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第13章 三角形
13.3 三角形的内角与外角
13.3.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和定理
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
我的形状最小，那我的内角和最小.
我的形状最大，那我的内角和最大.
不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
问题 有一块残缺的三角形木板，量得∠A=100°，∠B=20°，则这块三角形木板的第三个角的度数是多少
新知初探
贰
新知初探
任务一　探索并证明三角形的内角和定理
　 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于 180 ，大家回忆一下，当时是怎样知道这个结论的呢？
度量或者剪拼
活动1
【思考】你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢
折叠
还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？
剪拼
A
B
C
2
1
测量
480
720
600
600＋480＋720＝1800
锐角三角形
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
还有其他的拼接方法吗？
剪一剪，拼一拼
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
问题2 在图3中,直线CM与AB是什么关系
问题3 你能从中找到三角形内角和定理的证明方法吗
（1）在准备的三角形硬纸上标出三角
形三个内角的编码,如图1.图2，图3给出了两种拼法.
问题1 在图2中,直线MN与BC是什么关系
平行
平行
活动2
（2）证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180 。
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等)
∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°，
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
同学们还有其他的方法吗？
【思考】 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
1
2
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
C
2
4
A
B
3
E
Q
D
F
P
G
H
1
B
G
C
2
4
A
3
E
D
F
H
1
同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤.
试一试
为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
即时测评
如图，说出各图中∠1 的度数.
80°
50°
1
30°
105°
1
22°
1
（1）
（2）
（3）
∠1=50°
∠1=45°
∠1=68°
范例应用
【例1】如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °，
AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°–∠B –∠BAD
=180°–75°–20°
=85°.
北
北
C
A
B
D
E
【例2】如图是A，B，C三岛的平面图，C 岛在
A 岛的北偏东50 方向，B 岛在A 岛的北偏东80 方向，C 岛在B 岛的北偏西40 方向. 从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？
解法一： ∠CAB =∠BAD -∠CAD = 80 - 50 = 30 .
∵AD∥BE，
∴∠BAD +∠ABE = 180 .
∴∠ABE =180 -∠BAD = 180 - 80 = 100 ，
∠ABC =∠ABE -∠CBE = 100 - 40 = 60 .
在△ABC中， ∠ACB = 180 -∠CAB -∠ABC
= 180 - 30 - 60 = 90 .
答：从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是60 ，
从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90 .
北
北
C
A
B
D
E
解法二：过点C作CF∥AD，
∵AD∥BE，CF∥AD，
∴BE∥CF .
∴∠ACF =∠CAD =50 ，
∠BCF =∠CBE =40 .
∴∠ACB =∠ACF +∠BCF
= 50 + 40 = 90 .
F
【例2】如图是A，B，C三岛的平面图，C 岛在
A 岛的北偏东50 方向，B 岛在A 岛的北偏东80 方向，C 岛在B 岛的北偏西40 方向. 从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？
即时测评
如图，已知△ABC中，∠B=40°，∠ACB=60°，
AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，交AD于点E，求∠AEC的度数．
解：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=80°，
∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠CAE= ∠BAC ÷ 2=40°，∠ACE= ∠ACB ÷ 2=30°.
在△ACE中，∠AEC=180°-∠CAE-∠ACE=110°.
当堂达标
叁
当堂达标
2.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　）
A．85° B．80° C．75° D．70°
A
1.如果一个三角形的两个内角分别是36°和54°，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
B
3.填空。
（1）在△ABC中，∠A=90°，∠B=65°，则∠C= _____.
（2） 在△ABC中，∠C=42°，∠A=∠B，则∠B=_____.
（3）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则∠A=_____.
（4） 在△ABC中，∠C=30°，∠A：∠B=1：2，
则∠B= _____.
25°
69°
60°
100°
4.如图，已知AD与BC相交于点O，E为CD延长线上的一点，∠B=35°，∠AOB=85°，∠ODE=120°，AB与CD是否平行？为什么？
解：AB∥CD.理由如下：
在△AOB中，∠B=35°，∠AOB=85°，
所以∠A=180°-∠B-∠AOB=60°,
因为∠ODE=120°，
所以∠A+∠ODE=180°，
所以AB∥CD.
5.如图,已知:AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,∠BCE=40°,求∠ADB的度数.
解:∵AD是△ABC的角平分线,∠BAC=60°,
∴∠BAD=∠DAC= ∠BAC=30°,
∵CE是△ABC的高,∠BCE=40°,
∴∠B==90°-40°=50°,
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100°.
课堂小结
肆
课堂小结
1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180 .
2．解决问题的策略：
3．添辅助线的目的：为了能够运用已学知识进行后续推理.
新的问题
转化
已解决的问题
解决
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,3题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第10题
谢
谢

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