交于点．
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）结论：，．
理由：如图3中，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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