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人教版九年级上学期数学第一次月考试题
一、选择题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2025九上·荔湾月考）下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2024九上·石家庄月考）用配方法解方程，配方后所得的方程是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（2025·从化模拟）正比例函数的图象过二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况描述准确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
4．（3分）（2024九上·乌鲁木齐月考）已知m，n是方程的两实数根，则的值为（ ）
A．－1 B． C． D．1
5．（3分）（2024九上·肃北期末）一元二次方程的两根分别为和，则的值为（　　）
A．3 B．4 C． D．没有实数根
6．（3分）（2025八下·南湖期中）某工厂2022年数字化改造总投入100万元，2024年总投入预计达到180万元，设年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．100（1+x）=180 B．100（1+2x）=180
C．100（1+x+x2）=180 D．100（1+x）2=180
7．（3分）（2024九下·大庆模拟）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（　　）
A． B． C． D．3
8．（3分）（2024九上·玉溪期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）（2023九上·铜梁月考） 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（　　）
A．52 B．60 C．68 D．76
10．（3分）（2025九上·荔湾月考）关于的方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
二、填空题（每题3分，共15分）(共5题；共15分)
11．（3分）（2024九上·太平月考）某班同学在毕业典礼上，每两位同学之间都要交换一张签名卡，交换的签名卡共张．设班级有名学生，则可列方程　 　．
12．（3分）（2025九上·荔湾月考）方程 的解是　 　.
13．（3分）（2025八下·嵊州期中）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为　 　．
14．（3分）（2024九下·闵行月考）设、是方程的两个实数根，若，则的取值范围是　 　 ．
15．（3分）（2024九上·平湖月考）关于一元二次方程，有以下命题：若，则；②若方程两根为和，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若有两个相等的实数根，则无实数根．其中真命题是　 　.
三、计算题（共16分）(共1题；共16分)
16．（16分）（2024八下·巴林右旗期中）解下列方程：
（1）（4分）；
（2）（4分）；
（3）（4分）；
（4）（4分）．
四、解答题（共5题，共41分）(共5题；共41分)
17．（7分）（2024·广州模拟）已知．
（1）（3分）化简T；
（2）（4分）已知，求T的值．
18．（7分）（2025八下·杭州期中）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆汽车的日租金上涨到144元．
（1）（3分）求2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率．
（2）（4分）经市场调研发现，从2024年开始，当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．
①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出_______辆车．（均用含x的代数式表示）
②已知该汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用34元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达27400元？（日收益=总租金-各类费用）
19．（8分）（2024九上·雅安期末）已知：关于x的一元二次方程，
（1）（4分）已知是方程的一个根，求m的值及另一个根；
（2）（4分）若以这个方程的两个实数根作为中BC、AC的边长，，当时，求此时m的值．
20．（9分）（2024九上·深圳期末）已知：的两邻边，的长是关于x的方程的两个实数根.
（1）（4分）当m为何值时，是菱形？
（2）（5分）若的长为3，求的周长.
21．（10分）（2024·凉州模拟）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径现有甲、乙两个社区疫苗接种点，已知甲社区接种点平均每天接种疫苗的人数是乙社区接种点平均每天接种疫苗的人数的倍，且甲社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间少天．
（1）（4分）求甲、乙两个社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数；
（2）（6分）一段时间后，乙社区疫苗接种点加大了宣传力度该接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数增加了，受乙社区疫苗接种点宣传的影响，甲社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数减少了人，但不低于人，这样乙社区接种点天接种疫苗的人数比甲社区接种点天接种疫苗的人数多人，求的值．
五、实践探究题（共2题，共18分）(共2题；共18分)
22．（9分）（2024七下·港南期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
即：．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）（3分）因式分解：；
（2）（3分）已知，，是的三边长，且满足，求的最长边的取值范围；
（3）（3分）已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
23．（9分）（2023九上·宜州期中）阅读下列材料：
我们把多项式及叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
解：
∵，∴，
∴当时，的最小值为；
再例如：求代数式的最大值．
解：
∵，∴，∴；
∴当时，的最大值为．
（1）（3分）【直接应用】代数式的最小值为_______；
（2）（3分）【类比应用】若，试求的最小值；
（3）（3分）【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
2．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；正比例函数的图象和性质
4．【答案】A
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
9．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；配方法的应用；三角形全等的判定-AAS
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
12．【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
15．【答案】①②③
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；真命题与假命题
16．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
17．【答案】（1）解：
．
（2）解：，
，
，，
，，，
【知识点】分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
18．【答案】（1）解：设2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率为x，
根据题意可列方程为：100（1+x）2=144，
解得：x1=20%，x2=-2.2（不符合实际，舍去），
答：2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率为20%.
（2）解：①；；
②根据题意可列方程为：（144+x）（300-2x）-34（300-2x）-10×2x=27400，
整理得：-2x2+60x-5600=0
解得：x1=70，x2=-40（不符合题意，舍去），
答：每辆汽车的日租金上涨70元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
19．【答案】（1）解：将代入中，
得：，
解得：，，
当时，，
解得：，；
当时，，
解得：，；
综上：m的值为1或4，另一个根为3或12
（2）解：由题意可得：，，
∵，
∴，则，
∴，
解得：，，
当时，方程无解，∴．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理
20．【答案】（1）解：当时，是菱形
此时，即
∴或8
时，方程为，（舍）
时，方程为，
∴时，是菱形.
（2）解：将代入得：，
此时方程：
解得：，
∴，
∴周长.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；平行四边形的性质；菱形的判定
21．【答案】（1）解：设乙社区疫苗接种点平均每天接种人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种人，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲社区疫苗接种点平均每天接种人，乙社区疫苗接种点平均每天接种人；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
，
不符合题意舍去，
答：的值为．
【知识点】一元二次方程的其他应用；分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-工程问题
22．【答案】（1）解：根据题意列式：
∴，
即：
（2）解：∵，
∴，
即：，
∴，
∵，，是的三边长，
∴，即：，
∵是的最长边，
∴
（3）解：∵，
∴，
即：，
∴，
∴的周长为：
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；配方法的应用
23．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用；二次函数的实际应用-几何问题
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