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专题17 一元一次方程中含参数的问题
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：6大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
1．参数定义：参数是方程中用字母表示的未知常数，如方程ax + b = 0中a、b为参数．
2．分类讨论：当参数在系数位置时，需讨论系数是否为0，确定方程是否为一元一次方程．
当参数在常数项位置时，通过移项、合并同类项，用参数表示未知数．
3．解的情况：
当系数不为0时，方程有唯一解．
当系数为0且常数项也为0时，方程有无数解；
当系数为0但常数项不为0时，方程无解．
【题型1 利用一元一次方程的定义求字母参数】
例题：（24-25七年级下·河南周口·期中）
1．已知是关于x的一元一次方程，则 ．
【变式训练】
（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）
2．若关于的方程是一元一次方程，则的值是 ．
（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）
3．已知是关于的一元一次方程，则 ．
（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）
4．已知是关于x的一元一次方程，则m的值为 ．
【题型2 利用一元一次方程的解求代数式的值】
例题：（24-25七年级上·山西晋中·期末）
5．如果关于的方程的解为，那么k的值是 ．
【变式训练】
（24-25七年级上·山东聊城·期末）
6．已知是方程的解，那么代数式的值是 ．
（24-25七年级上·江苏扬州·期末）
7．若是关于x的方程的解，则多项式的值为 ．
（24-25七年级上·福建三明·期末）
8．若是关于的方程的解，则的值是 ．
【题型3 利用一元一次方程的解相同求字母参数】
例题：（24-25七年级上·云南昆明·期末）
9．若方程和的解相同，则a的值是 ．
【变式训练】
（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）
10．若关于的方程与方程的解相同，则的值为 ．
（24-25七年级上·重庆永川·期末）
11．关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值为 ．
（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）
12．若方程的解与关于的方程的解相同，则代数式的值为 ．
【题型4 求一元一次方程含字母参数的方程的解】
例题：（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）
13．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ．
【变式训练】
（24-25七年级下·重庆·期中）
14．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ．
（24-25六年级下·山东泰安·期中）
15．若关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ．
（24-25七年级上·江苏南通·期末）
16．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ．
【题型5 一元一次方程含字母参数的解为整数解问题】
例题：（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）
17．若关于的方程的解是正整数，则整数的值是 ．（写一个即可）
【变式训练】
（24-25七年级下·福建泉州·期中）
18．若关于x的方程的解是整数，且k是正整数 ．
（2025七年级下·全国·专题练习）
19．已知关于x的方程的解为非负整数，请你写出一个符合条件的自然数a的值： ．
（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）
20．已知关于的一元一次方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的值的积为 ．
【题型6 一元一次方程含字母参数的新定义型问题】
例题：（24-25七年级上·河北石家庄·期末）
21．定义：若两个一元一次方程的解互为相反数，则称这两个方程互为和谐方程．
(1)判断一元一次方程和是否互为和谐方程；
(2)如果关于x的方程与互为和谐方程，求a的值．
【变式训练】
（24-25七年级上·江苏盐城·期末）
22．定义：关于x的方程与方程、b均为不等于0的常数称互为“友好方程”，例如：方程与方程互为“友好方程”．
(1)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，则______；
(2)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，求的值．
（23-24七年级上·四川广元·期中）
23．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”．
(1)是否是“相伴有理数对”，请说明你的理由；
(2)若是“相伴有理数对”，则x的值是；
(3)若是“相伴有理数对”，求的值．
（24-25七年级上·湖南长沙·期末）
24．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“成双方程”，例如：方程和为“成双方程”.
(1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”；
(2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值；
(3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程的解．
一、单选题
（24-25七年级下·山西吕梁·期中）
25．若是关于的一元一次方程，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
（24-25七年级下·甘肃天水·期中）
26．若关于的方程的解是，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．9
（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）
27．若是关于x的一元一次方程，则m等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
（24-25六年级下·山东泰安·期中）
28．对于非零的两个数、，规定，若，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
（24-25七年级下·山东威海·期中）
29．小海同学在解关于的方程，去分母时，方程右边的忘记乘以6，得方程的解为，则方程中的值和正确的解是（ ）
A． B． C． D．
（24-25七年级下·福建泉州·期中）
30．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
（24-25六年级下·山东泰安·期中）
31．若是方程的解，则代数式的值是 ．
（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）
32．已知关于x的方程是一元一次方程，则 ．
（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）
33．已知是关于的方程的解，则 ．
（24-25六年级上·上海·阶段练习）
34．已知关于的方程有无数多个解，那么 ， ．
（24-25七年级下·重庆·阶段练习）
35．若关于的方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值之和为 ．
（24-25九年级上·江苏南通·期中）
36．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ．
三、解答题
（24-25七年级下·福建泉州·期中）
37．当为何值时，关于的方程的解与方程的解相同．
（24-25七年级下·福建泉州·期中）
38．已知是关于的方程的解，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）
39．小红解关于的方程，在去分母的过程中，等号右边的常数项2漏乘公分母6，因而求得方程的解为．
(1)求的值．
(2)求出方程的正确解．
(3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项．
（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）
40．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______．
(2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值．
（24-25七年级上·广东江门·期中）
41．对于，，定义，若，则称与是关于1的“对称数”．
(1)填空：7与_________是关于1的“对称数”，与_________是关于1的“对称数”．
(2)若，，判断与是不是关于1的“对称数”，并说明理由．
(3)已知，，其中，均为常数，且无论取何值，与都是关于1的“对称数”，求，的值．
（24-25七年级上·江苏扬州·期末）
42．定义：若两个一元一次方程的解的乘积为1，则这两个方程互为“倒数方程”，如：方程与互为“倒数方程”．
(1)关于x的方程与互为“倒数方程”，则 ；
(2)关于x的方程与其“倒数方程”的解都是整数，求n的值；
(3)关于x的方程与互为“倒数方程”，求关于y的一元一次方程的解．
试卷第1页，共3页
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《专题17 一元一次方程中含参数的问题（3知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）》参考答案：
1．1
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义，正确求出的值．根据一元一次方程的定义，令且，即可解答．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程
∴且，
∴，
故答案为：．
2．
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的特点即可求解，熟记一元一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
3．
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可得且，据此解答即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴且，
解得，
故答案为：．
4．3
【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的定义，解题关键是熟记一元一次方程的未知数x的次数是1．
根据未知数的系数及未知数的指数列出关于m的方程，继而求出m的值．
【详解】解：根据一元一次方程的特点可得，
解得：．
故答案为：3．
5．13
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，把方程的解代入方程求解即可．
【详解】解：是方程的解，
，
解得，
故答案为：13．
6．7
【分析】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，求代数式的值，熟练掌握方程的解是解题的关键．把解代入方程，求得m，n的关系式，再变形计算代数式的值即可．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴
．
故答案为：7．
7．7
【分析】本题考查方程的解，把代入方程，得到，进而得到，利用整体代入法求出代数式的值即可．
【详解】解：∵是关于x的方程的解，
∴，
∴，
∴；
故答案为：7．
8．
【分析】本题主要考查了代数式求值，方程的解，理解并掌握方程的解的定义是解题关键．将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可．
【详解】解：是关于的方程的解，
，
，
，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了同解方程，正确计算是解题的关键．先求出方程的解，再代入方程中即可求出a的值．
【详解】解：解方程，得，
根据题意把代入方程中，，
解得，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查同解方程，了解同解方程即为解相同的方程是解答本题的关键．
分别解出两个方程的解，再利用两个方程的解相同，可列出关于m的等式，即可求出m的值．
【详解】解：方程的解为：；
方程的解为：．
根据题意两个方程的解相同可知．
解得：．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解是解题的关键．根据方程求出的值，再代入即可求出的值．
【详解】解：方程，
解得：，
关于x的方程的解与方程的解相同，
把代入，得，
解得：．
故答案为：．
12．14
【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，代数式求值，掌握解一元一次方程是解答本题的关键．
首先求出方程的解为，然后代入求出，然后代入求解即可．
【详解】
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
根据题意得，关于的方程的解为
∴
解得
∴．
故答案为：14．
13．
【分析】本题主要考查了 一元一次方程的解．设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可．
【详解】解：方程可变形为，
设，则关于y的方程化为：，
∵关于x的一元一次方程的解为，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的特殊解法，把方程，变形为，根据关于的一元一次方程的解为可得，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于的一元一次方程的解为，
∴关于的一元一次方程的解满足，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，掌握理解方程的解，代入计算是解题关键．
把代入计算得，再根据题意得即可求解．
【详解】解：关于的方程的解为，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．
把关于的方程化成，然后根据关于的一元一次方程的解为，求出关于的一元一次方程的解即可．
【详解】解：，
，
观察知：关于y的方程，形式与变形后的关于x的方程相似，
令．
关于的一元一次方程的解为，
关于的一元一次方程的解为：
，
故答案为：．
17．10（答案不唯一）
【分析】本题考查了解一元一次方程，数的整除，找到4的因数是解题的关键．
先解一元一次方程，根据解为正整数，求得的整数解，再求其和即可．
【详解】解：
整理得，
当方程的解为正整数时，可以看作4是的正整数倍，
或或
∴可取12，10，9，
∴选择一个解即可，
故答案为：10（答案不唯一）．
18．1或2
【分析】本题考查一元一次方程的解法，先解方程再利用整数解求值是解题的关键．先解方程，再依据解是整数求解即可．
【详解】解：去分母得，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化1得：，
∵关于x的方程的解是整数，
∴或，
∴或或或，
∵k是正整数，
∴或，
故答案为：1或2．
19．3（答案不唯一）
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，方程的解的含义，先去分母，解方程可得，再结合解为非负整数，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∵方程的解为非负整数，
∴当符合条件；
∴，
∴自然数a的值可以为3．
故答案为：3（答案不唯一）．
20．0
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法步骤是解题关键．先解一元一次方程可得，再根据方程的解是正整数可得符合条件的所有整数的值，由此即可得．
【详解】解：，
，
，
，
，
∵关于的一元一次方程的解是正整数，
∴是正整数，
∴符合条件的所有整数的值为，
∴符合条件的所有整数的值的积为，
故答案为：0．
21．(1)是互为和谐方程
(2)
【分析】（1）解已知条件中的两个方程，然后根据互为和谐方程的定义进行判断即可；
（2）先解这两个方程，求出方程的解，然后根据互为和谐方程的定义，列出关于a的方程，解方程即可．
本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义和解一元一次方程的一般步骤．
【详解】（1）解：是，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，，
与是互为相反数，
方程和是互为和谐方程；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
关于x的方程与互为和谐方程，
，
，
，
22．(1)5
(2)9
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）利用“友好方程”的定义，即可求出c的值；
（2）由关于x的方程与方程互为“友好方程”，可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将m，n的值代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：关于x的方程与方程互为“友好方程”，
故答案为：5；
（2）关于x的方程与方程互为“友好方程”，
，，
，，
23．(1)是，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的乘法与加减法、整式加减中的化简求值、一元一次方程的应用，正确理解“相伴有理数对”的定义是解题关键．
（1）根据“相伴有理数对”的定义求解即可；
（2）根据“相伴有理数对”的定义建立方程，解方程即可得；
（3）根据“相伴有理数对”的定义可得，从而可得，再化简代入计算即可得．
【详解】（1）解：是“相伴有理数对”，理由：
∵，，
∴是“相伴有理数对”．
（2）解：∵是“相伴有理数对”，
，
解得，
故答案为：．
（3）解：是“相伴有理数对”，
，
，
．
24．(1)方程与方程是“成双方程”
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键．
（1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义验证即可求解；
（2）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解．
（3）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：方程与方程是“成双方程”，理由如下：
由方程：，可得：，
由方程：，可得：，
方程与方程的两个解的和为：
方程与方程是“成双方程”
（2）解：由方程：，可得：，
由方程：，
可得：
关于的方程与方程互为“成双方程”，
，
解得：；
（3）解：由方程：，可得：，
与互为“成双方程”，
的解为：，
又关于的方程，可化为：，
，
关于的方程的解为：．
25．A
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，且未知数最高次为1的整式方程，是一元一次方程，据此即可解答．
【详解】解：是关于的一元一次方程，
，
解得：，
的值不可能为，
故选：A．
26．A
【分析】本题考查了方程的解，将代入方程得，即可求解；理解“能使方程成立的未知数的值叫做方程的解．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：，
故选：A．
27．A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的次数为，这样的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义可得：，，再解即可．
【详解】解：是关于的一元一次方程，
，，
解得：，
故选：A．
28．B
【分析】本题考查了新定义及解一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．先根据定义得到一元一次方程，再解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
故选：B．
29．A
【分析】本题考查了解一元一次方程，理解一元一次方程的解法是解答关键．先把把代入方程右边的忘记乘以6的方程，求出，再正常解原方程即可．
【详解】解：去分母时，方程右边的忘记乘6，则所得的方程是，
把代入方程得，
解得：，
把代入方程得
，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得．
故选：A．
30．A
【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键：先求出的解，根据新定义，得到的解，再利用换元法求出的解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于x的方程与是“美好方程”，
∴方程的解为：，
∴关于y的方程即：的解为：，
∴；
故选A．
31．
【分析】本题主要考查了方程的解，等式的性质，先把方程的解代入方程得出，再根据等式的性质即可得出．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
32．
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数．未知数的最高次数为1且两边都为整式的方程，据此进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：且，
．
故答案为：．
33．
【分析】本题考查了一元一次方程解的定义，代数式求值，由一元一次方程解的定义可得，进而代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
34．
【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键．
首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得，的值．
【详解】解：化简得：，
即：，
根据题意得：，且
解得：，
故答案为：，．
35．
【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解和整数的特征是解题的关键．先解方程求解，得，再利用为整数，解为整数，得出，，，即可求解．
【详解】解：，
去分母，得：，
化简，得：，
解得：，
∵为整数，解为整数，
∴，，，
解得：，，，，，，
和为：，
故答案为：．
36．4
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，令，则原方程可化为，进而根据题意得到关于的一元一次方程的解为，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：令，则关于的一元一次方程可以化为，即，
∵关于的一元一次方程的解为，
∴关于的一元一次方程的解为，
∴，
∴，
故答案为：4．
37．
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得出方程的解，再根据两个方程的解相同，把方程的解代入方程中计算m的值即可．
【详解】解：解方程得，
∵关于的方程的解与方程的解相同，
∴是关于的方程的解，
∴，
∴．
38．(1)1
(2)0
【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值．
（1）将代入关于x的方程，得到a和b的数量关系并代入计算即可；
（2）由（1）得，将其代入计算即可．
【详解】（1）解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴，
∴
；
（2）解：由（1）得，
∴
．
39．(1)
(2)
(3)去分母时，不要漏乘不含分母的项（ 或“移项时，要变号”，答案不唯一）
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程的解的定义（已知方程的解求参数）等知识点，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为．
（1）由题意得，是方程的解，把代入方程，得，解方程即可求出的值；
（2）由（1）得，原方程为，然后按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为；
（3）根据自身学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项即可．
【详解】（1）解：由题意得：
是方程的解，
把代入方程，得：
，
解得：；
（2）解：由（1）得：原方程为，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：；
（3）解：答案不唯一，例如：
“去分母时，不要漏乘不含分母的项”或“移项时，要变号”等等．
40．(1)
(2)，
【分析】（）先解方程，再根据“有趣方程”的定义解答即可求解；
（）先解方程，再根据“有趣方程”的定义及方程的解为列式解答即可求解；
本题考查了解一元一次方程，方程的解，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：解方程，得，
∵方程是“有趣方程”，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）解：解方程，得，
∵方程是“有趣方程”，
∴，，
解得，．
41．(1)，
(2)是，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了新定义的运算，解题的关键是熟练掌握整式的加减混合运算法则和运算顺序．
（1）根据题中所给关于1的“对称数”的定义，即可进行解得；
（2）将a和b相加，看结果是否为2，若为2，则与是关于1的“对称数”，否则不是；
（3）根据无论取何值，A与都是关于1的“对称数”可得的结果等于2，且含有x的项系数为0，即可进行求解．
【详解】（1）解：设7与m是关于1的“对称数”，
则，解得，
设与n是关于1的“对称数”，
则，解得：，
故答案为：，．
（2）是，理由如下：
，
∴与是关于1的“对称数”．
（3）
∵无论取何值，A与都是关于1的“对称数”，
∴，
∴．
42．(1)4
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了新定义，一元一次方程的解，解一元一次方程，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义和解一元一次方程的一般步骤．
（1）先解已知条件中的两个方程，求出方程的解，再根据“倒数方程”的定义列出关于的方程，解方程即可；
（2）先解已知条件中的方程，然后求出其倒数方程的解，最后根据关于的方程与其“倒数方程”的解都是整数，列出关于的方程，解方程即可；
（3）先解方程，然后根据“倒数方程”的定义，求出的解，再根据的解列出关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
关于的方程与互为“倒数方程”，
，
，
故答案为：4；
（2）解：，
，
，
其“倒数方程”的解为，
与都是整数，
，
解得：或；
（3）解：，
，
，
，
，
它的“倒数方程” 的解为，
，
，
，
，
关于的一元一次方程的解为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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