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24.2.2 直线和圆的位置关系
一、单选题
1．（2023九上·浦北月考）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为的内心的是（　　）
A． B．
C． D．
2．⊙O的半径r=5cm，直线l到圆心O的距离d=4，则直线l与圆的位置关系（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．重合
3．（2023九上·河北期中）如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·深圳期中）如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且OP=5，PA=4，则tan∠APO等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·雨花台期中）已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2023九上·大石桥期中）如图，过外一点P引的两条切线，，切点分别是A、B，交于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接，．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，两个同心圆的半径分别为6cm和3cm，大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长为（　　）
A．2π B．4π C．6π D．8π
8．（2023九下·张家口期末）如图是的内切圆，，，分别为切点，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2021·西湖模拟）如图， ， 分别是 的切线， ， 分别为切点，点 是 上一点，且 ，则 为（　　）
A． B． C． D．
10．（2020九上·江阴期中）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半径长为1，则下列结论不成立的是（　　）
A．CD+DF=4 B．CD DF=2 3
C．BC+AB=2 +4 D．BC AB=2
二、填空题
11．（2024九下·安庆开学考）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在优弧AC上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝32°，则∠ABO＝　 　．
12．（2023九上·保亭月考）如图，是的直径，是弦，过点作的切线交的延长线于点，若，则　 　．
13．（2024九上·哈尔滨月考）如图，点P为外一点，PA为的切线，A为切点，PO交于点B，，，则线段BP的长为　 　．
14．已知⊙O的半径为8， 圆心O到直线L的距离是6， 则直线L与⊙O的位置关系是　 　
15．（2020九上·路北期末）已知⊙O的半径为 ，圆心O到直线L的距离为 ，则直线L与⊙O的位置关系是　 　．
16．（2024九下·宿迁月考）如图，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE＝DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PK∥BC，且PK＝2，若∠CBK的度数最大时，则BK长为　 　．
三、计算题
17．（2023九上·淮安月考）如图，为的直径，切于点C，交的延长线于点D，且．求的度数．
18．（2023九上·赤峰期中）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S（其中a，b，c是三角形的三边长，p，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
∴p6
∴S6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
19．（2024九上·青铜峡期末）如图，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且，，．点从点出发，沿轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为秒．当以点为圆心、为半径的与四边形的边（或边所在的直线）相切时，求的值．
四、解答题
20．（2022·萍乡模拟）如图，是的外接圆，，，P是上的一动点．
（1）当的度数为多少时，；
（2）若以动点P为切点的切线为，那么当的度数为多少时，切线与一边平行？
21．（2025九下·南开月考）在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接，，，
（1）如图①，若，求和的大小；
（2）如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长．
22．（2024·广西模拟）如图所示，是直角三角形，，以为直径的⊙O交于点，点是边的中点，连结．
（1）求证：与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，，求．
23．（2024九下·顺义模拟）在平面直角坐标系中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q在图形N上，那么称图形N是形M的“关联图形”．
（1）如图，点，，，．
①在点B，C，D中，点A的“关联图形”是_____；
②若不是点A的“关联图形”，求的半径的取值范围；
（2）已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心；尺规作图-作角的平分线
2．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
3．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
4．【答案】D
【知识点】切线的性质
5．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
6．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆周角定理；切线的性质
7．【答案】B
【知识点】切线的性质
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；三角形全等的判定-AAS
11．【答案】26°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
12．【答案】61
【知识点】圆周角定理；切线的性质
13．【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
14．【答案】相交
【知识点】直线与圆的位置关系
15．【答案】相交
【知识点】直线与圆的位置关系
16．【答案】6．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定；切线的性质
17．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
18．【答案】（1）10；（2）r．
【知识点】二次根式的应用；三角形的内切圆与内心
19．【答案】1或4或
【知识点】勾股定理；切线的性质；一次函数的实际应用-几何问题
20．【答案】（1）
（2）或或
【知识点】三角形内角和定理；垂径定理；圆周角定理；切线的性质
21．【答案】（1）；
（2）半径为4
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质
22．【答案】解：（1）证明：连接OE，BE，
∵AB是直径，
∴BE⊥AC，
∵点D是BC的中点，
∴DE=DB，
∴∠DBE=∠DEB，
又OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB，
即∠ABC=∠OED，
又∠ABC=90°，
∴∠OED=90°，
∴DE是⊙O的切线．
（2）∵DE=3，知BC=2DE=6，
∴AC===，
∵，
∴BE===3，
∴AE===．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；直角三角形斜边上的中线
23．【答案】（1）①，C②；
（2）最小为，最大为．
【知识点】切线的判定与性质；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题
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