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24.1.1 圆
一、单选题
1．（2019八上·嘉荫期末）下列说法正确的是（　　）
A．圆有无数条对称轴，对称轴是直径所在的直线
B．正方形有两条对称轴
C．两个图形全等，那么这两个图形必成轴对称
D．等腰三角形的对称轴是高所在的直线
2．（2020九上·越城期中）如图所示的圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，点A与点B的距离是2 cm.若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出圆的直径是（　　）
A．1 cm B．2 cm C．4 cm D． cm
3．（2021·苏州模拟）如图，点 、 、 在⊙O上， ， ，则 的度数是（　　）
A．110° B．125° C．135° D．165°
4．（2024九上·白云月考）已知的半径是，则中最长的弦长是（　　）
A． B． C． D．
5．（2020九上·河池期末）如图，图中的弦共有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．（2018九上·惠阳期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝100°，AD∥OC，则∠AOD＝（　　）
A．20° B．60° C．50° D．40°
7．（2025九下·泸州月考）如图，矩形中，，，点分别是边上的两动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（　　）
A． B．9 C． D．
8．如图，AB是⊙O的直径，D、C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB=60°，连接AC，则∠DAC等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
9．（2020九上·大庆月考）下列命题中，正确的有（　　）
A．圆只有一条对称轴
B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条
C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴
D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴
10．（2024九上·防城港期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点P在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．等圆：　 　的两个圆叫做等圆.
12．（2023九上·阿城期中）如图，P是的直径延长线上一点，点D在上，交于点C，且，如果，则　 　．
13．（2024九上·南京月考）如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为　 　．
14．（2024九下·高要模拟）如图，点在以为直径的半圆上，是半圆上不与点重合的动点．连接，是的中点，过点作于点．若，则的最大值是　 　．
15．（2017·大庆）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在 上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为 ，则正方形的边长为　 　．
16．（2019九上·辽源期末）下面是“作出弧AB所在的圆”的尺规作图过程．
已知：弧AB．
求作：弧AB所在的圆．
作法：如图，
⑴在弧AB上任取三个点D，C，E；
⑵连接DC，EC；
⑶分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．
⑷以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的弧AB所在的圆．
请回答：该尺规作图的依据是　 　．
三、计算题
17．（2023七下·梁子湖期中）如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点．
（1）数轴上点对应的数是_________；
（2）从上述事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是——对应的.有理数中的相关概念、运算法则及运算律同样适合于实数.解决下列问题：
①的相反数是_________．
②计算的结果是_________；
③若的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
18．（2023·邯郸模拟）数学兴趣小组探究平面内横、纵坐标满足特定关系的动点的运动轨迹问题：
（1）组长提出问题：动点随着t的变化形成的运动轨迹是什么
甲同学的思考：t取3个特殊值得到3个点坐标，发现3点在一条直线上，可以利用待定系数法求出该直线的表达式；乙同学的思考：令，，通过消去t得到y与x的函数关系式．
______（填甲或乙）同学的方法更严谨，点运动轨迹的函数表达式为______；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，Q为坐标系内一点且，点M从点A出发以每秒8个单位的速度沿x轴向左运动，同时点N从点O出发以每秒6个单位的速度沿y轴向上运动，点P是MN的中点，设运动时间为t.求点P的运动轨迹的函数表达式，并计算当时PQ的最小值；
（3）老师给出坐标平面内两个动点：，.
丙学说：点T、K的运动轨迹都是直线；丁同学说：点T、K在运动过程中不可能重合；请你判断两人结论是否正确并说明理由．
四、解答题
19．（2023九上·兰溪月考）如图所示，AB为☉O的直径，CD是☉O的弦，AB，CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°.求∠AOC的度数.
20．（2024九上·白银期中）如图，是的直径，是的弦，，的延长线相交于点，若，．求和的度数．
21．（2025九下·金华开学考）尺规作图问题：在⊙O中作一个度数为150°的圆心角．
以下是小华的作图过程，他分两步完成，如图所示： 第一步：以⊙O上一点A为圆心，OA长为半径作弧，交 ⊙O于点B，连结OB． 第二步：分别以A，B为圆心，大于线段OA长度的长为 半径作圆弧交于圆内一点C，连结OC并延长交 ⊙O于点D． 则∠AOD即为所求的圆心角．
请根据他的作图过程回答以下问题：
（1）求∠AOB的度数．
（2）说明∠AOD的度数为150°的理由．
22．（2023·资源模拟）定义：如图1，已知点是内任意一点，过点任意作一条直线，分别交射线，于点，．若点是线段的中点，则称线段为关于点的中点线段．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，过点的直线分别交轴正半轴和轴的正半轴于点和，线段是关于点的中点线段．
①若点的坐标为，求直线的解析式；
②若线段，点在直线上，请直接写出线段的最小值及线段取得最小值时点的坐标；
（2）如图3，射线的解析式为，点，过点任意作一条直线，交射线于点，交轴于点，求的面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；圆的相关概念
2．【答案】C
【知识点】圆的相关概念
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的相关概念
4．【答案】D
【知识点】圆的相关概念
5．【答案】B
【知识点】圆的相关概念
6．【答案】A
【知识点】圆的相关概念
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆的相关概念；直角三角形斜边上的中线
8．【答案】B
【知识点】圆的相关概念
9．【答案】D
【知识点】圆的相关概念
10．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；圆的相关概念
11．【答案】半径相等
【知识点】圆的相关概念
12．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的相关概念
13．【答案】7
【知识点】勾股定理；圆的相关概念
14．【答案】
【知识点】圆的相关概念；三角形的中位线定理
15．【答案】2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的相关概念
16．【答案】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆的相关概念
17．【答案】（1）；
（2）①；②2；③16．
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；圆的相关概念；相反数的意义与性质
18．【答案】（1）乙，
（2）
（3）丙同学的结论错误；丁同学的说法正确．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；圆的相关概念；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
19．【答案】解：连接OD.
∵AB=2DE，AB=2OD，∴OD=DE，
∴∠DOE=∠E=20°，∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°，
∵OC=OD，∴∠C=∠ODC=40°，
∴∠AOC=∠C+∠E=60°.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的相关概念
20．【答案】，．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的相关概念
21．【答案】（1）解：连接AB， 如图1所示：
由第一步作图可知：
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°
（2）解：连接AC， BC， 如图2所示：
由第二步作图可知：AC =BC，在△AOC和△BOC中，
AC = BC， OA=OB， OC =OC，
∴△AOC≌△BOC(SSS)，
∴∠AOC =∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC+∠AOB=360°，
∴2∠AOC+60°=360°，
∴∠AOC = 150°，即∠AOD = 150°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的相关概念；三角形全等的判定-SSS
22．【答案】（1）①，②点的坐标为：；
（2）的面积的最小值为5．
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；圆的相关概念；一次函数的实际应用-几何问题
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