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第13章 三角形
13.3.2 三角形的外角
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
问题1 如图，∠A=60°，∠B=45°，则∠C = .
75°
D
问题2 把ΔABC中的一边BC延长，得到∠ACD，∠ACD还是三
角形的内角吗？
（三角形的三个内角和等于180°）
新知初探
贰
新知初探
问题1 ∠ACD与∠ACB从位置上看有什么关系
互为邻补角
任务一　探究三角形外角的性质
　三角形外角的定义
如图所示，把△ABC中的一边BC延长，得到∠ACD.
问题2 ∠ACD处于三角形的什么位置,内部还是外部
外部
像∠ACD这样,三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫作
三角形的外角.
活动1
问题3 你能说出三角形的外角的特征吗？
特征: (1)顶点在三角形的一个顶点上.
(2)一条边是三角形的一边.
(3)另一条边是三角形某条边的延长线.
画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢
A
B
C
△ABC共有6个外角。每一个顶点相对应的外角有2个，且这两个角为对顶角。
即时测评
F
A
B
C
D
E
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC和△BEF的外角;
如图,∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠EFD是△BEF和△DFC的外角;
问题3 在练习本上画ΔABC及其外角∠ACD,分别度量∠A和∠B和∠ACD的大小.
思考 任意一个三角形的外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
三角形外角性质的探究
问题1 如图,在ΔABC中,∠A=70°，∠B=60°，你能求出∠ACD的度数吗？
问题2 ∠A和∠B的和与∠ACD有什么关系
∠ACD=130°
∠ACD=∠A+∠B
活动2
问题4 如何证明这个结论？
已知:如图所示,ΔABC中,D为BC延长线上一点.
求证:∠ACD=∠A+∠B.
证明:∵∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴∠A+∠B=180°-∠ACB.
∵∠ACD+∠ACB=180°,
∴∠ACD=180°-∠ACB.
∴∠ACD=∠A+∠B.
你还有其它的证法吗？
E
过点C作CE∥AB.
(
(
(
(
证明结论
过点A作AE∥BC.
过点B作BE∥AC.
E
E
(
(
(
(
(
(
(
(
作平行
转化角
三角形外角的性质：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
如图：∠ACD=∠A+∠B.
归纳小结
这个定理是三角形内角和定理的推论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.
即时测评
练习 写出下列图中的∠1和∠2的度数.
40°
140°
50°
40°
80°
40°
80°
60°
140°
60°
60°
20°
范例应用
【例1】 如图所示,∠BAE,∠CBF,∠ACD是ΔABC的三个外角,它们的和是多少
解:由三角形外角的性质得:
∠BAE=∠2+∠3,
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD
=2(∠1+∠2+∠3)
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
∠ACD=∠1+∠2.
∠CBF=∠1+∠3,
=2×180°
=360°.
你还有其它的解法吗
A
B
C
E
F
D
(
(
2
(
(
1
(
(
3
法二：如图，∠BAE+∠1=180° ①
∠CBF+∠2=180° ②
∠ACD+∠3=180° ③
又∵ ∠1+∠2+∠3=180°
∴①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°.
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
结论：
如图：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.
归纳小结
三角形的外角和等于360°.
三角形的每一个顶点处各有两个外角，三角形的外角和不是指六个外角的总和，而是说在三角形的每一个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角和叫做三角形的外角和.
即时测评
如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE,CD相交于点F,∠A=62°,∠ACD=35°,∠ABE=20°,求∠BDC和∠BFD的度数。
(
(
(
(
？
∵ ∠BDC是△ADC的一个外角,
∴ ∠BDC =∠A+∠ACD.
∵∠A=62°,∠ACD=35°,
∴ ∠BDC =62°+ 35°=97°.
∵ ∠ABE+∠BDC+∠BFD=180°,∠ABE= 20°,
∴ ∠BFD=180°-97°-20 °=63°.
解：
当堂达标
叁
当堂达标
1.已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角度数为（ ）
A.90° B.110° C.100° D.120°
2.判断下列观点是否正确.
（1）三角形的外角都是钝角. （ ）
（2）三角形的外角大于任何一个内角. （ ）
（3）三角形的外角等于它的两个内角的和. （ ）
（4）三角形的外角和等于360°. （ ）
×
×
×
√
C
3.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上的点,点F在BC的延长线上,DE∥BC,∠A=44°,∠1=57°,则∠2=　 　.
4.在“三角尺拼角”试验中,小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置,则∠1=　 　.
101°
120°
解:(1)∵∠ACD是△ABC的一个外角,
∠A=35°,∠ACD=83°,
∴∠B=∠ACD-∠A=48°.
(2)∵∠AFE是△BDF的一个外角,∠B=48°,∠D=42°,
∴∠AFE=∠B+∠D=48°+42°=90°.
5.如图,已知D是△ABC边BC延长线上一点,DF交AC于点E,∠A=35°,∠ACD=83°.
(1)求∠B的度数;
(2)若∠D=42°,求∠AFE的度数.
6.如图所示,AD⊥BC,∠1=∠2,∠C=65°,求∠BAC的度数.
解:因为AD⊥BC,所以∠ADC=∠ADB=90°.
因为∠1=∠2,所以∠1=∠2=45°.
因为∠ADB=∠DAC+∠C=90°,∠C=65°,
所以∠DAC=90°-∠C=25°.
则∠BAC=∠1+∠DAC=70°.
课堂小结
肆
课堂小结
三角形的外角
定义
性质
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角.
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °.
三角形的一边与另一边的延长线组
成的角叫作三角形的外角.
课后作业
基础题：1.课后习题 第 5,6题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第11题
谢
谢

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