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(共34张PPT)
第13章 三角形
13.2.2　三角形的中线、角平分线、高
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
复习回顾
定义 图示
垂线
线段中点
角平分线
O
B
A
A
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
问题 这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一起来解决这个问题！
新知初探
贰
新知初探
1.定义：如图所示，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线.
B
A
C
D（中点）
三角形的中线
任务一　三角形的中线、角平分线、高
　三角形的中线
活动1
B
A
C
D（中点）
三角形的中线
问题 已知△ABC的中线，你能得到什么结论？
几何语言:因为AD是△ABC的边BC上的中线，
所以D为BC的中点,
所以BD=CD= BC(BC=2BD=2DC).
2.分别画出锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，你能画出它们的所有中线吗？各有多少条中线？它们有怎样的位置关系
重心
三角形的三条中线交于一点.
重心
取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心.
1.如图，BD＝DE＝EF＝FC，那么（　　）是△ABE的中线．
A．AD B．AE C．AF D．以上都是
2.如图，在△ABC中，AB＝5厘米，BC＝3厘米，BM为中线，则△ABM与△BCM的周长之差是　　厘米．
即时测评
A
2
问题 已知△ABC的角平分线AD，你能得到什么结论？
A
B
C
D
1
2
三角形的角平分线
三角形的角平分线
1.定义：如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线.
几何语言:
因为AD是△ABC的角平分线,
所以∠BAD=∠CAD= ∠BAC.
活动2
一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线相交于一点.
2.分别画出锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，你能画出它们的角平分线吗？各有多少条？它们有怎样的位置关系
1.如图所示，在△ABC中，点D是边AC上一点，E是边BC上一点，且∠ABD=∠CBD,∠BDE=∠CDE，则BD是△ 的角平分线，
DE是△ 的角平分线.
即时测评
2.如图所示，E,D是线段BC上的点，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠DAE=20°，则∠EAC= .
ABC
DBC
60°
问题 已知△ABC的高AD，你能得到什么结论？
几何语言:
因为线段 AD 是△ABC的BC 边上的高.
所以AD⊥BC ,
所以∠ADB = ∠ADC = 90°．
三角形的高
1.定义：如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线.三角形的高线简称三角形的高.
A
B
C
D
三角形的高
注意:标明垂直的记号和垂足的字母.
活动3
锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高交于三角形内部一点.
2.一个三角形有几条高？分别画锐角三角形、直角
三角形和钝角三角形的三条高，探究高的位置、三条高是否相交以及交点的位置.
思考 如图， △ABC是锐角三角形,你还能画出几条高？高的交点在什么位置？
A
B
C
D
E
F
直角边BC边上的高是 ;
直角边AB边上的高是 ;
AC边上的高是 ;
A
B
C
你能画出直角三角形的三条高吗，它们有怎样的位置关系？
AB
BC
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
直角三角形的三条高
（1）你能画出钝角三角形的三条高吗？
钝角三角形的三条高
A
B
C
D
F
E
（2）钝角三角形的三条高交于一点吗？
钝角三角形的三条高不相交于一点；
O
钝角三角形的三条高所在的直线交于一点.
三角形的三条高所在直线交于一点.
即时测评
作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是( 　　)
D
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：
(1)过该边所对的顶点；
(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
你能通过折叠的方式找出三角形的高、中线、角平分线吗
活动4
范例应用
解：AD是△ABC的角平分线，AF是△ABE的角平分线，BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线.
【例1】如图,在△ABC中,E是AC的中点,∠A的平分线分别交BE、BC于点F、D.指出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线,哪条线段是哪个三角形的中线.
【例2】 如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,DE⊥AB,垂足为E.指出图中哪条线段是哪个三角形的高.
解：AC,BC是△ABC的高，AC,DC是△ADC的高，AC,DE是△ABD的高，BE,DE是△BDE的高，AE,DE是△ADE的高.
【例3】 (1)如图,AD 是△ABC的中线.△ACD与△ABD的面积有怎样的数量关系 为什么
解：(1)作△ABC中边BC的高AE.
因为D是BC的中点,所以BD=DC.
而△ABD的面积为 BD AE,
△ADC的面积为 DC AE.
故S△ABD=S△ADC.
(2)你能把1个三角形分成面积相等的4个三角形吗 试画出相应的图形.
解：如图所示.
当堂达标
叁
当堂达标
1. 如图，△ABC中BC边上的高是（　　）
A．BD B．AE C．BE D．CF
B
2.已知:如图,点O是△ABC的重心,连接AO并延长交BC于点D,若BC=10,BE=3,则ED的长为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.3
C
3.如图,在△ABC中,BD=CD,∠ABE=∠CBE,BE交AD于点F.
(1)　　　　是△ABC的角平分线;
(2)　　　　是△BCE的中线;
(3)　　　　是△ABD的角平分线.
4.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,BE是AC边上的中线,如果AC=10 cm,则 AE=　　 cm,如果∠ABD=30°,则∠ABC=　　.
DE
BE
BF
60°
5
5.已知△ABC,根据要求画图.
(1)画BC边上的高.
(2)画∠C的平分线.
(3)将△ABC分成面积相等的两部分.
解:如图.
(1)线段AD即为所画.
(2)CE即为∠ACB的平分线.
(3)中线BF将△ABC分成面积相等的两部分(此问答案不唯一).
6.如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB于点E，若∠EDA＝∠EAD， AD是△ABC的角平分线吗？请说明理由.
解：AD是△ABC的角平分线.理由：
∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠CAD.
∵∠EDA＝∠EAD，
∴∠CAD＝∠EAD.
∴AD是△ABC的角平分线．
课堂小结
肆
课堂小结
三角形重要线段
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心
直角三角形：三条高交于直角顶点
锐角三角形：三条高交于在三角形的内部一点
钝角三角形：三条高所在直线交于三角形外部一点
高
中线
三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心
一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
课后作业
基础题：1.课后习题 第3，4题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第8题
谢
谢

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